当前位置:首页 >> 高二数学 >>

求数列前n项和的几种常用方法


www.MathsChina.com

彰显数学魅力!演绎华软传奇!

求数列前 n 项和的几种常用方法
江苏省 马吉超

一、 公式法 如果数列是等差或等比数列,可直接利用前 n 项求和公式,这是 最基本的方法。但应注意等比数列前 N 项求和公式 sn ? 的条件。
2 n 例 1 求 sn ? x ? x ? ? ? x

1?q a1? ?

?

n?

? ?

1? q

中q ? 1

解:①当 x ? 1 时, sn ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n 。 ②当 x ? 1 时, sn ? 二、分组转化法 如果所给数列的每一项是由等差、 等比或特殊数列对应项的和或 差构成,可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求 和。 例2 求
x 1? x 1? x

?

n

?。

s ? ?1 ? 2? ? ?2 ? 4? ? ?3 ? 8? ? ? ? ?n ? 2 ?
n n

2 3 n 解: sn ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?

?

n?n ? 1? n ?1 ?2 ?2 2

例3 求

s

n

? 1 ? ?1 ? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? 2 ? 3 ? ?? n?
2

n?n ? 1? n n 解: ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? 2 2 2

∴ sn ?

1 2 1 2 2 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 2 2

?

?

学数学 用专页

第 1 页 共 5 页

教数学 用华软

www.MathsChina.com
? 1 n 1 n?n ? 1? ? ?n ? 1??2n ? 1? ? ? 2 6 2 2
n?n ? 1??n ? 2? 6

彰显数学魅力!演绎华软传奇!

?

三、倒序相加法 如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和 相等,可用此法。 (等差数列求和公式可用此法推导) 例 4 求所有大于 2 且小于 10 的分母为 5 的既约分数的和。 解: s ? 又
11 12 13 47 48 49 ? ? ??? ? ? 5 5 5 5 5 5 49 48 47 13 12 11 s? ? ? ??? ? ? 5 5 5 5 5 5

⑴ ⑵

⑴+⑵得
11 49 12 48 49 11 2s ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 5 5 5 5 5 5 ? 12 ? 32 ? 384



s ? 192

0 1 2 n ?1 n 例 5 求 s ? cn ? 2 cn ? 3 cn ? ? ? n cn ? ?n ? 1?cn 0 1 2 n ?1 n 解: s ? cn ? 2 cn ? 3 cn ? ? ? n cn ? ?n ? 1?cn

⑴ ⑵

s ? ?n ? 1?cn ? n cn ? ? ? 2 cn ? cn
n n ?1 1 0



c

m n

? cn

n?m

⑴+⑵得
2 s ? ?n ? 2 ?cn ? ?n ? 2 ?cn ? ? ? ?n ? 2 ?cn
0 1 n

? ?n ? 2 ?(cn ? cn ? ? ? cn ? cn )
0 1 n ?1 n

? ?n ? 2? ? 2

n



s ? ?n ? 2? 2

n ?1

学数学 用专页

第 2 页 共 5 页

教数学 用华软

www.MathsChina.com 四、错位相减法

彰显数学魅力!演绎华软传奇!

形如 ?an ? bn?的数列,其中 ?an?是等差数列, ? bn?是等比数列,则 可在求和等式两边同乘 ? (等比数列 bn?的公比,然后两等式错位相减。 求和公式可用此法推导)
2 3 n 例 6 求 sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

∵ ∴

s

n

? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2
2 3

n ?1

? n?2

n

① ②

2s

n

? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

① — ② 得
? s n ? 1 ? 2 ? ?2 ? 1? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ? 2 ? ??n ? ?n ? 1??? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? ?1 ? n? 2
n ?1 故 s n ? ?n ? 1? 2 ? 2

n ?1

?2

五、裂项相消法 如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差,求和时,大部 分正负项又可以相消,则可用此法。 例7 求 解:?

s

n

? 1?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n?n ? 1? ? n n ?1? 1 ? ? 1? ? 1 1? ?1 ? 2?1 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? 1 1 ? ? 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3

s

n

= 2? ?1 ?
?
? 2n n ?1

1 ? ? n ?1?

学数学 用专页

第 3 页 共 5 页

教数学 用华软

www.MathsChina.com 例 8 求 sn ? 解?
1 n ? n ?1 1 1? 2 ? 1 2? 3 ??? 1

彰显数学魅力!演绎华软传奇!

n ? n ?1

? n ?1 ? n

∴ sn ? ? 2 ? 1? ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ? n ?
? n ?1 ?1

六、二项式定理法 某些由组合数构成的数列求和时,往往用二项式定理更有效。 例 9 求S ?
? 1 ? ? ? ?c n? ?c0 n? ?c n? n
2 2 2

解:由二项式定理

?1? x? ? c ? c x ? c x ? ? ? c x ?x?1? ? c x ? c x ? ? ? c x ? c ?1? x? ? c ? c x ? ? ? c x ? ? ? c x ∵? 1? x? ? ?x ?1? ? ?1? x?
n 0 1 2 n 2 n n n n n n 0 n 1 n ?1 n ?1 n n n n n 2n 0 1 n n 2n 2n 2n 2n 2n n n 2n

⑴ ⑵ ⑶

2n

∴⑴与⑵的积中含 x 项的系数
? 1 ? ? ? ?c n? ?c0 n? ?c n? n
2 2
n

n

2

应与⑶中含 x 项的系数 c 2 n 相等。 故
S?
2 2 2

n

? 1 ? ? ? ?c n? ? c ?c0 n? ?c n? n

n 2n



七、常见结论法 熟悉一些常见结论,对解决求和问题很有益处。如:
n 6 n 3 3 3 ⑵1 ? 2 ? ? ? n ? [ ?n ? 1?]2 2
2 2 2 ⑴1 ? 2 ? ? ? n ? ?n ? 1??2n ? 1? .

⑶等差数列的前 N 项和、次 N 项和、后 N 项和构成等差数列。

学数学 用专页

第 4 页 共 5 页

教数学 用华软

www.MathsChina.com

彰显数学魅力!演绎华软传奇!

⑷等比数列的前 N 项和、次 N 项和、后 N 项和构成等比数列。 例 10 设某等差数列的前 10 项和 s10 ? 5 ,前 20 项的和 s20 ? 20, 求该数列前 30 项的和 s30 . 解:由 s10 、 (s20 ? s10) 、 (s30 ? s20) 构成等差数列知:
2(s20 ? s10) = s10 + (s30 ? s20) , 2?20 ? 5? ? 5 ? ?s30 ? 20?,

即 得

s

30

? 45 .

学数学 用专页

第 5 页 共 5 页

教数学 用华软


相关文章:
求数列前n项和的几种常用方法.doc
求数列前n项和的几种常用方法 - www.MathsChina.com 彰显数学魅力!演绎华软传奇! 求数列前 n 项和的几种常用方法 江苏省 马吉超 一、 公式法 如果数列是...
求数列前n项和的8种常用方法.doc
求数列前n项和的8种常用方法 - 求数列前 n 项和的 8 种常用方法 一.公式
求数列前n项和的几种方法_图文.ppt
求数列前n项和的几种方法 - 求数列前 n 项和的几种方法 一、公式法求和 【例
求数列前n项和的几种方法_图文.ppt
求数列前n项和的几种方法 - 数列求和是数列的一个重要内容,由于求和形式多样,所
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案).doc
求数列前N项和的种方法(含例题和答案)_数学_高中教育_教育专区。求数列前 ...若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将...
求数列的前n项和常用方法.doc
求数列的前n项和常用方法 - 数列求和的常用方法 1.公式法:①等差数列求和公式
求数列前N项和的常用方法.doc
求数列前N项和的常用方法 - 求数列 前 N 项和的常用方法 核心提示: 项和要
数列求和的8种常用方法(最全).doc
数列求和的8种常用方法(最全) - 求数列前 n 项和的 8 种常用方法 一.公
数列前n项和常用方法.doc
数列前n项和常用方法 - 数列前 n 项和常用方法 一、分组求和 1 . 已知数
2018高三数学 求数列前n项和的8种常用方法.doc
2018高三数学 求数列前n项和的8种常用方法_数学_高中教育_教育专区。2018 高三数学 求数列前 n 项和的 8 种常用方法 一.公式法(定义法) : 1.等差数列求和...
数列求和的几种常见方法.ppt
数列求和的几种常见方法 - 数列求和的几种常见方法 一、等差数列的前n项和: n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 二、等比数列的前n...
求数列前N项和的方法_图文.pdf
求数列的前n项和的几种方... 11页 1下载券 求数列前n项和的一般方法... 暂无评价 2页 免费 求数列前N项和的常用方法... 5页 免费 求数列的前...
求数列前n项和的几种方法_图文.ppt
求数列前n项和的几种方法 - 求数列前 n 项和的几种方法 数列求和是数列的一个
数列求和的8种常用方法(最全).doc
数列求和的8种常用方法(最全) - 求数列前 n 项和的 8 种常用方法 一.公
求数列前N项和的常用方法.doc
求数列前N项和的常用方法 - 求数列 前 N 项和的常用方法 核心提示:求数列的
求数列的前n项和列(教案+例题+习题).doc
求数列的前n项和列(教案+例题+习题) - 四.数列求和的常用方法 1.公式法:
方法点拨:求数列前n项和的常用方法.doc
求数列前 n 项和的常用方法点拨核心提示:求数列的前 n 项和要借助于通项公式,即先有通项公式,再在分析数列通项公式 的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为...
数列求和7种方法(方法全_例子多).doc
逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。...? 的前 n 项和. 2
数列求和7种方法.pdf
数列求和7种方法_企业管理_经管营销_专业资料。一、利用常用求和公式求和 利用...前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an bn}的前 n 项和...
求数列的通项公式常见类型与方法_图文.ppt
求数列的通项公式常见类型与方法 - 求数列的通项公式几种常见类型及方法 数列通项公式是数列核心之一,它如同 函数的解析式一样,有解析式便可研究其性质等...