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2015年高考文数全国1卷试题及答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文数
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A ? B 中的元素个数为 (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4) 3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? () (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i 4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

??? ?

??? ?

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为()

3 1 1 1 (B) (C) (D) 10 5 10 20 1 5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8 x 的焦点重 2
(A) 合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委 米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处 堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高 为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放的米约有() (A) 14 斛(B) 22 斛(C) 36 斛(D) 66 斛 7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? () (A)

17 19 (B) (C) 10 (D) 12 2 2

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为() (A) ( k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(C) ( k ? 9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? () (A) 5 (B) 6 (C)7(D)8

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 10、已知函数 f ( x ) ? ? , ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (A) ?

7 4

5 4 3 (C) ? 4 1 (D) ? 4
(B) ? 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( (A) 1 (B) 2 (C) 4 )

(D) 8

12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2x?a 的图像关于直线 y ? ? x 对称,且

f (?2) ? f (?4) ? 1,则 a ? ( )
(A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? . 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ? .
3

?

?

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 ,当 ?APF 周 8

?

?

长最小时,该三角形的面积为. 三、解答题 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 ,
2 sin B?

2 sA in

C s. i n

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.
?

18. (本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 交点,BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

19.(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣 传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2,?,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的 值.

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列 问题: (i)当年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1
2 2

交于 M,N 两点. (I)求 k 的取值范围; (II)若 OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

???? ? ????

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e ? a ln x .
2x

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题

号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是 ? O 直径,AC 是 ? O 切线,BC 交 ? O 与点 E.

(I)若 D 为 AC 中点,证明:DE 是 ? O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 : x ? ?2 , 圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 , 以坐标原点为极点,x
2 2

轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文

答案

一、 选择题 (1)D (2)A (7)B (8)D 二、 填空题

(3)C (9)C

(4)C (5)B (6)B (10)A (11)B (12)C

(13)6

(14)1

(15)4

(16) 12 6

三、

解答题

17、解: (I)由题设及正弦定理可得 b2 =2ac.

a ? c2 ? b2 1 又 a=b,可得 cosB= = ……6 分 4 2ac
(II)由(I)知 b2 =2ac. 因为 B= 90 o ,由勾股定理得 a 2 ? c2 =b2 .
2 2 故 a ? c =2ac ,的 c=a= 2 .

2

所以△ABC 的面积为 1. 18、解:

……12 分

(I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,又∠ABC= 120 ,可得
o

……5 分

AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可的 EG=

3 x. 2 2 x. 2

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE ? ACD = 故 x =2 从而可得 AE=EC=ED= 6 .

1 1 6 3 6 × AC·GD·BE= . x ? 3 2 24 3
……9 分

所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 19、解: (I)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程式 类型. (II)令 w ? ……12 分

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于

? ? d= i ?1

8

( wi ? w)( yi ? y )

? (w ? w)
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

? ? c ? y ? d w ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为

?

? y ? 100.6 ? 68 x
(Ⅲ) (i)由(II)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

? y ? 100.6 ? 68 49=576.6 ,
年利润 z 的预报值

? z=576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 ……9 分
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

? z=0.2(100.6+68 x )-x=-x ?13.6 x ? 20.12 .
所以当 x ?

13.6 ? =6.8 ,即 x =46.24 时, z 取得最大值. 2
……12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 20、解:

(I)由题设,可知直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 因为 l 与 C 交于两点,所以

2k ? 3 ? 1 1? k 2

?1 .

解得

4? 7 4? 7 . ?k ? 3 3 4? 7 4? 7 , ). 3 3
……5 分

所以 k 的取值范围为 (

(II)设 M ? x1 , y1 ? , N ( x2 , y2 ) . 将 y ? kx ? 1 代入方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,整理得

(1 ? k 2 ) x2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 .
所以 x1 ? x2 ?

4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2

OM ? ON ? c1x2 ? y1 y2
? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1

?

4k ?1 ? k ? ?8. 1? k 2 4k ?1 ? k ? ? 8 =12,解得 k=1,所以 l 的方程是 y=x+1. 1? k 2
……12 分

由题设可得 ?

故圆心 C 在 上,所以 MN ? 2 . 21、解:
2x (I) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 2e ?

l

a ( x? 0) . x

当 a ≤0 时, f ? ? x ??0,f ? ? x ? 没有零点; 当 a ? 0 时, 因为 e 单调递增,?
2x

a 单调递减, 所以 f ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增, 又 f ? ? a ??0 , x

当 b 满足 0<b< ……6 分

a 1 且 b< 时, f ?(b)?0 ,故当 a <0 时 f ? ? x ? 存在唯一零点. 4 4

(II)由(I) ,可设 f ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 的唯一零点为 x0 ,当 x ? ? 0,x0 ? 时, f ? ? x ? <0;

当 x ? ? x0, ? ?? 时, f ? ? x ? >0. 故 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 单调递减,在 ? x0, ? ? ? 单调递增,所以 x ? x0 时, f ? x ? 取得最小值, 最小值为 f ? x0 ? . 由于 2e
2 x0

?

a a 2 2 ? 0 ,所以 f ? x0 ? ? ? 2ax0 ? a1n ? 2a ? a1n . x0 2 x0 a a
2 . a
……12 分

故当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2a ? a1n 22、解:

(I)连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠OED+∠ABC= 90 ,所以∠DEC+∠OEB= 90 ,故∠OED= 90 ,DE 是 ? O 的切线. ……5 分
o o o

(II) 设 CE=1, AE= x , 由已知得 AB= 2 3 , BE= 12 ? x .由射影定理可得,AE ? CE ? BE ,
2 2 2 4 2 o 所以 x ? 12 ? x ,即 x ? x ? 12 ? 0 .可得 x ? 3 ,所以∠ACB= 60 .

2

……10 分 23、解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,

C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .
(II)将 ? ?

……5 分

?
4

代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得
2

?1 ? 2 2, ?2 ? 2 .故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2

由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 24、解:

1 . 2

……10 分

(I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ?1 ? 2 x ?1 ?1 >0 . 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4>0 ,无解; 当 ?1<x<1 时,不等式化为 3x ? 2>0 ,解得 <x<1 ; 当 x ? 1 ,不等式化为- x +2>0,解得 1≤ x <2. 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x ︱ <x<2? .

2 3

? 2 ? 3

? ?

……5 分

? x ? 12a, x< ? 1 ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ?? x ? 1 ? 2a, x<a. ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个丁点分别为

2 2 ? 2a ? 1 ? A? ,0 ? , B ? 2a ? 1,0 ? , C ? a, a ? 1? ,△ABC 的面积为 ? a ? 1? . 3 ? 3 ?

由题设得

2 2 ? a ? 1? >6,故 a >2. 3
……10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ? ?? .


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