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2011-2015高考全国卷理科数学新课标I试题及答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

(A)

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

2?i (1)复数 的共轭复数是 1 ? 2i 3 3 (A) ? i (B) i 5 5
(A) y ? x2 (B) y ? x ?1

(C) ?i (C) y ? ? x2 ? 1

(D) i (D) y ? 2
?x

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?
(C) P2 , P 3 (D) P2 , P4

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函数是 (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

?( x? ? ? ) ( 11 ) 设 函 数 f ( x) ? s i n
f (? x)? f ( x,则 )
(A) f ( x ) 在 ? 0,

c? o sx(? ? ? )? (

? ? 0? , 的最小 ) 正周期为 ? ,且
2

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = (A) ?

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

? ?? ? ? 3? ? (B) f ( x ) 在 ? , ? 单调递减 ? 单调递减 ? 2? ?4 4 ? ? ?? ? ? 3? ? (C) f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递增 (D) f ( x ) 在 ? , ? 单调递增 ? 2? ?4 4 ? 1 (12)函数 y ? 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标之和等于 x ?1
(A)2 (B) 4 (C) 6 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? (D)8

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



(14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2 在 过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为

x 轴上,离心率为


2 。 2

(15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 (16)在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 求数列 ?an ? 的通项公式. 。

等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (8) ? x ? (A)-40 (9)由曲线 y ? (B) 3
5

(C)2

(D)3

设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?

? ?

a ?? 1? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x?
(B)-20 (C)20 (D)40

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
1

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (19)(本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量 越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新 配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量 指标值,得到下面试验结果:

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清 题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长 为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D ,
2

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

E 所在圆的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. (以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ? ??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA? AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

则不同的排列方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种 (D) 36 种

(12)正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ?

?1 ? 3i ? 1? i (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) 1 ? 2i (2)已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ?
(1)复数

3 。动点 P 7

从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第 (D) 1 ? 2i 一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10

(A) 0 或 3 (B) 0 或 3 (C) 1 或 3 (D) 1 或 3 (3)椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 (D) ? ?1 (A) (B) (C) 16 12 12 8 8 4 12 4 AB ? 2 , (4) 已知正四棱柱 ABCD ? A 则直线 AC1 CC1 ? 2 2 ,E 为 CC1 的中点, 1B 1C1D 1中 ,
与平面 BED 的距离为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1

二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

1 } 的前 100 项和为 an an ?1 100 99 99 101 (A) (B) (C) (D) 101 100 100 101 ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? (6)?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ?a ,CA ? b ,a ? b ? 0 ,| a |? 1 ,| b |? 2 ,则 AD ? 1? 1? 2? 2? 3? 3? 4? 4? (A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b (D) a ? b 3 3 3 3 5 5 5 5 3 (7)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 3 5 5 5 5 (A) ? (B) ? (C) (D) 3 9 9 3 2 2 (8)已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF | ? 2 | PF2 | ,则 1
(5)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 {

? x ? y ?1 ? 0 ? (13)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为__________。 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
(14)当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________。
n ( 15 )若 ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

1 x

1 的系数为 x2

_________。
? (16)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 ,则异面直

线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效 ) ........... 求C 。

?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 , a ? 2c ,
P

cos ?F1PF2 ?
(A)

1 4

(B)

3 5
? 1 2

(C)

3 4

(D)

4 5

(9)已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e (A) x ? y ? z
3

,则 (C) z ? y ? x (D) y ? z ? x
B E A D C

(B) z ? x ? y

(10)已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c ? (A) ?2 或 2 (B) ?9 或 3 (C) ?1 或 1 (D) ?3 或 1

(11)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,
3

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试卷上作答无效 ) ........
2 2 2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A , 且在点

PA ? 底面 ABCD ,AC ? 2 2 , PA ? 2 , 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。 (Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。

1 2

A 处两曲线的切线为同一直线 l .
(Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。

(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发 球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发 球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试卷上作答无效 ) ........ 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , 定义数列 {xn } 如下: Qn ( xn , f ( xn )) x1 ? 2 ,xn ?1 是过两点 P(4,5) 、 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。 (Ⅰ)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (Ⅱ)求数列 {xn } 的通项公式。

(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? ax ? cos x , x ? [0, ? ] 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。

4

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 数学(理科) 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的一项。 1、已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则 ( ) A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) 4 4 A、-4 (B)- (C)4 (D) 5 5 3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先 已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况 差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 4、已知双曲线 C :

( x ? y)2m?1 展开式的二项式系数的最大值为 b ,若 13 a =7 b ,则 m =
A、5
2

(

)

B、6 C、7 D、8 2 x y 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的 a b 中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 x2 y2 x2 y2 A、 + =1 B、 + =1 45 36 36 27 11、已知函数 f ( x ) = ? () x2 y2 C 、 + =1 27 18 x2 y2 D 、 + =1 18 9

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0

,若| f ( x ) |≥ ax ,则 a 的取值范围是

A . (??, 0]

B . (??,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0]

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
1 x 3 1 C.y?? x 2
D . y ? ?x

12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… cn+an bn+an 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则( ) 2 2 A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60° ,c=ta+(1-t)b,若b· c=0,则t=_____. 14、若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

A.y??

1 x 4

B.y??

5、运行如下程序框图,如果输入的 t ?[?1,3] ,则输出 s 属于

A .[-3,4]

B .[-5,2]

C .[-4,3]

D .[-2,5]

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水 深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 866π 3 A、 cm B、 cm 3 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 16、若函数 f ( x ) = (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x =-2对称,则 f ( x ) 的最大值是______.

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm?1 =-2, Sm =0, Sm?1 =3, 则m= ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A . 16 ? 8? B . 8 ? 8? C . 16 ? 16? D . 8 ? 16? 9 、设 m 为正整数, ( x ? y)
2m

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1, P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA

展开式的二项式系数的最大值为 a ,
5

18、(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

(21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? b , 若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0, g ( x) = e x (cx ? d ) ,
2

2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围。

19、(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品 中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批 产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过 检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 50%,且各件产品是 否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量 检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望。

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平 分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 求△BCF 外接圆的半径。 (23)(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ? 已知 ,延长 CE 交 AB 于点 F,

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 5 ? 5sin t

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π )。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆心
2 2 2 2

已知函数 f ( x ) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x ) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

P 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|.

a 1 , )时, f ( x ) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

6

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B = A .[-2,-1] B .[-1,2) D .[1,2) C .[-1,1]
2

9.不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4 p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 . 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 ,
B . p1 , p4

(1 ? i ) = (1 ? i ) 2 C . ?1 ? i D . ?1 ? i A .1 ? i B .1 ? i 3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的
3

2.

其中真命题是 A . p2 , p3

C . p1 , p2

D . p1 , p3

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦 点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

??? ?

??? ?



A . f ( x) g ( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数 C . f ( x) | g ( x) |是奇函数 2 2 4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为
3 D . 3m

5 C .3 D .2 2 3 2 11.已知函数 f ( x) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为 C .(1,+∞) D .(-∞,-1) A .(2,+∞) B .(-∞,-2)

A.

7 2

B.

A.

B .3

C .

3m

12.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率

A.6 2

B .4 2

C .6

D .4

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必 考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生 根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为
8 2 2

???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 . 2 16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 则 ?ABC 面积的最大值为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,an ? 0 ,an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (I)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

.

16 7 C. 2 5 ? 1 ? sin ? ? 8.设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A.

20 3

B.

D.

15 8

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

7

18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图: (I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值 作代表); (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (? , ? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;
2
2

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N (? , ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t (I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; o (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值.
已知曲线 C :

19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (I)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2),椭 圆 E :

(I) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 a 2 b2

3 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 2 2 3 , O 为坐标原点. 3 (I)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

be x ?1 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切 x 线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (I)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .
x

8

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 (1)

(A)( (C)(

),k ),k

(b)( (D)(

),k ),k

(A)1 (2)sin20° cos10° -con160° sin10° = (A) ?

1+z 设复数 z 满足 =i,则|z|= 1? z (B) 2 (C) 3 (D)2

1 1 3 3 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为 n n (A) ? n ? N, n2 > 2 (B) ? n ? N, n2 ≤ 2 n n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2 (D) ? n ? N, n2 = 2
(4)投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6, 且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: <0,则 y0 的取值范围是 (A)(-

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10) ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (B)20 (C)30 (D)60 2 r

(A)10

???? ? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 2
(B)(-

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为 16 + 20 ? ,则 r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 x 12.设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的 整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( ) A.[ ?

3 3 , ) 3 3 2 2 2 2 (C)( ? , ) 3 3

3 3 , ) 6 6 2 3 2 3 (D)( ? , ) 3 3

r 正视图 r

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四 分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放斛的 米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

3 ,1) 2e

B. [ ?

3 3 , ) 2e 4

C. [

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 俯视图 .

2 r .

??? ? ??? ? (7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则 ???? ? 4 ???? 1 ??? (A) AD ? ? AB ? AC 3 3 ???? 1 ??? ? 4 ???? (B) AD ? AB ? AC 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? (C) AD ? AB ? AC 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? (D) AD ? AB ? AC 3 3
(8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为
9

?x ?1 ? 0 y ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 }的前 n 项和

(16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75° ,BC=2,则 AB 的取值范围是

.

(18)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° , E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

E F A B D C

(20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. (21)(本小题满分 12 分)

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,· · · ,8) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
年 销 售 量 /t 年宣传费(千元)

1 , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线;
3 已知函数 f(x)= x ? ax ?

(Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? (x ? 0)

,讨论

h(x)零点的个数

(22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E
1

? x
46.6

? ? y
56.3

?? w
6.8


?
x ?1

1

? (x1- x )2
289.8

?
x ?1

?? (w1- w )2
1.6

?
x ?1

1

(x1- x )(y-

?

? ? y)
1469

x ?1 ?? ? ? w )(y- y )

?

1

(w1-

(I) 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (II) 若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

108.8 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2,圆 C2 :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x 轴的

表中 w1 = x 1,

?? 1 w = 8

? w1
x ?1

1

正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求△C2MN 的面积 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; 4 (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截距的最小 二乘估计分别为: n (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 ( u ? u )( v ? v ) i i 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0. ? ? ?

?

??

?
i ?1

? (u ? u )
i ?1 i

n

,? ? v ? ? u

2

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

a2 n ? 2an ? 4Sn ? 3

10

2011 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标) 理科数学试卷参考答案
一、选择题 (1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题
2 3 2 (17)解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4
2

设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=(0,-1, ? 3 )

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
? 2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生 100

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

1 。 9

产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 的产品的优质品率的估计值为 0.42

有条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3
1 1 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产 100

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间 ?90,94? , ?94,102? , ?102,110?

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2 1 2 1 1 故 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn
(18)解:(Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐 标系 D- xyz ,则
2 2 2

的 频 率 分 别 为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。 ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 即

?

? ?

?

??? ? ???? ???? ??? ? AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0. 1 2 所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2 2 | 2 y0 ? x0 | 1 2 则 O 点到 l 的距离 d ? .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 2 4 x0 ? 4

(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),

????

????

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

(21)解:

因此可取 n= ( 3,1, 3)
11

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH. 因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解:
0

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。 ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 (12-2)=5. 2

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x2 x k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 2 (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时,(k-1)(x +1)+2x>0,故 h’ (x)>0,而 h(1) 1? k 1 1 =0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2 1 ’ (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0,可得 1? x2
考虑函数 h( x) ? 2ln x ? h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2 ?x ? ? 2 cos ?, ? ? ? x ? 4 cos? ? ?2 ? 即 ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ?2 ? ? x ? 4cos ? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ? (Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。
(I)设 P(x,y),则由条件知 M( 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
?
3 3

, 。

3 所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 。 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x ) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组
?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0 ?x ? a ?x ? a ? ? a ? ? a a 即 x? 或 a ? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? ? 2 ? 4 ? 2
由题设可得 ?

?

AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB

a = ?1 ,故 a ? 2 2

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 2 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.
12

2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标) 理科数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.答案 C 【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解。 【解析】因为

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 5 a ? d ? 15 ? ? 1 ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

?1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101
6.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三 角形求解点 D 的位置的运用。 【解析】由 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得 CD ?

2.答案 B 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合的关系的运用,元素与集合 的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想。 【解析】? A ? B ? A

? B ? A ,? A ? 1,3, m , B ? ?1, m?

?

?

? ?

2 5 ,所以 5

? m ? A ,故 m ? m 或 m ? 3 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 或 m ? 1 ,又根据集合元素的互异性 m ? 1,
所以 m ? 0 或 m ? 3 。 3.答案 C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后 借助于焦距和准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程。[来源:Z,xx,k.Com] 【解析】因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

AD ?

???? 4 ??? ? 4 ??? ? ??? ? 4? 4? 4 5 ,故 AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5 5

7.答案 A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平 方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正 弦值和余 弦值的问题。 【解析】 sin ? ? cos ? ?

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
4.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现了转换 与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可。 【解析】 因为底面的边长为 2, 高为 2 2 , 且连接 AC , BD , 得到交点为 O , 连接 EO , EO / / AC1 , 则点 C1 到平面 BDE 的距离等于 C 到平面 BDE 的距离, 过点 C 作 CH ? OE , 则 CH 即为所求, 在三角形 OCE 中,利用等面积法,可得 CH ? 1,故选答案 D。 5.答案 A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项求和的综 合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和。 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

1 2 3 ,两边平方可得 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 3 3 3

?? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
所以 cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 1 ?
2

2 15 ?? 3 3
5 3

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?

8.答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先 运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF 1 |? 2 x,| PF 2 |? x ,则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理可得

13

cos ?F1PF2 ?

PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点。 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

9.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法。 【解析】 ln ? ? ln e ? 1 , log 5 2 ? log 5 5 ?
1 ? 1 1 1 1 ,z ?e 2 ? ? ? ,故选答案 D。 2 e 4 2

?
3

3 ? 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值。 3 2 6 3 2 6 15.答案 56
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等,确定了 n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数。
2 6 【解析】根据已知条件可知 Cn ? Cn ? n ? 2?6 ?8,
8 r 8? r 所以 ( x ? ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x ,令 8 ? 2r ? ?2 ? r ? 5

? x?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

10.答案 A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与 x 轴有两 个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可。 【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小 值为零即可满足要求。而 f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x?)( x ? 1) ,当 x ? ?1 时取得极值 由 f (1) ? 0 或 f (?1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ?2 。 11.答案 A 【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。 【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有 3 种,再填写右上角的数为 2 种,在填写 第二行第一列的数有 2 种,一共有 3 ? 2 ? 2 ? 12 。 12.答案 B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形,来确定反 射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可。 【解析】解:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行 的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可。 一、填空题
[来源:学.科.网]

1 x

5 所以所求系数为 C8 ? 56 。

16.答案

6 6

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。 【解析】设该三棱柱的边长为 1,依题意有 AB1 ? AB ? AA 1 , BC1 ? AC ? AA 1 ? AB ,则

???? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ?2 ??? ? ???? ???? 2 | AB1 |2 ? ( AB ? AA1 ) 2 ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3 ???? ? ???? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? | BC1 |2 ? ( AC ? AA1 ? AB) 2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA1 ? AB ? 2 而

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0



???? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB1 ? BC1 ? ( AB ? AA1 ) ? ( AC ? AA1 ? AB) ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? AB ? AC ? AB ? AA1 ? AB ? AB ? AA1 ? AC ? AA1 ? AA1 ? AA1 ? AB
1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? 1 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? BC1 1 6 ? ? ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? ? 6 | AB1 || BC1 | 2? 3 ?
三、解答题 17.【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C (lb ylfx) 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )
14

答案: ?1 【命 题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型,只要正确作图,表示出区 域,然后借助于直线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点 (3, 0) 时,目 标函数最大 ,当目标函数过点 (0,1) 时最小为 ?1 。 14.答案:

]

5? 6

【命题意图】 本试题主要考查了三角函数性质的运用, 求解值 域的问题。 首先化为单一三角函数,

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C [来源:Z&xx&k.Com]
故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1
2

而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故 0 ? C ?

?
2

,所以 sin C ?

1 ? ,故 C ? 。 2 6

点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为 好。 19. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题。首先要 理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论。 解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则 P( A 1 ) ? 0.6, P( A 2 ) ? 0.6, P( A 3 ) ? 0.4 。 (Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,由互 斥事件有一个发生的概率加法公式得

【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内 角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定, 思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结合 a ? 2c ,得到两 角的二元一次方程组,自然很容易得到角 C 的值。 18. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解。 解 : 设 AC ? BD ? O , 以 O 为 原 点 , OC 为 x 轴 , OD 为 y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352 。
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)由题意 ? ? 0,1, 2,3 。

A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设 B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) 。

??? ? ??? ? 2 2 2 2 (Ⅰ)证明:由 PE ? 2 EC 得 E ( , 0, ) , 所以 PC ? (2 2, 0,? 2), BE ? ( , a, ) , 3 3 3 3 ??? ? ??? ????? 2 2 BD ? (0,2a,0) ,所以 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 , 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 。所以 PC ? BE , PC ? BD ,所以 PC ? 平面 BED ;
( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 A P? ( 0 , 0 , 2 A ) ,B ?

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144 ;
P (? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.4
08;

P(? ? 2) ? 0.352 ;
P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096
所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3? 0.096 ? 1.4 【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进 行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切, 容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况。 20. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数,要利用三角 函数的有界性,求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。 解: f ?( x) ? a ? sin x 。 (Ⅰ)因为 x ? [0, ? ] ,所以 0 ? sin x ? 1 。 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递增函数; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递减函数;

?

? ? ??

? ? ??

( ?2a , , ,由 0)

? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 n? A P ?0, n ? A? B 0 得 n ? (1, , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 又 a ? ? ?? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ??? ? ?? 2 B C? ( 2 , a , 0 ) C,? P ? ( 2 ,由 2, 0 m,? BC 2 ) ? 0, m ? CP ? 0 ,得 m ? (1, ? , 2) ,由于二 a
面角 A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。 所以 PD ? ( 2, 2, ?2) , 平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) , 所以 PD 与平面 PBC 所成

?? ?

??? ?

??

???? ? ??? | PD ? m | 1 ? ? ??? ? ? ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 . 角的正弦值为 ???? 6 | PD | ?| m | 2
【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱 形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分
15

当 0 ? a ? 1时,由 f ?( x) ? 0 得 sin x ? a , 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? arcsin a 或 ? ? arcsin a ? x ? ? ; 由 f ?( x) ? 0 得 arcsin a ? x ? ? ? arcsin a 。 所 以 当 0 ? a ? 1 时 f ( x) 在 [0,arcsin a] 和 [? ? arcsin a, ? ] 上 为 为 单 调 递 增 函 数 ; 在

当 x ? (0, arcsin

2

又 g (0) ? g ( ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即

?

?

) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (arcsin 2

2 ? , ) 时, g ?( x) ? 0 [来源:学科网] ? 2

2

?

x ? sin x(0 ? x ?

?

2

)

故当 a ?

2

?

时,有 f ( x) ?

2

①当 0 ? x ? ②当

?
2

?

x ? cos x (lbylf x)

时,

2

[arcsin a, ? ? arcsin a] 上为单调递减函数。[来源:Zxxk.Com]
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 1 ? sin x ? ax ? cos x ? 1 ? sin x ? ax ? 1 ? sin x ? cos x 当 x ? 0 时, 0 ? 1 ? sin 0 ? cos 0 ? 0 恒成立

?
2

?

x ? sin x , cos x ? 1 ,所以 f ( x) ? 1 ? sin x 2

? x ? ? 时, f ( x) ?

?

x ? cos x ? 1 ? 2

( x ? ) ? sin( x ? ) ? 1 ? sin x ? 2 2

2

?

?

综上可知故所求 a 的取值范围为 a ?

?



1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x ? a ?[ ]min 当 0 ? x ? ? 时, ax ? 1 ? sin x ? cos x ? a ? x x 1 ? sin x ? cos x (0 ? x ? ? ) ,则 令 g ( x) ? x (cos x ? sin x) x ? 1 ? sin x ? cos x (1 ? x) cos x ? ( x ? 1) sin x ? 1 g ?( x) ? ? x2 x2
又令 c( x) ? (1 ? x) cos x ? ( x ? 1)sin x ? 1 ,则

【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一 点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少。但是解决的关键还是 要看导数的符号,求解单调区间。第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个 难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解 决。 21. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以 及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此 基础上求解点到直线的距离。 解: ( 1) 设 A( x0 ,( x0 ?1)2 ) , 对y? x ? x(? 1 ) 当 x0 ? 1 时,不合题意,所心 x0 ? 1
2

c?( x) ? cos x ? (1 ? x)sin x ? sin x ? ( x ? 1) cos x ? ? x(sin x ? cos x)
3? ) 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c( x) 单调递减 则当 x ? (0, 4 3? , ? ] 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c( x) 单调递增 当 x?( 4 3? 所以 c( x) 在 x ? (0, ? ] 时有最小值 c( ) ? ? 2 ? 1 ,而 4
x ?0

求导得 y? ? 2( x ? 1) , 故直线 l 的斜率 k ? 2( x0 ? 1) ,

1 圆心为 M (1, ) , MA 的斜率 k ? ? 2

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2

lim c( x) ? (1 ? 0) cos 0 ? (0 ? 1) sin 0 ? 1 ? 0 , lim? c( x) ? c(? ) ? ?(1 ? ? ) ? 1 ? 0 ?
x ??

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即 2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1 ,解得 x ? 0 ,故 A(0,1) 0

综上可知 x ? (0, ? ] 时, c( x) ? 0 ? g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 (0, ? ] 单调递 所以 [ g ( x)]min ? g (? ) ?

2

所以 r ?| MA |? (1 ? 0) ? ( ? 1) ?
2 2

?
2

1 2

5 2
2

故所求 a 的取值范围为 a ?

?

。[来源:Z。xx。k.Com]

(2)设 (a,(a ?1) ) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为 y ? (a ? 1) ? 2(a ? 1)( x ? a) 即
2

另解:由 f ( x) ? 1 ? sin x 恒成立可得 f (? ) ? 1 ? a? ? 1 ? 1 ? a ? 令 g ( x) ? sin x ?

2

2

?

x(0 ? x ?

?
2

?

y ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1

) ,则 g ?( x) ? cos x ?

2

?
16

5 若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为 ,即 2
化简可得 a2 (a2 ? 4a ? 6) ? 0 求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10

1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 2 , ? 2 [2(a ? 1)]2 ? (?1) 2

由 2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ? 立

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ? 3 即 2 ? xk ?1 ? 3 也 成 xk ? 2 4 4 xk ? 2

综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

抛物线 C 在点 (ai ,(ai ? 1)2 )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2(a1 ?1) x ? a12 ?1 ②

y ? 2(a2 ?1) x ? a22 ?1 ③

4 xn ? 3 4 xn ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

a ? a2 ? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1) ②-③得 x ? 1 2
所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。 (2)由 xn ?1 ?

| 2 ? 2 ? (?1) ? 1| 2 ? (?1)
2 2

?

6 5 。[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 5

【点评】该试题出题的角 度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两 曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处。另外对于在 第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是 一个需要练习的方向。 22 解:(1)为 f (4) ? 42 ? 8 ? 3 ? 5 ,故点 P(4, 5) 在函数 f ( x ) 的图像上,故由所给出的两点

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x?2 xn ? 2

x ? ?1

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ② ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在。故有
直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 xn ? 4

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com] 3 5 ? xn ? 1 ?

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ?5 ? ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2
所以 xn ?1 ?

xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入 手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数 列进而求得数列的通基。 【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考 查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度。做这 类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可。

4 xn ? 3 xn ? 2

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 ? 4? , xk ? 2 xk ? 2
17

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标)
理科数学试卷参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.解析:∵x(x-2)>0,∴x<0 或 x>2. ∴集合 A 与 B 可用图象表示为: 由图象可以看出 A∪B=R,故选 B. 2.解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,

m? m ? 1? m ?1 ×1=0,∴ a1 ? ? . 2 2 m ?1 ?m ?3. 又∵am+1=a1+m×1=3,∴ ? 2
∵Sm=ma1+ ∴m=5.故选 C. 8.答案:A 解析: 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个 长方体, 由图中数据可知圆柱底面半径 r=2, 长为 4, 在长方体中,长为 4,宽为 2,高为 2,所以几何体 的体积为 πr2×4× 9.答案:B
m 解析:由题意可知,a= Cm 2 m ,b= C2 m ?1 ,

5 5(3 ? 4i) 3 4 ? ? ? i. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5 4 故 z 的虚部为 ,选 D. 5
∴z? 3.解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层 抽样. 4.答案:C

1 +4×2×2=8π+16.故选 A. 2

又∵13a=7b,∴ 13 ? 即

? 2m ? ! ? 2m ? 1?! =7 ? , m !m ! m !? m ? 1?!

c 2 a 2 ? b2 5 c 5 2 ? . ,∴ e ? 2 ? ? a a2 4 a 2 b 1 ∴a2=4b2, = ? . a 2 b 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x ? x . a 2
解析:∵ e ? 5.答案:A 解析:若 t∈[-1,1),则执行 s=3t,故 s∈[-3,3). 若 t∈[1,3],则执行 s=4t-t2,其对称轴为 t=2. 故当 t=2 时,s 取得最大值 4.当 t=1 或 3 时,s 取得最小值 3,则 s∈[3,4]. 综上可知,输出的 s∈[-3,4].故选 A. 6.答案:A 解析:设球半径为 R,由题可知 R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三 角形,即△OBA 为直角三角形,如图. BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由 R2=(R-2)2+42,得 R=5, 所以球的体积为

13 2m ? 1 ? .解得 m=6.故选 B. 7 m ?1

10.答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B 在椭圆上,

? x12 y12 ? ? 1, ① ? ? x ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? a 2 b2 ? =0 , ∴? ①-②,得 1 2 2 2 2 a b x y ? 2 ? 2 ? 1, ② ? ? a 2 b2 ? y ? y2 ?? y1 ? y2 ? b2 即 2 =? 1 , a ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?
∵AB 的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2, 而

0 ? ??1? 1 b2 1 y1 ? y2 = ,∴ 2 = . =kAB= 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2

又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9. ∴椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? =1 .故选 D. 18 9

11 答案:D 解析:由 y=|f(x)|的图象知: ①当 x>0 时,y=ax 只有 a≤0 时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除 B,C. ②当 x≤0 时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得 x2-2x≥ax. 当 x=0 时,不等式为 0≥0 成立. 当 x<0 时,不等式等价于 x-2≤a. ∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知:a∈[-2,0].
18

4 3 500 π5 ? π (cm3),故选 A. 3 3

7.答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. ∴d=am+1-am=3-2=1.

12.答案:B 13.答案:2 解析:∵c=ta+(1-t)b, ∴b· c=ta· b+(1-t)|b|2. 又∵|a|=|b|=1,且 a 与 b 夹角为 60° ,b⊥c, ∴0=t|a||b|cos 60° +(1-t),0= 14.答案:(-2)n
-1

∴f(-2- 5 )=[1-(-2- 5 )2][(-2- 5 )2+8(-2- 5 )+15] =(-8- 4 5 )(8- 4 5 ) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+ 5 )=[1-(-2+ 5 )2][(-2+ 5 )2+8(-2+ 5 )+15] =(-8+ 4 5 )(8+ 4 5 ) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16. 17.解:(1)由已知得∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 2 在 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得 PA =

1 t +1-t.∴t=2. 2

2 1 2 1 解析:∵ S n ? an ? ,①∴当 n≥2 时, S n ?1 ? an ?1 ? .② 3 3 3 3 2 2 an ①-②,得 an ? an ? an ?1 ,即 =-2. 3 3 an ?1 2 1 ∵a1=S1= a1 ? ,∴a1=1. 3 3
∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2)n 1.


3?

15.答案: ?

2 5 5

1 1 7 ? 2 ? 3 ? cos 30? ? . 4 2 4 7 故 PA= . 2
(2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 在△PBA 中, 由正弦定理得 化简得 3 cos α=4sin α. 所以 tan α=

2 ? 1 ? 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5 ? sin x ? cos x ? , 5 ? 5 ? 1 2 令 cos α= ,sin α= ? , 5 5 π 则 f(x)= 5 sin(α+x),当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5 , 2 π 即 θ=2kπ+ -α(k∈Z), 2 π 2 2 5 ? ? ?π ? 所以 cos θ= cos ? 2kπ+ ? ? ? = cos ? ? ? ? =sin α= ? . ?? 2 5 5 ? ? ?2 ?
16.答案:16 解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),

3 sin ? , ? sin150? sin(30? ? ? )

3 3 ,即 tan∠PBA= . 4 4

?b ? ?15?16 ? 4a ? b?, ?0 ? ?8?9 ? 3a ? b?, ?a ? 8, 解得 ? ?b ? 15.
即? ∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由 f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得 x1=-2- 5 ,x2=-2,x3=-2+ 5 . 易知,f(x)在(-∞,-2- 5 )上为增函数,在(-2- 5 ,-2)上为减函数,在(-2,-2+

18.(1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直.

以 O 为坐标原点, OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA | 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(- 1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ),BB1 = AA 0),AC 1 =(-1, 3 , 1
19

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

5 )上为增函数,在(-2+ 5 ,+∞)上为减函数.

=(0, ? 3 , 3 ). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

??? ? ? ?n ? BC ? 0, ? ? x ? 3z ? 0, 则 ? ???? 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). n ? BB ? 0, ? x ? 3 y ? 0. ? ? ? 1 ? ???? ???? n ? A1C 10 故 cos〈n, AC . ???? = ? 1 〉= 5 n A1C
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

20

19.解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品 全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是 优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互 斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =

当 k=

x2 y2 2 2 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 4

并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2=

4 1 1 1 3 ? ? ? ? . 16 16 16 2 64

?4 ? 6 2 . 7
2

所以|AB|= 1 ? k | x2 ? x1 |? 当k ? ?

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X=400)= 1 ?

18 . 7

4 1 11 1 1 ? ? ,P(X=500)= ,P(X=800)= . 16 16 16 16 4
X P 400 500 800

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 . 7

所以 X 的分布列为 综上,|AB|= 2 3 或|AB|=

11 16

1 16

1 4

21.解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. ①若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x) >0.即 F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2- x12 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ②若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2).


EX= 400 ?

11 1 1 +500 ? +800 ? =506.25. 16 16 4

20.解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭 圆(左顶点除外),其方程为

x y ? =1 (x≠-2). 4 3

2

2

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90° , 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| QP | R ? , | QM | r1

从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2(k-e2)<0.
- -

| 3k | 1? k
2

=1 ,

从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].

解得 k= ?

2 . 4
21

22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

解得 ?

? x ? 1, ? x ? 0, 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
? ? π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90° , 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG=

24.(2013 课标全国Ⅰ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

3 . 2

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于

3 . 2

23.(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 5 ? 5sin t
0.

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时, 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ ? ? y<

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, y ? 5 ? 5sin t ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将?

? x ? ? cos ? , 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ? y ? ? sin ?

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 由?

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a ? . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0,
2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

22

2014 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标)
理科数学试卷参考答案 1—5ADCAD 6—10 CDCBB 12CB 13.-20 14.A 15.90°16. 2

依题意知 X ? B (100, 0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26

………12 分

19. 【解析】 : (Ⅰ)连结 BC1 , 交 B1C 于 O, 连结 AO. 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C ? BC1 ?, 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO ? 又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 ………6 分

17.【解析】:(Ⅰ)由题设 an an ?1 ? ? S n ? 1 , an ?1an ? 2 ? ? S n ?1 ? 1 ,两式相减

an ?1 ? an ? 2 ? an ? ? ? an ?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? ?

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO? 又因为 AB=BC?,所以

…………6 分

?BOA ? ?BOC
故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ? 1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列: 由 an ? 2 ? an ? 4 知数列奇数项构成的数列 ?a2 m ?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列

a2 m ?1 ? 4m ? 3
令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

? ? ? 3? 3 ? 3 ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? 0, , A? ? 0, 0, 3 ? ? ? 3 ,0? ? C? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? ? ? ? ? ?

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2 m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2

???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,则

∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N * ), an ?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分

18.【解析】:(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200

s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? ?n?AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n ?m 7

?

?

?

?

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

20.【解析】(Ⅰ) 设 F ? c, 0 ? ? ? ,由条件知 …………6 分 所以 a=2?, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故 E 的方程 ………………9 分

? 150
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

2 2 3 c 3 ,得 c ? 3 ? 又 ? , ? c 3 a 2
……….6 分

x2 ? y2 ? 1. 4

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826
23

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

? ?? 0,1? 单调递增, 在? ??1, ?? ? 单调递减, 从而? ?h( x) g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为? h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 . ……12 分

x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k 2 ?
2

8k ? 2 4k ? 3 3 时, x1,2 ? 1 ? 4k 2 4
2

1 e

4 k 2 ? 1? 4 k 2 ? 3 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2
2

22.【解析】.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆, 所以 ? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,所以 ? D= ? E? ……………5分

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?
2

2 k 2 ?1

,所以 ? OPQ 的面积 S ?OPQ ?

1 4 4k 2 ? 3 d PQ ? , 2 1 ? 4k 2

(Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN, 则由 MB=MC? , 知 MN⊥BC? 所以 O 在 MN 上, 又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点, 故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E? ? ? 由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ ADE 为等边三角形. 23.【解析】.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ)(2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为 ……………10 分 ( ? 为参数), ………5 分

设 4k ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

7 当且仅当 t ? 2 , k ? ? 时等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方程 2
为: y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2. 2 2

…………………………12 分
x

? x ? 2 cos ? ? y ? 3sin ?

a b b 21.【解析】(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ?( x) ? ae ln x ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1 x x x
由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ? ? ,故 a ? 1, b ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x) ? e ln x ?
x

……………6 分

d?

2e x ?1 2 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? x e

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
d 2 5 4 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? 0 sin 30 5 3
22 5 ; 5
…………10 分

设函数? ?g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x , 所以当 x ? ? 0, ? ??时, g ?( x) ? 0 ? ? ,当 x ? ? , ?? ? ? ? 时, g ?( x) ? 0 ? ? , 故 g ( x) ? ? 在? ?? 0, ? 单调递减,在? ?? , ?? ? 单调递增,

则 | PA |?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为 24.【解析】(Ⅰ) 由 ab ?
3 3 3 3

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

2 5 . 5

1 1 从而? ?g ( x) 在 ? 0, ?? ? ? ? ? 的最小值为? g ( ) ? ? . e e
设函数? ?h( x) ? xe ? x ?

……………8 分

1 1 2 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ? ? a b ab

2 ?x ,则 h?( x) ? e ?1 ? x ? , e

b ? 4 2 ,且当 a ? b ? 故a ?b ? 3 a ?
∴ a 3 ? b3 的最小值为 4 2 .…5 分

2 时等号成立,

所以当 x ? ? 0,1? ? ? 时, h?( x) ? 0 ? ? ,当 x ? ?1, ?? ? ? ? 时, h?( x) ? 0 ? ? ,故 h( x) ? ? 在
24

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 ,

由于 4 3 >6,从而不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 .

……………10 分

25

2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标)
理科数学试卷参考答案 一、 选择题 (1)ADCA A 二、填空题 (13)1 二、 (6)BA DC C (11)B D

可得 BE= 2 故 DF=

2 6 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 , 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=

3 2 25 2 (14) ( x ? ) ? y ? 2 4
解答题

(16) (15)3

可得 FE=

3 2 .从而 EG2 ? FG2 ? EF 2 , 所以EG ? FG 2

又 AC ? FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC 所以平面 AEC ? 平面AFC (III) 如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,

2 2 (17)解:(I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

??? ? GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.
由(I)可得 A(0, ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2.
2 又 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3

2 2

所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 2 ? ??? ? ?? AE ? (1,3 2), CF ? (?1,3, ). 故 cos AE, CF ? ??? . 2 3 AE ? CF
所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 (19)解:(I)由散点图可以判断,

bn ?

1 1 ? an a (2n ? 1) ( 2 n ? ?1

1 1 1 ? ( ? ). 3) 2 n ? 2 1n ?2

3

3 . 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( )?( ) 2? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ? . 3(2n ? 3)
(18)解:(I)连结 BD,设 BD ? AC=G,连结 EG, FG,EF. 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ? ABC=120°, 可得 AG=GC= 3 .由 BE ? 平面 ABCD, AB=BC 可 知 AE=EC. 又 AE ? EC, 所以 EG= 3 , 且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中,

y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型。
(II)令 w ?

…2 分

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于
?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

n

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c
? ?100.6 ? 6w 8,因此 y 关于 x 的回归方程为 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y

? ? 100. 6 y ? 68x 。
(III)(i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

……6 分

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

26

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

……9 分

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4
因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 (II)当

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z 2
……12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。 (20)解: (I)有题设可得 M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a).又 y?= ,故y ? 处的导数值为 a ,

x 2

x2 在x ? 2 a 4

3 4

C 在点 (2 a , a) 出的切线方程为 y ? a ? a ( x ? 2 a ),即 ax ? y ? a ? 0

y?

x2 在x ? ?2 a ,即 ax ?y ?a ? 0 .股所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0 4
存在符合题意的点,证明如下:

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点 5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4
是 h( x)的零点;若a ? ?

(III)

5 , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 的 4

设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2

零点 当x ? (0,1)时,g( x) ? ?1nx ? 0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数

y ? kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.
故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a. 从而 kx ? a代入C的方程得x ? 4kx ? 4a ? 0.
2

(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调

故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a.
从而k1 ? k 2 ? ?
?

1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4 a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3

y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) x1 x2
k (a ? b) a

a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4
综上,当
27

当 b=-a 时,有

k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意
(21)解:

3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

28

(22)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链 接 OE , 则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90 ° 所 以

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所 以 函 数 f ? x? 的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 A?

? DEC+ ? OEB=90°
故 ?OED ? 90 ,DE 是 ? O 得切线
o

? 2a ? 1 ? ,0? , ? 3 ?

B ? 2a ? 1,0? , C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 由 摄 影 定 理 可 得 , AE=CE.BE , 所 以 x2 ? 12 ? x2 即

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3
所以 a 的取值范围

x 4 ? x2 ? 12 ? 0
可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60
o

(23)解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标 方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ( II ) 将 ? ? ……5 分

?
4

代入

? 2 ? 2 ? c o s? ? 4? s i n ?? ? 4 , 0得 ? 2 ? 3 2? ? 4? 0, 解 得

?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 (24)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得

1 。 2

……10 分

2 ? x ? 1; 3

当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

……5 分

29


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