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2015《数列》高考真题总结及答案


2015《数列》高考真题总结
1.(2015· 新课标 I 卷 13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an} 的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________. 2.(2015· 浙江卷 10)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零.若 a2,a3, a7 成等比数列,且 2a1+a2=1,则 a1=__________________ ,d= __________________. 1 3. (2015· 安徽卷 13)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+2(n≥2), 则数列{an}的前 9 项和等于________.

4.(2015· 新课标 I 卷 7)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的 前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=( ) 17 19 A. 2 B. 2 C.10 D.12

5. (2015· 新课标Ⅱ卷 5)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+ a3+a5=3,则 S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11

6.(2015·北京卷 16)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项 相等?

7.(2015 四川文科 16)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. ?1? (2)设数列?a ?的前 n 项和为 Tn,求 Tn. ? n? 9 8.(2015· 重庆卷 16)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=2.

(1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.

9.(2015· 浙江卷 17)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2, b1=1, an+1=2an(n 1 1 1 ∈N*),b1+2b2+3b3+…+nbn=bn+1-1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 10.(2015· 福建卷 17)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an-2+n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值. 11. (2015· 安徽卷 18) 已知数列{an}是递增的等比数列, 且 a1+a4=9, a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; a n +1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 SnSn+1 Tn. 12.(2015·天津卷 18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等 差数列,且 a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和. 13.(2015· 广东卷 19)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1, 3 5 a2=2,a3=4,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值; 1 ? ? (2)证明:?an+1-2an?为等比数列; ? ? (3)求数列{an}的通项公式. 14.(2015· 湖北卷 19)设等差数列{an}的公差为 d, 前 n 项和为 Sn, 等比 数列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; an (2)当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n

15.(2015· 湖南卷 19)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1,a2=2, 且 an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)证明:an+2=3an; (2)求 Sn.

16.(2015·山东卷 19)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列 1 n { }的前 n 项和为 . an· an+1 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+1)· 2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

1 17. (2015· 新课标Ⅱ卷 9)已知等比数列{an}满足 a1=4,a3a5=4(a4 -1),则 a2=( ) 1 1 A.2 B.1C.2D.8

2015《数列》高考真题答案
a 1.【答案】6【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ? n ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
Sn ? 2(1 ? 2n ) ? 126 n 1? 2 ,∴ 2 ? 64 ,∴n=6.



2 , ?1 2 2.【答案】 3 【解析】由题可得, (a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ) ,故有 3a1 ? 2d ? 0 ,

又因为

2a1 ? a2 ? 1 ,即 3a1 ? d ? 1 ,所以

d ? ?1, a1 ?

2 3.

1 1 an ? an ?1 ? , 且a2 ? a1 ? 2 2 3.【答案】27【解析】∵ n ? 2 时,

?a ?是以a1 为首项, 2 为公差的等差数列 ∴ n


1

S9 ? 9 ? 1 ?

9?8 1 ? ? 9 ? 18 ? 27 2 2

1 1 8a1 ? ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) S ? 4 S 4 ,∴ 2 2 4.【答案】B【解析】∵公差 d ? 1 , 8 ,解得 1 1 19 a1 = 2 ,∴ a10 ? a1 ? 9d ? 2 ? 9 ? 2 ,故选 B.
5.【答案】A

?a ? a ? 2n ? 2 ; b 6.【答案】 (I) n (II) 6 与数列 n 的第 63 项相等.
试题解析: (Ⅰ)设等差数列 又因为

?an ? 的公差为 d .因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 .
,故

a1 ? a2 ? 10

,所以

2a1 ? d ? 10

a1 ? 4

.所以

an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ?) .
(Ⅱ)设等比数列 所以

?bn ? 的公比为 q .因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 ,所以 q ? 2 , b1 ? 4 .
.由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 .所以

b6 ? 4 ? 26?1 ? 128

b6

与数列

?an ? 的第 63 项相等.

7.【解析】(Ⅰ)

由已知 Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)

即 an=2an-1(n≥2),从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1,又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1),所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列。故 an=2n.

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? 2 ? ...... ? n ? 1 1 1 2 2 2 2n ? n 1? a 2 所以 T = 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 n n

8.【答案】 (Ⅰ)

an =

n +1 T = 2n - 1 . 2 , (Ⅱ) n
a1 + 2d = 2,3a1 + 3? 2 9 d= , 2 2

试题解析: (1)设

{an }

的公差为 d ,则由已知条件得

3 1 n- 1 n +1 a1 + 2d = 2, a1 + d = , a1 =1,d = , an =1+ an = 2 , 2 。 2 , 2 . 化简得 解得 , 故通项公式 即 b1 =1,b4 =a15 =

(2)由(1)得 故

b 15+1 q3 = 4 = 8 =8 {b } b1 2 。设 n 的公比为 q,则 ,从而 q = 2 .

{bn } 的前 n 项和
Tn = b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 1- q 1- 2 . b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 1- q 1- 2 .

Tn =

n n ?1 * 9.【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2 ? 2(n ? N )

试题解析:(1)由 当 n ? 1 时,

a1 ? 2, an ?1 ? 2an

,得

an ? 2n

.

b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 .

bn ?1 n ? 1 1 ? bn ? bn ?1 ? bn b n ,所以 bn ? n . 当 n ? 2 时, n ,整理得 n
(2)由(1)知,

anbn ? n ? 2n

。所以

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
所 以
n? 1 Tn ? 2Tn ? ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n? 2n? 1 ? (1? n )2 ? 2







Tn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 .
a ? n?2; 10.【答案】 (Ⅰ) n (Ⅱ) 2101 .
? ?a1 ? d ? 4 ? an ? ? ?? a ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15 , d 【解析】 (I)设等差数列 的公差为 .由已知得 ? 1

?a1 ? 3 ? a ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 d ?1 解得 ? .所以 n .
(II)由(I)可得 所以

bn ? 2n ? n .

b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? ? 22 ? 2 ? ? ? 23 ? 3? ? ??? ? ? 210 ? 10 ?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ? ? ? ? 211 ? 2 ? ? 55 ? 211 ? 53 ? 2101


2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

2n ?1 ? 2 a ? 2n ?1 (Ⅱ) 2n ?1 ? 1 11.【答案】 (Ⅰ) n

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 ? ? a ? a ? a 2 ? a3 ? 8 ,又 a1 ? a4 ? 9 ,可解的 ?a4 ? 8 或 ?a 4 ? 1 【解析】 (Ⅰ)由题设可知 1 4
(舍去)
3 a ? a1 q 由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 n
n ?1

? 2 n ?1 .

a S ? Sn 1 1 a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n bn ? n ?1 ? n ?1 ? ? Sn ? ? ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1 1? q 1? 2 (Ⅱ) ,又

?1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S 2 ? 1 所 以
? 1? 1 2
n ?1

? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ?? S ?S 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? ? 2 ? n

?1 .

n a ? 2n ?1 , n ? N? , bn ? 2n ? 1, n ? N? ;(II) S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 12.【答案】 (I) n

?2q 2 ? 3d ? 2, ? 4 an } bn } { { q ? 3d ? 10, 消 q ? 0 试题解析 ( : I) 设 的公比为 q, 的公差为 d,由题意 ,由已知,有 ?
4 2 {a } a ?2 去 d 得 q ? 2q ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 ,所以 n 的通项公式为 n
n ?1

, n ? N? , {bn }

的通项公式为

bn ? 2n ? 1, n ? N? .

(II)由(I)有

cn ? ? 2n ? 1? 2n ?1

,设

{cn } 的前 n 项和为 Sn

,则

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 ,
2 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ,
两式相减得 所以

? S n ? 1 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? ? 2n ? 3? ? 2 n ? 3,
.
n ?1

S n ? ? 2n ? 3 ? 2 n ? 3

?1? 7 an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? 13.【答案】 (1) 8 ; (2)证明见解析; (3)
【解析】 试题分析: (1) 令 n ? 2 可得



a4 的值; 4 S ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1( n ? 2 ) (2) 先将 n ? 2

1 ? ? an ?1 ? an ? ? 4a ? an ? 4an ?1 ,再利用等比数列的定义可证 ? 2 ? 是等比数列; 转化为 n ? 2 (3)先 1 ? 1 ? ? ? ?an ?1 ? an ? ?an ?1 ? an ? 2 ? 的通项公式,再将数列 ? 2 ? 的通项公式转化为数列 由(2)可得数列 ?

? ? ? ? ? an ? ? n ? ?? 1 ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? 是等差数列,进而可得数列 ?an ? 的通项公式.
试 题 解 析 : ( 1 ) 当

n?2





4 S 4 ? 5S 2 ? 8S3 ? S1





? 3 5 ? ? 3? ? 3 5? 7 4 ? 1 ? ? ? a4 ? ? 5 ? 1 ? ? ? 8 ? 1 ? ? ? ?1 a4 ? ? 2 4 ? ? 2? ? 2 4 ? ,解得: 8
(2) 因为

4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1( n ? 2 ) 4 S ? 4 S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? 4S n ?1 ? 4S n , 所以 n ? 2 4an ? 2 ? an ? 4an ?1
5 4a3 ? a1 ? 4 ? ? 1 ? 6 ? 4a2 4 (n?2 ) ,因为 ,所以
, 因 为

(n?2 ) ,即

4an ? 2 ? an ? 4an ?1

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 ? n?2 ? n ?1 n ? ? 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2 , 所 以 数 列
1 ? ? 1 1 a2 ? a1 ? 1 ?an ?1 ? an ? 2 ? 是以 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列 1 ? ? 1 1 a2 ? a1 ? 1 ?an ?1 ? an ? 2 ? 是以 2 (3)由(2)知:数列 ? 为首项,公比为 2 的等比数列,所

1 ?1? an ?1 ? an ? ? ? 2 ?2? 以

n ?1

an ?1 ?1? ? ? 即?2? an ?1? ? ? ?2?
n

n ?1

? ? ? ? ? an ? a a1 ? nn ?4 ? n ? ?2 1 ? ? ?1? ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? ?2? ,所以数列 ? ? ? ? 是以 2 为首项,公差为 4 的等差数列,所以
?1? ?1? an ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ?2? ,即
n ?1 n n ?1

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2

,所以数列

?1? an ? ? 2n ? 1? ? ? ? a ? n ? 的通项公式是 ?2?

1 ? a ? (2n ? 79), ? ? n 9 ? ?an ? 2n ? 1, ? 2n ? 3 ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ? n ?1 Tn ? 6 ? n ?1 n b ? 2 . ? ? 9 2 14.【答案】 (Ⅰ) ? n 或? ; (Ⅱ) .

n?2 ?3 (5 ? 3 2 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2 15.【答案】 (I)略;(II)
* a ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) , 【解析】试题分析: ( I )当 n ? N , n ? 2 时,由题可得 n ? 2

an ?1 ? 3Sn ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) , 两 式 子 相 减 可 得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 , 即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) ,然后验证当 n=1 时,命题成立即可; (II)通过求解数列 {an } 的奇数项
与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式. 试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N ,有
*

an ? 2 ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,

* a ? 3Sn ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) 因而对任意 n ? N , n ? 2 ,有 n ?1 ,

两式相减,得 又

an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 ,即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) ,

a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S 2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 ,
*

故对一切 n ? N ,

an ? 2 ? 3an 。

an ? 2 ?3 a ? 0 {a } a ? 1 ,公比为 3 的等比 a n (II)由(I)知, ,所以 n ,于是数列 2 n ?1 是首项 1
数列,数列 于是

{a2 n } 是首项 a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 a2 n ?1 ? 3n ?1 , a2 n ? 2 ? 3n ?1 ,

S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n )
3(3n ? 1) 2

? (1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ? 2(1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ? 3(1 ? 3 ? ? 3n ?1 ) ?

从而

S 2 n ?1 ? S 2 n ? a2 n ?

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n ?1 ? (5 ? 3n ? 2 ? 1) 2 2 ,

n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 Sn ? ? n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2 综上所述,

16.【答案】 (I)

an ? 2n ? 1. (II)

Tn ?

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . 9

【解析】 (I)设数列

?an ? 的公差为 d ,

1 1 ? aa 3 ,所以 a1a2 ? 3 . 令 n ? 1, 得 1 2
1 1 2 ? ? a a a2 a3 5 ,所以 a2 a3 ? 15 . 令 n ? 2, 得 1 2
解得

a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1.
bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n ,

(II)由(I)知 所以

4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4n ? n ? 4n ?1

两式相减,得

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3 Tn ? 3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 9 9 9

所以

17.【答案】C


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