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简单的三角恒等变换一课一练2

3.2 简单的三角恒等变换 一、选择题: 1 1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) 3 A.- 2 3 B.- 1 3 C. 1 3 D. 2 3 C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( ) A.等边三角形 C.不等边三角形 B.等腰三角形 D.直角三角形 3.sinα+sinβ= A.- 2π 3 3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈(0,π) ,则 α-β 等于( ) 3 2π π π B.- C. D. 3 3 3 4.已知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 等于( ) A.-m B.m C.-4m 二、填空题 5.sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________. 6.已知 α-β= D.4m 2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于_________. 3 3 三、解答题 7.求证:4cos(60° -α)cosαcos(60° +α)=cos3α. 8.求值:tan9° +cot117° -tan243° -cot351° . 9.已知 tan ??? 2 ? 6 13 ,tanαtanβ= ,求 cos(α-β)的值. 2 7 10.已知 sinα+sinβ= 2 ,cosα+cosβ= 2 ,求 tan(α+β)的值. 3 5 sin x 1 2 ,x∈(0,π) 11.已知 f(x)=- + . 2 2 sin x 2 (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值. 1 1 2 A?C ? ?? 12. 已知△ABC 的三个内角 A、 B、 C 满足: A+C=2B, , 求 cos cos A cos C cos B 2 的值. 13. 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b, 求证: (2cos2A+1)2=a2+b2. 14. 求证:cos2x+cos2(x+α)-2cosxcosαcos(x+α)=sin2α. 15. 求函数 y=cos3x· cosx 的最值. 参考答案 一、选择题 1.C 2. B 二、填空题 5. 3. D 4. B 1 7 6.- 4 9 三、解答题 7.证明:左边=2cosα[cos120° +cos(-2α) ] =2cosα(- 1 +cos2α) 2 =-cosα+2cosα· cos2α =-cosα+cos3α+cosα =cos3α=右边. 8.解:tan9° +cot117° -tan243° -cot351° =tan9° -tan27° -cot27° +cot9° = = = sin 9? cos 9? sin 27? cos 27? ? ?( ? ) cos 9? sin 9? cos 27? sin 27? sin2 9? ? cos2 9? sin2 27? ? cos2 27? ? sin 9? cos 9? sin 27? cos 27? 2 2 2(sin 54? ? sin18?) =4. ? ? sin18? sin 54? sin18? cos 36? sin? sin ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 13 ? ? 9.解:∵tanαtanβ= , cos? cos ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) 7 ∴cos(α-β)=- 10 cos(α+β) . 3 6 2 ) 1 ? ? 2 ?? , ? ? ? 5 6 1 ? tan 2 1 ? ( )2 ? 2 1 ? tan 2 1? ( 又 tan ??? ? ??? 6 ? ,∴cos(α+β)= 2 从而 cos(α-β)=- 10 1 2 × (- )= . 3 5 3 sin? ? sin ? 10.解: ? cos ? ? cos ? ??? ??? 2 sin cos 2 ? ? =3, ,由和差化积公式得 ??? ??? 2 2 cos cos ? ? 3 2 tan ∴tan ??? ? ??? 2??? =3,从而 tan(α+β)= ? ? ? ? tan ? 2?3 3 ?? . 2 4 1? 3 sin 11.解: (1)f(x)= 5x x 3x ? sin 2 cos sin x 3x x 2 2 ? 2 ? 2 cos cos =cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1. x x 2 2 2 sin 2 sin 2 2 (2)∵f(x)=2(cosx+ ∴当 cosx=- 1 2 9 ) - ,且-1≤cosx≤1, 4 8 1 9 时,f(x)取得最小值- . 4 8 12.分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力. 解:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° , 2 =-2 2 , cos 60? 1 1 ∴ =-2 2 . ? cos A cos C ∵- 将上式化简为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 2cos A?C A?C cos =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C) ] , 2 2 将 cos (A-C) , 1 1 2 A?C A?C =cos60° = ,cos(A+C)=cos120° =- 代入上式得 cos = - 2 cos 2 2 2 2 2 A?C A?C A?C )-1 代入上式并整理得 4 2 cos2( )+2cos - 2 2 2 将 cos(A-C)=2cos2( 3 2 =0, 即[2cos A?C A?C - 2] [2 2 cos +3

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