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2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题 Word版含答案_图文

2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 (4 月 24 日上午 8:30—11:00) 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 48 分.给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 10}, A 是 M 的子集,且 A 中各元素的和为 8 ,则满足条件的子 1、已知集合 M ={1,2,3, , 集 A 共有( A. 8 个 ) B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个 ? 3x ? y ? 0 ? ? 2、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是( ? y?0 ? ? A. ) 3 2 B. 3 C. 2 D. 2 3 3、设 a, b , c 是同一平面内的三个单位向量,且 a ? b ,则 (c ?a) ?(c ?b ) 的最大值是( A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. ) 2 ?1 D. 1 ) ,2, 4、从 1 A. ,20 1 5 这 20 个数中,任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成等差数列的概率为( B. 1 10 C. 3 19 D. 1 38 ) 2 5、 A, B 是抛物线 y ? 3 ? x 上关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点,则 | AB | 等于( A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2 6、如图,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中, G 为 ?BCD 的重心, M 是线段 AG 的中点, 则三棱锥 M ? BCD 的外接球的表面积为( ) A. ? 3 B. 3 ? 2 2 C. 6 ? 4 D. 6 ? 8 B A M 7、设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c 均为非零整数). 若 f (a) ? a , f (b) ? b ,则 c 的值是( 3 3 D G C ) D. 16 A. ?16 B. ?4 C. 4 8 、设非负实数 a, b, c 满足 ab ? bc ? ca ? a? b? c ?0 ,则 ( ) A. 2 B. 3 C. ab ? bc ? ca的最小值为 3 D. 2 2 二、填空题(每小题 8 分,共 32 分) 9、在数列 {an } 中,a4 ? 1, a11 ? 9 ,且任意连续三项的和都是 15 ,则 a2016 ? _______________. 10、设 m, n 均为正整数,且满足 24m ? n ,则 m 的最小值是_______________. 4 11、 设 f ( x)、g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 f ( x)+g ( x) ? 2x , 若对 x ? [1, 2] , 不等式 af ( x)+g (2 x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________. 12、设 x ? R ,则函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 3x ? 2 | ? | 4 x ? 3| ? | 5 x ? 4 | 的最小值为_________. 第二试 x sin 一、 (本题满分 20 分)设 x , y 均为非零实数,且满足 5 ? tan 9? . ? ? 20 x cos ? y sin 5 5 5 ? ? y cos ? (1)求 y y 的值; (2)在 ?ABC 中,若 tan C ? ,求 sin 2 A ? 2 cos B 的最大值. x x 二、 (本题满分 20 分) 已知直线 l : y ? 3x ? 4 , 动圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (1 ? r ? 2) , 菱形 ABCD 的一个内角为 60 0 ,顶点 A, B 在直线 l 上,顶点 C , D 在圆 O 上,当 r 变化时,求菱形 ABCD 的面积 S 的取值范围. 三、 (本题满分 20 分)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 P, Q 两点,圆 O1 的弦 PA 与圆 O2 相切,圆 O2 的弦 PB 与圆 O1 相切,直线 PQ 与 ?PAB 的外接圆 O 交于另一点 R .求证: PQ ? QR . P O1? A ?O 2 Q ?O B R 四、 (本题满分 30 分)设函数 f ( x) ? ln x ? a ( ? 1), a ? R ,且 f ( x ) 的最小值为 0 , ( 1 ) 求 a 的 值 ; ( 2 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ? 2(n ? N? ) , 设 1 x Sn ? ?a1 ? ? ?a2 ? ? ?a3 ? ? ? ?an ? ,其中 [ m ] 表示不超过 m 的最大整数.求 Sn . 五、 (本题满分 30 分)设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,对任意整数 n ? 2 ,证明: n a b c 3 ?n ?n ?n . b?c c?a a?b 2

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