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2010全国高中数学联赛一试试题及评分标准

2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)

说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 他中间档次。

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分)
1. 函数 f (x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 [?3, 3] .
解:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8?,且 f (x) 在 ?5,8?上是增函数,从而可知 f (x) 的值域为[?3, 3] .
2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 ? 3 ? a ? 12 . 2

解:令 sin x ? t ,则原函数化为 g(t) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g(t) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .

由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 ,

? at(t 2 ?1) ? 3(t ?1) ? 0 ,

(t ?1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ?1 ? 0 知

? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t) ? ?3 .

(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立;

对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;

对 ?1 ? t ? 0,? 1 ? t 2 ? t ? 0 . 4

从而可知

? 3 ? a ? 12 . 2

3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为

整数的点)的个数是 1790 .

解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k(k ? 1,2,?,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直

1

线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数

9
? (99 ? k) ? 99? 9 ? 45 ? 846 .
k ?1
又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 846 ? 98 ? 1790 .
4. 已知{an }是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,

且存在常数? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,则? ? ? ? 3 3 ? 3 .

解:设{an }的公差为 d ,{bn} 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,

(1)

3(3 ? 4d ) ? q 2 , (2)

(1)代入(2)得

9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ?1) ? log? 9n?1 ? ? 对一切正整数 n 都成立, 即 6n ? 3 ? (n ?1) log? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立. 从而 log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? , 求得 ? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3. 5. 函数 f (x) ? a 2x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ?[?1,1]上的最大值为 8,则它在这个区间上

的最小值是 ? 1 . 4

解:令 a x ? y, 则原函数化为 g( y) ? y 2 ? 3y ? 2 , g( y) 在 (? 3 ,+?) 上是递增的. 2
当 0 ? a ? 1 时, y ?[a, a ?1 ] ,

g( y)max

?

a ?2

? 3a?1

?

2

?

8

?

a ?1

?

2

?

a

?

1 2



所以

g( y)min

?

(1)2 2

? 3?

1 2

?2

?

?1; 4

当 a ? 1 时, y ?[a ?1, a] ,

2

g( y)max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,

所以

g( y)min

?

2?2

? 3 ? 2?1

?2?

?1. 4

综上 f (x) 在 x ?[?1,1]上的最小值为 ? 1 . 4

6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另

一人投掷.先投掷人的获胜概率是 84 . 119

解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 21 ? 7 ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12
7 ? ( 5 )2 ? 7 ? ( 5 )4 ? 7 ?? 12 12 12 12 12 ? 7 ? 1 ? 84 . 12 1 ? 25 119
144
7. 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1P ? B1 ? ? ,则

sin ? ? 10 . 4

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立空间

直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则 B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA1 ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1P ? (?1, 3,?1) .

设分别与平面 BA1P 、平面 B1 A1P 垂直的向量是 m ? (x1, y1, z1) 、 n ? (x2 , y2 , z2 ) ,则

??m ?

?

BA1

?

?2x1

?

2z1

?

0,

??m ? BP ? ?x1 ? 3y1 ? z1 ? 0,

??n ?

?

B1

A1

?

?2x2

?

0,

??n ? B1P ? ?x2 ? 3y2 ? z2 ? 0,

由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) , ?? ? ?? ?
所以 m ? n ? m ? n cos? ,

即 3 ? 2 ? 2 cos? ? cos? ? 6 . 4

z

A1

B1
A O
B x

C1 P

C

y

3

所以 sin? ? 10 . 4
解二:如图, PC ? PC1, PA1 ? PB . 设 A1B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 ? OB, OA ? OB1, A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1,所以 PO ? AB1,

A1

B1 O

C1 E
P A

从而 AB1 ? 平面 PA1B .

C

过 O 在平面 PA1B 上作 OE ? A1P ,垂足为 E .

B

连结 B1E ,则 ?B1EO 为二面角 B ? A1P ? B1 的平面角.

设 AA1 ? 2 ,则易求得

PB ? PA1 ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 . 在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1P ? OE ,

即 2 ? 3 ? 5 ? OE,?OE ? 6 . 5

又 B1O ?

2,? B1E ?

B1O 2 ? OE 2 ?

2?6 ? 4 5 . 55

sin ?

? sin ?B1EO ?

B1O B1 E

?

4

2 5

?

10 . 4

5

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 336675 .

解:首先易知 x ? y ? z ? 2010 的正整数解的个数为

C2 2009

? 2009 ?1004 .

把 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k .
易知 1 ? 3?1003 ? 6k ? 2009 ?1004 ,

4

6k ? 2009 ?1004 ? 3?1003 ?1 ? 2006 ?1005 ? 2009 ? 3? 2 ?1 ? 2006 ?1005 ? 2004 ,
k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671. 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为
1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .
二、解答题(本题满分 56 分)
9. (本小题满分 16 分)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?(x) ? 1,
试求 a 的最大值.
解一: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c,

? f ?(0) ? c,



?? ? ?

f

?( 1 ) 2

?

3 4

a

?

b

?

c,



?? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c

3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1) . 2

所以 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1 ) 2

(4 分) (8 分)

? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1) 2

?8,

a?8. 3

(12 分)

又易知当 f (x) ? 8 x3 ? 4x2 ? x ? m( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 8 .(16 分)

3

3

解二: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c .

设 g(x) ? f ?(x) ? 1,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g(x) ? 2 .

设 z ? 2x ?1 ,则 x ? z ? 1 ,?1 ? z ? 1. 2

h(z) ? g( z ? 1) ? 3a z 2 ? 3a ? 2b z ? 3a ? b ? c ? 1.

24

2

4

容易知道当 ?1 ? z ? 1时,0 ? h(z) ? 2,0 ? h(?z) ? 2 .

从而当 ?1 ? z ? 1时, 0 ? h(z) ? h(?z) ? 2 , 2



0 ? 3a z 2 ? 3a ? b ? c ? 1 ? 2 ,

4

4

(4 分) (8 分)

5

从而 3a ? b ? c ? 1 ? 0 , 3a z 2 ? 2 ,

4

4

由 0 ? z2 ? 1知 a ? 8 . 3

(12 分)

又易知当 f (x) ? 8 x3 ? 4x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 8 .(16 分)

3

3

10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y 2 ? 6x 上的两个动点 A(x1, y1)和B(x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 且

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

解一:设线段 AB 的中点为 M (x0 , y0 ) ,则

x0

?

x1 ? x2 2

? 2, y0

?

y1 ? y2 2



k AB

?

y2 ? y1 x2 ? x1

?

y2 ? y1

y

2 2

?

y12

?

6 y2 ? y1

?

3 y0

.

66

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y

?

y0

?

?

y0 3

(x

?

2) .

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .

由(1)知直线 AB 的方程为

y ? y0 ?

3 (x ? 2) ,即 y0

x

?

y0 3

(y ?

y0 ) ? 2.

(2)代入 y 2 ? 6x 得

(2)

(5 分)

y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y02 ? 12 ? 0 .(3)

依题意, y1, y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,所以

? ? 4 y02 ? 4(2 y02 ?12) ? ?4 y02 ? 48 ? 0 ,

y

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .

A

AB ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

B

O

C(5,0)

x

6

?

(1 ?

(

y0 3

)2

)(

y1

?

y2

)2

?

(1 ?

y

2 0

9

)[( y1

?

y2 )2

?

4 y1 y2 ]

?

(1 ?

y

2 0

9

)(4

y

2 0

?

4(2

y

2 0

? 12))

?2 3

(9 ? y02 )(12 ? y02 )

.

定点 C(5,0) 到线段 AB 的距离

h ? CM ?

(5 ? 2)2 ? (0 ? y0 )2 ?

9?

y

2 0

.

S ?ABC

?

1 2

AB

?h

?

1 3

(9

?

y

2 0

)(12

?

y

2 0

)

?

9

?

y

2 0

?1 3

1 2

(9

?

y

2 0

)(24

?

2 y02

)(9

?

y

2 0

)

(10 分)

?1

1

9? (

y

2 0

?

24 ?

2 y02

?9?

y02

)3

32

3

? 14 7 . 3

(15 分)

当且仅当 9 ? y02 ? 24 ? 2 y02 ,即 y0 ? ?

5 , A(6 ? 35 , 3

5?

7), B(6 ? 35 , 3

5?

7)或

A(6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B(6 ? 35 , ? 5 ? 7) 时等号成立.

3

3

所以 ?ABC 面积的最大值为 14 7 . 3

(20 分)

解 二 : 同 解 一 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 的 交 点 C 为 定 点 , 且 点 C 坐 标 为 (5,0) .

(5 分)

设 x1

?

t12 , x2

?

t

2 2

,

t1

?

t2 , t12

?

t

2 2

?

4 ,则

5

S

? ?ABC

1 2

t12

t

2 2

01 6t1 1 的绝对值, 6t2 1

S2 ?ABC

? (1 (5 2

6t1 ?

6t12t2 ?

6t1t

2 2

?

5

6t2 ))2

(10 分)

7

?

3 2

(t1

?

t2 )2 (t1t2

?

5) 2

?

3 2

(4

?

2t1t2 )(t1t2

?

5)(t1t2

?

5)

? 3 (14)3 , 23

S ?ABC

? 14 3

7,

当且仅当 (t1

? t2)2

? t1t2

? 5 且 t12

?

t

2 2

?

4,

(15 分)

即 t1 ?

7? 6

5,

t2 ? ?

7 ? 5 , A(6 ? 35 , 5 ?

6

3

7), B(6 ? 35 , 5 ? 3

7)或

A(6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B(6 ? 35 , ? 5 ? 7) 时等号成立.

3

3

所以 ?ABC 面积的最大值是 14 7 . 3

(20 分)

11.(本小题满分 20 分)证明:方程 2x3 ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增

正整数数列{an },使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

证 明 : 令 f (x) ? 2x3 ? 5x ? 2 , 则 f ?(x) ? 6x 2 ? 5 ? 0 , 所 以 f (x) 是 严 格 递 增 的 . 又

f (0) ? ?2 ? 0, f (1) ? 3 ? 0 ,故 f (x) 有唯一实数根 r ? (0, 1) .

24

2

(5 分)

所以 2r3 ? 5r ? 2 ? 0 ,

2? r 5 1?r3
? r ? r 4 ? r7 ? r10 ?? .

故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列.

(10 分)

若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足
r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ? 2 , 5
去掉上面等式两边相同的项,有
r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,

这里 s1 ?s 2 ?s3 ? ?, t1 ? t2 ? t3 ? ? ,所有的 si 与 t j 都是不同的.

(15 分)

不妨设 s1 ? t1 ,则

8

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ?s1 ? r t2 ?s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,矛盾.

1? r

1? 1

2

故满足题设的数列是唯一的.

(20 分)

9


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