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高考数学不等式题型归纳

不等式题型
知识回顾梳理 1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有: (1)对称性:a>b ? b<a; (2)传递性:若 a>b,b>c,则 a>c; (3)可加性:a>b ? a+c>b+c; (4)可乘性:a>b,当 c>0 时,ac>bc;当 c<0 时,ac<bc。 不等式运算性质: (1)同向相加:若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (2)异向相减: a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d . (3)正数同向相乘:若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd。 (4)乘方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ; (5)开方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 n a ? n b ; 1 1 (6)倒数法则:若 ab>0,a>b,则 ? 。 a b 2、基本不等式(或均值不等式) a2+b2≥2ab(a,b∈R) , a 2 ? b2 推广 a2+b2≥2|ab|;或变形|ab|≤ ; 2
?a ? b? 当 a,b≥0 时,a+b≥ 2 ab 或 ab≤ ? ? . ? 2 ? 3、不等式的证明 (1)不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法; (2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用; (3)证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。 4、 不等式的解法 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形 都要恒等。 一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。 一元二次不等式与相应的函数,方程的联系
2


2

求一般的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集,要
2 2

2 结合 ax ? bx ? c ? 0 的根及二次函数 y ? ax ? bx ? c 图象确定解集. 2 对 于 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) , 设 ? ? b ?4 a c , 它 的 解 按 照
2



? ? 0,? ? 0,? ? 0 可分为三种情况.相应地,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象
与 x 轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集,列表如下:

含参数的不等式应适当分类讨论。 5、不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域,值域,研究函数单调性等。在解决问 题过程中,应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等。 6、线性规划问题的解题方法和步骤 解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的 一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值 求解。它的步骤如下: (1)设出未知数,确定目标函数。 (2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。 (3)由目标函数 z=ax+by 变形为 y=- 线 y=-

a z x+ ,所以,求 z 的最值可看成是求直 b b

a z x+ 在 y 轴上截距的最值(其中 a、b 是常数,z 随 x,y 的变化而变化) 。 b b z 最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。 b

(4)作平行线:将直线 ax+by=0 平移(即作 ax+by=0 的平行线) ,使直线与可行 域有交点,且观察在可行域中使

(5)求最优解:将(4)中求出坐标代入目标函数,从而求出 z 的最大(或最小)值。 7、绝对值不等式 (1)|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a}; |x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a 或 x<-a}。 (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 典型例题剖析 题型一:不等关系与不等式

例1、设 a, b ? R ,若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. b ? a ? 0 B. a ? b ? 0
3 3


2 2

C. b ? a ? 0

D. a ? b ? 0

例 2、已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( ) A、 a ? b
2 2

B、 a b ? ab
2

2

C、

1 1 ? 2 2 ab a b

D、

b a ? a b

题型二:一元二次不等式及其解法 例3、不等式 x ? x 的解集是(
2



0) A. (??,

1) B. (0,

? ?) C. (1,

0) D. (??,

(1, ? ?)

例4、 “ x ? 2 ”是“ x ? x ? 6 ? 0 ”的什么条件??(
2



A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 例5、不等式 2
x2 ? 2 x ? 4

?

1 的解集为 2



例 6、已知集合 A ? x| x2 ? 5 x ? 4 ≤ 0 , B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0 ,若 B ? A ,求 实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

题型三:简单的线性规划

?x ? 0 ? 例 7、若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动 ?y ? x ? 2 ?
直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( )A.

3 4

B.1

C.

7 4

D.5

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 例 8、若变量 x,y 满足 ? ,则 z=3x+2y 的最大值是 ( x ? 0 , ? ? ? y ? 0,
A.90 B. 80 C. 70 D. 40

)

例 9、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告 总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规 定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最 大收益是多少万元?

题型四:基本不等关系 例 10、已知 x,y ? R + ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 .

例 11、已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则 ( (A) ab ?

) (D) a ? b ? 3
2 2

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a ? b ? 2
2 2

例 12、已知 x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

?

y2 的最小值 xz



题型五:绝对值不等式 例 13、 “|x-1|<2”是“x<3”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

2 例 14、不等式 x ? x ? 2 的解集为(

) (D) ? ?2, 2 ?

(A) ? ?1, 2?

(B) ? ?1,1?

(C) ? ?2,1?

题型六:不等式的综合应用 例 15、如图,某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x, y (单位: 米)的矩形,上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 平方米. (Ⅰ)求 x, y 的关系式,并求 x 的取值范围; (Ⅱ)问 x, y 分别为多少时用料最省?

x

例 16、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运 转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备 老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备?

题型七:不等式的证明 例17、已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例 18、已知 a ? - ,b ? - 且a ? b ? 1 ,求证 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2

1 2

1 2

例 19、已知 m,n 为正整数. (Ⅰ )用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)m≥1+mx;

1 ? 1 m ? ? ? ?1? (Ⅱ )对于 n≥6,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? ? ? ,m=1,1,2…,n; 2 ? n ? 3? ? n ? 3? ? 2?
(Ⅲ )求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n.

n

n

m

强化训练 一、填空题 1. (福建改编)下列不等式一定成立的是________.(填序号) 1? 1 2 ①lg? ?x +4?≥lg x(x>0);②sin x+sin x≥2(x≠kπ,k∈Z); 1 ③x2+1≥2|x|(x∈R); ④ 2 >1(x∈R). x +1

2. 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:

c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是________. a b 3. 设 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b= ________.

5. 函数 y=a1

-x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 (mn>0)上,

1 1 则 + 的最小值为________. m n 2 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q 两 x 点,则线段 PQ 长的最小值是________.

x≥1, ? ? 7. (课标全国Ⅱ改编)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 为 1,则 a=________.

若 z=2x+y 的最小值

x-2y+3≥0, ? ? 8. 已知变量 x, y 满足约束条件?x-3y+3≤0, ? ?y-1≤0, 到最大值,则实数 a 的取值范围为________.

若目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取

y≥0, ? ? 9. 已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ? ?y-2x+4≥0, 个,则 a 的值为________.

若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数

x+y-2≥0, ? ? 10.(浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. k=________.

若 z 的最大值为 12,则实数

二、解答题 11.求解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

12.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进 行防辐射处理,建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用 k p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p= (0≤x≤8),若距离为 1 km 时, 3x+5 测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已 知购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元.设 f(x)为建造宿舍与修路费 用之和. (1)求 f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求最小值.

1 13.已知函数 f(x)= ax3-bx2+(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值, 3 且 0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围.


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