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圆与方程教案


圆与方程
圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0)
方程表示圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 求圆的标准方程的一般步骤为: (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . (2)根据已知条件,建立关于 a,b,r 的方程组; (3)解此方程组,求出 a,b,r 的值; . (4)将所得的 a,b,r 的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的标准 方程. 求圆的标准方程的常用方法: (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a,b,r 的方程组,然后解出 a,b,r, 再代入标准方程. 圆的一般方程 把标准形式展开,整理得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 令 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,有:x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*) 我们把形如 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程.

从(*)式的得来过程可知, 只要是圆的方程就可以写成(*)的形式.那么能 2 2 否下结论:x +y +Dx+Ey+F=0 就是圆的方程? 对于方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . (1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以(的圆; (2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点(D E ,- ); 2 2
新疆

D E 1 ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径 2 2 2

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,不表示任何图形 圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.
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王新敞
学案

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D,E,F,因之只要求出这三个系数,圆 的方程就确定了. (3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显, 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显. 1.求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径 长和圆心坐标。

2.判断二元二次方程 4x2 ? 4 y 2 ? 4x ? 12 y ? 9 ? 0 是否表示圆的方程?如果是,请 求出圆的圆心及半径.

3.若方程 a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0 表示圆,则 a 的值为 ( A.-1. B.2 C.-1 或 2

) D.1

4.一个圆经过点 A(5,0) 与 B(?2,1) ,圆心在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上,求此圆的方程.

5.求经过 A(4, 2), B(?1,3) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程.

6.一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 , 求圆的方程。

7.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比 为 3:1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为
5 ,求该圆的方程. 5

点与圆的位置关系
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点与圆有三种位置关系:点在圆内;点在圆上;点在圆外 判断方法一:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d ? r ? 点在圆内; d ? r ? 点在圆上; d ? r ? 点在圆外 判断方法二:点P ( x0 , y0 ) ,圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 即(1)点P在圆上等价于 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ; (2)点P在圆内部等价于 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ; (3)点P在圆外部等价于 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) . 最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min ? BN ? BC ? r PB max ? BM ? BC ? r
(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min ? AN ? r ? AC PA max ? AM ? r ? AC
1.已知点 P(4a ? 1, 2a) 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 上,求 a 的值.

2.设点 P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9 上各点距离为 d,则 d 的最大值为______

直线与圆的位置关系 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系: (1)相交,有一两个公共点; (2)相切,只有一个公共点; (3)相离,没有公共点。 判断方法( d 为圆心到直线的距离) (1)相离 ? 没有公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (2)相切 ? 只有一个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (3)相交 ? 有两个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r
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直线与圆相切:圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r 切线条数:点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 求切线方程的方法: 点在圆外 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2
2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ?

第二步:通过 d ? r ? k ,从而得到切

线方程 注:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上 点在圆上:若点 ? x0, y0 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,则切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2
2 2 2 2 若点 ? x0, y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上,则切线方程为 ? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b?? y ? b ? ? r

直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题常用垂径定理 及勾股定理 .... (2)判断直线与圆相交的一种特殊方法:直线过定点,而定点恰好在圆内. 1.直线 3x-4y+1=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为 ( (A)
5



(B)4

(C) 2 5

(D)2

2.若直线 ax+y=1 与圆(x- 3 )2+(y-2)2=1 有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( A.(0, ) 3 ) B.(3 ,0) C.( 3 ,+∞) D.(-∞,3 )

3.已知点 M(a,b)(a,b≠0)是圆 C:x2+y2=r2 内一点, 直线 l 是以 M 为中点的弦所在 2 的直线,直线 m 的方程是 ax+by=r ,那么( ) A.l//m 且 m 与圆 C 相切 B. l⊥m 且 m 与圆 C 相切 C.l//m 且 m 与圆 C 相离 D. l⊥m 且 m 与圆 C 相离 2 2 4.直线(x+1)a+b(y+1)=0 与圆 x +y =2 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能 确定 5.把直线 x-2y+?=0 向左平移 1 个单位长度,再向下平移两个单位长度后,所得 直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数?的值为( ) A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13 6.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E , F 两点, 则三角形 EOF ( O
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是原点)的面积等于 。 7.若经过点 P(?1 , 0) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,求此直线在 y 轴上的 截距.

8.过点 (2, 4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 引切线,求切线方程.

9.已知圆 C :? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 , 直线 l :? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0 (m? R )
2 2

(1)证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程.

对称问题 1.圆本身关于直线对称,则直线过圆心。 2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称,半径不变。 1、曲线 x2+y2+2 2 x-2 2 y=0 关于 A.直线 x= 2 轴对称 C.点(-2, 2 )中心对称 ( ) B. 直线 y=-x 轴对称 D.点(- 2 ,0)中心对称

2.若圆 x 2 ? y 2 ? ? m 2 ? 1? x ? 2my ? m ? 0 ,关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则实数 m 的 值_ . 3.已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ?x 对称, 则圆 C 的方程为 2 2 2 2 2 2 A. ( x ? 1) ? y ? 1 B. x ? y ? 1 C. x ? ( y ? 1) ? 1 D. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1
2 2 2 2





4.已知圆 C1 :? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 与圆 C2 :? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为_______________
2 2

.

5.圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 关于点 ? 2, 3? 对称的曲线方程是__________________. 最值问题 方法主要有: (1)数形结合; (2)代换;
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1.在圆 x2+y2=4 上,与 3x-4y-12=0 距离最长的点的坐标是( A. ( 8 6 ,) 5 5 B. ( 6 8 ,) 5 5 C. (6 8 , ) 5 5

) D. (8 6 , ) 5 5

2. P 在圆 C1 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 上, 则 PQ 的 Q 在圆 C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 最小值是 。 3.一束光线从点 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路 程是( ) A.4 B.5 C.3 2 –1 ) 10 D.2 6

4.从点(m,3)向圆 x2+y2-2x=0 作切线,则切线长的最小值是( A.2 2 B. 7 C.3 D.

5.已知实数 x , y 满足方程 x2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0 ,求: (1) 小值.
y 的最大值和最小值; ( 2) y ? x 的最小值; (3) x 2 ? y 2 的最大值和最 x?5

圆与圆的位置关系 初中已经学过圆与圆有五种位置关系:外离/外切/相交/内切/内含 1.判断方法:几何法( d 为圆心距) (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 (5) d ? r1 ? r2 ? 内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 , 则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F1 ? F2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明: 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; (2) d ? r1 ? r2 ? 外切 (4) d ? r1 ? r2 ? 内切

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若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题 (1)过两圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 和 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交 点的圆系方程为 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? 0 ( ? ? ?1 ) 说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公 共弦) ( 2 ) 过 直 线 Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
(3)两圆公切线的条数问题 ①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公 切线;④相离时,有四条公切线 练习:1.若圆 C1: x2+y2-2mx+m2=4 和圆 C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2 相交,则 m 的取值 范围是( ) A. (12 2 ,) B.(0,2) 5 5 C. (12 2 , )∪(0,2) 5 5 D. (12 2 ,)∪(0,2) 5 5

2. 两 个 圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的 公 切 线 有 且 仅 有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3.求以圆 C1∶x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径 的圆的方程.

轨迹方程 (1)定义法(圆的定义) :略 (2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立 起动点坐标的关系式——轨迹方程. 练习:1.已知 M (-1,0), N (3,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的 轨迹方程( ) (A)
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2

(B)

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4

(C)

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2( y ? 0)

(D)

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4( y ? 0)

2.过原点 O 作圆 x2+y2+6x=0 的弦 OA (1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程; (2)延长 OA 到 N,使|OA|=|AN|,求 N 点的轨迹方程.

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3.如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1 O2 =4,过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的 切线 PM、PN(M、N 分别为切点) ,使得 PM ? 2PN ,试建立适当的坐标系,并 求动点 P 的轨迹方程。

M

P

O1
2 2

O2

4. 如图,已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x +y =1,动点 M 到圆 C 的 切线长与|MQ|的比等于 2 .求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
y

O

Q

x

九、空间直角坐标系 I 复习准备: 1.提问:平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法? 2.讨论:一个点在平面怎么表示?在空间呢? II 讲授新课: 1.空间直角坐标系: 如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点,分别 以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴
x轴.y轴.z轴 。这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.

(1)点 A 叫做坐标原点 (2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. (3)过每两个坐标轴 的平面叫做坐标面。

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2. 右手法则: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇 指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可 以决定三轴间的相位置。 3.有序实数组 (1).空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,有序实数组 ( x, y, z ) 叫 做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标 4、空间两点的距离公式 已知两点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),求此两点间的距离 d。 空间两点的距离公式:
d ? ( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2 。

思考:(1)点 M(x,y,z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离? (2)如果 OP 是定长 r,那么 x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? 5 练习: 1.点 A(0,-4,1),点 C 与 A 关于平面 xOy 对称, 点 B 与点 A 关于原点对称, 则|BC|= ( ) A.7 B.8 C.9 D.2 2 的 形 状 是

2. 已 知 点 A(1,4,-1),B(2,2,1),C(3,4,3), 则 △ ABC ___________________

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