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高三数学试题不等式专题练习及答案


2010 年高考数学试题分类汇编——不等式
? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 1、 (2010 浙江理数) (7) 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9, ? x ? m y ? 1 ? 0, ?

则实数 m ? (A) ? 2 (B) ? 1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本 题主要考察了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中 档题 2、 (2010 全国卷 2 理数) (5)不等式 (A) ? x x< ? 2, 或 x>3? (C)
x ?x?6
2

x ?1

> 0 的解集为(



(B) ? x x< ? 2, 或1< x<3? (D) ? x ? 2< x<1, 或1< x<3?

? x ? 2< x<1, 或 x>3?

【答案】C【解析】 数轴穿根法解得-2<x<1 或 x>3,故选 C
x?2 ? x?2 x

利用

3、 (2010 江西理数)3.不等式
2) A. (0, 0) B. ( ?? ,

x

的解集是(



? C. (2, ? )

? ? D.( - ? , 0) (0, ? )

【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 得 A。或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 4、 (2010 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 9 11 A. 3 B. 4 C. D. 2 2
? x ? 2y ? 解 析 : 考 察 均 值 不 等 式 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ? 2 ?
2

x?2 x

? 0 ,解

, 整 理 得

? x ? 2 y ?2

? 4 ? x ? 2 y ? ? 32 ? 0

即 ? x ? 2 y ? 4 ?? x ? 2 y ? 8 ? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4

? x ? y ? 11 ? 0 ? 5、 (2010 北京理数) (7)设不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

表示的平面区域为 D,若指数函

数 y= a 的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ?? ]
2

x

答案:A
1 ? 10 ac ? 25 c 的最小
2

6、 (2010 四川理数) (12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2 a ?

1 ab

?

a (a ? b )

值是

w_w w. k#s5_u.c o* m

(A)2
2

(B)4
1 ? 1 a (a ? b ) 1 ab

(C) 2 5
2 2 2

(D)5
1 ab ? 1 a (a ? b )
w_w_w.k *s 5*u .c o*m

解析: 2 a ?

ab
2

? 10 ac ? 25 c = ( a ? 5 c ) ? a ? ab ? ab ?

= ( a ? 5 c ) ? ab ?

? a (a ? b) ?

1 a (a ? b )

≥0+2+2=4

当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立如取 a= 2 ,b= 条件.答案:B 7、 (2010 全国卷 1 文数) (10)设 a ? log 3 2, b ? ln 2, c ? 5 (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a 10.C【解析 1】 a= log 3 2=
1 log 2 3
?2
1

2 2

,c=

2 5

满足



(C) c ? a ? b (D) c ? b ? a , b=In2=
1 log 2 e

,而 log 2 3 ? log 2 e ? 1 ,所以 a<b,

c= 5

?

1 2

=

1 5

,而 5 ? 2 ? log 2 4 ? log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b.
1 log
3 2

【解析 2】 a= log 3 2=

,b=ln2=

1 log
e 2

, 1 ? log 2 ? log 2 ? 2 ,
e 3

1 2

?

1 log
3 2

?

1 log 2
e

? 1;

c= 5

?

1 2

?

1 5

?

1 4

?

1 2

,∴c<a<b

?x ? 1 ? 8、 (2010 福建理数)8.设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域是 ?2 与 ?y ? x ?
?1 关于直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的

最小值等于(

)

A.

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

【 答 案 】 B 【 解 析 】 由 题 意 知 , 所 求 的 | AB | 的 最 小 值 , 即 为 区 域 ?1 中 的 点 到 直 线
3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

可看出点(1,1)到直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为
2? | 3 ?1 ? 4 ?1 ? 9 | 5 ? 4 ,所以选 B。

?y ? x ? ? y ? mx ?x ? y ? 1 9.(湖南理 7)设 m>1,在约束条件 ? 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m

的取值范围为 A. (1, 1 ? C. (1,3 ) 【答案】A

2)

B. 1 ? 2 , ?? ) ( D. (3, ?? )

x ? y ?1 10.(湖北理 8)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 , 则 z 的取值范围为 A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] 【答案】D
?0 ? x ? 2 ? ?y ? 2 ? 11.(广东理 5) 。已知在平面直角坐标系 xO y 上的区域 D 由不等式组 ? x ? 2 y 给定。若 ???? ??? ? ? M ( x , y ) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为

A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3 【答案】C 12.(福建理 8)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M(x,y)为平面区域, ??? ? ???? ? 上的一个动点,则 O A · O M 的取值范围是 A.[-1.0] B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]

?x ? y ? 2 ? ?x ? 1 ?y ? 2 ?

【答案】C
1

13.(重庆理 7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a
7

?

4 b 的最小值是

9

B.4 C. 2 D.5 14.(上海理 15)若 a , b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是
2 2 A. a ? b ? 2 ab

A. 2

B. a ? b ? 2 ab
b ? a b ?2

1

C.D a

?

1 b

?

2 ab
? 2 1? x , x ? 1 f ( x) ? ? ?1 ? log 2 x , x ? 1

D. a

15.(辽宁理 9)设函数 (A) [? 1 ,2] 【答案】D

,则满足 f ( x ) ? 2 的 x 的取值范围是 (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )

(B)[0,2]

16.(浙江理 16)设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是
2 2

. 。

2 10

【答案】

5

?3 ? 2 x ? y ? 9 ? 17.(全国新课标理 13)若变量 x,y 满足约束条件 ? 6 ? x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2y 的最小值 是_________. 【答案】-6
x ?1

18.(上海理 4)不等式 x 【答案】 x ? 0 或
x? 1 2

?3

的解为



19.(广东理 9)不等式 【答案】 [1, ?? )

x ?1 ? x ? 3 ? 0

的解集是



2 20.(江苏 14)设集合 , B ? {( x , y ) | 2 m ? x ? y ? 2 m ? 1, x , y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是 ______________ 1 [ ,2 ? 2 ] 【答案】 2

A ? {( x , y ) |

m

? ( x ? 2 ) ? y ? m , x , y ? R}
2 2 2

21、 (2010 全国卷 2 文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)求出函数的导数,由导数大于 0,可求得增区间由导数小于 0,可求得减区间。
3 2

? ? (2)求出函数的导数 f ( x ) ,在(2,3)内有极值,即为 f ( x ) 在(2,3)内有一个零点, ? ? 即可根据 f (2) f (3) ? 0 ,即可求出 A 的取值范围。

22、 (2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( a ? 1) ln x ? ax ? 1 .
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ? 2 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? (0, ?? ) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 | x1 ? x 2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x ) ?
a ?1 x ? 2 ax ? 2 ax ? a ? 1
2

.

x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少;
a ?1 2a ? a ?1 2a a ?1 2a

当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?
a ?1 2a

.当 x∈(0,

?

)时, f ?( x ) >0;
a ?1 2a

x∈( ?

,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,

)单调增加,在( ?



+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 等价于
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≥4x1-4x2,即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x ) ?
2 ax ? 4 x ? a ? 1
2

a ?1 x

? 2 ax +4



.

x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x ? 4 x ? 1
2



? (2 x ? 1) x

2

≤0.

x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 .


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