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2014届高三数学一轮复习 对数与对数函数提分训练题


对数与对数函数
一、选择题 1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( A.y=2
|x|

). B.y=lg(x+ x +1)
2

C.y=2 +2

x

-x

D.y=lg

1

x+1

解析 依次根据函数奇偶性定义判断知,A,C 选项对应函数为偶函数,B 选项对应函数为奇 函数,只有 D 选项对应函数定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. 答案 D

?1?0 2.已知实数 a=log45,b=? ? ,c=log30.4,则 a,b,c 的大小关系为( ?2?
A.b<c<a C.c<a<b B.b<a<c D.c<b<a

)

?1?0 解析:由题知,a=log45> 1,b=? ? =1,c=log30.4<0,故 c<b<a. ?2?
答案:D 2 3.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析 ∵f(x) 为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ).

x+1 x+1 ∴f (x)=lg ,由 f(x)<0 得,0< <1, 1-x 1-x
∴-1 <x<0. 答案 A 4.设 a=lg e,b=(lg e) ,c=lg e,则( A .a>b>c C.c>a>b 1 2 解析: ∵0<lg e<1,∴lg e> lg e>(lg e) . 2 ∴a>c>b. 答案: B 5.函数 y= 2-x 的定义域是( lg x )
2

) B.a>c>b D. c>b>a

1

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} 2-x≥0 ? ? 解析: 要使函数有意义只需要?x>0 ? ?lg x≠0 解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 答案: D

B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D .{x|0<x<1 或 1<x≤2}

6.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

).

解析 由已知条件 0<a<1<b 和 f(a)=f(b)得,-lg a=lg b,则 lg a+lg b=0,ab=1, 2 2 因此 a+2b=a+ ,由对勾函数知 y=x+ 在(0,1)单调递减,得 a+2b>3,即 a+2b 的取值

a

x

范围是(3,+∞). 答案 C 7.若函数 f(x)=loga(x+b)的图像如图,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=a +b 的大致图 像是( )
x

解析:由 f(x)=loga(x+b)的图像可知 0<a<1,且 0<b<1,则函数 g(x )=a +b 的大致图像 是 D. 答案:D 二、填空题 8.函数 y= log 1
3

x

x-

的定义域为________.

x- ? ?log 1 3 解析:要使函数有意义? ? ?2x-3>0,



2

3 即 0<2x-3≤1,∴ <x≤2. 2
? 3 ? 答案:?x| <x≤2? 2 ? ? ? ?e ,x≤0, 9.设 g(x)=? ?ln x,x>0, ?
x

? ?1?? 则 g?g? ??=________. ? ?2??

1 ?1? 解析: g? ?=ln <0, 2 ?2?

? ?1?? ? 1? ln1 1 ∴g?g? ??=g?ln ?=e 2= . 2 ? ?2?? ? 2?
答案: 1 2

10. 已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A? B, 则实数 a 的取值 范围是(c, +∞), 其中 c=__ ______. 解析 ∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A? B,∴a>4,∴c=4. 答案 4 11.函数 f(x)= log0.5(3x -ax+ 5)在(- 1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ________.
2

a ? ? ≤-1, 解析 设 g(x)=3x -ax+5,由已知?6 ? ?g(-1)≥0,
2

解得-8≤a≤-6. 答案 [-8,-6] 12.已知函数

f(x)=?

? ?3

x+1

x x>0

? ?log2x

,则使函数

f(x)的 图象位于直线 y=1

上方的 x 的取值范围是________. 解析:当 x≤0 时,3 ∴-1<x≤0 ; 当 x>0 时,log2x>1? x>2,∴x>2. 综上所 述:-1<x≤0 或 x>2. 答案:-1<x≤0 或 x>2 三、解答题 1? 1 1 1? 13.求 值 ?lg32+log416+6lg ?+ lg . 2? 5 5 5?
x+1

>1? x+1>0,

3

1? 1? ?1?6 解析:原式= ?lg32+2+lg? ? +lg ? 5? 5? ?2? 1 1?? 1? ? = ?2+lg?32· · ?? 64 5?? 5? ? 1? 1? = ?2+lg ? 10 5? ? 1 1 = [2+(-1)]= . 5 5 14.已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; 4 x (2)设 g(x)=log4(a·2 - a),若函数 f(x)与 g(x)的图 象有且只有一个公共点,求实数 a 3 的取值范围. 解析:(1)∵函数 ∴
x

f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是 偶函数
1+4 x x x )-kx=log4(4 +1)-(k+1)x=log4(4 +1)+ 4
x

f(-x)=log4(4-x+1)-kx=log4(

kx 恒成立
1 ∴-(k+1)=k,则 k=- 2 4 x (2)g(x)=log4(a·2 - a), 3 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程 f(x)=g(x)只有一个解 1 4 x x 由已知得 log4(4 +1)- x=log4(a·2 - a) 2 3 4 +1 4 x ∴log4 x =log4(a·2 - a) 2 3 4 ? ?a·2 -3a>0 方程等价于? 4 +1 4 ? 2 =a·2 -3a ?
x x x x x

4 x 2 设 2 =t(t>0),则(a-1)t - at-1=0 有一解 3 4 2 若 a-1>0,设 h(x)=(a-1)t - at-1,∵h(0)=-1<0,∴恰好有一正解 3 ∴a>1 满足题意 若 a-1=0,即 a=1 时,不满足题意 4 2 3 若 a-1<0,即 a<1 时,由△=(- a) +4(a-1)=0,得 a=-3 或 a= 3 4

4

1 当 a=-3 时,t= 满足题意 2 3 当 a= 时,t=-2(舍去) 4 综上所述实数 a 的取 值范围是{a|a>1 或 a=-3}. 15. 若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时, 求 f(x)=2 的 x 的值. 解析 y=lg(3-4x+x ) ,∴3-4x+x >0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3},
2 2 2

x+2

-3×4 的最值及相应

x

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2 =t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2.
x

? 2?2 4 2 ∴f(t)=4t-3t =-3?t- ? + (t>8 或 0<t<2). ? 3? 3
由二次函数性质可知:

? 4? 当 0<t<2 时,f(t)∈?0, ?, ? 3?
当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 x 当 2 =t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大 值为 ,无最小值. 3 3 16.已知函数 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性; 解析 (1)令

x+b (a>0,b>0,a≠1). x-b

x+ b >0, x- b

解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞) . -x+b ?x+b?-1 (2)因 f(-x)=loga =loga? ? -x-b ?x-b? =-loga

x+b =-f(x), x-b

故 f (x)是奇函数. (3)令 u(x)=

x+b 2b ,则函数 u(x)=1+ 在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数,所以当 x-b x-b

0<a <1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当 a>1 时,f(x)在(-∞,-b)

5

和(b,+∞)上是减函数.

6


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