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苏教版高中数学选修2-2同步课堂精练:2.1.1合情推理(含答案解析)

1.把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正 三角形,如图所示,则第七个三角形数是________. 2.我们把 1,4,9,16,25,…这些数称为正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个 正方形,如下图所示,则第 n 个正方形数是________. 3.如图所示,观察图形规律,在其右下角的空格处画上合适的图形,应为__________. 4.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有 菱形纹的正六边形的个数是__________. 5.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 S ? 面积公式 S 扇=________. 底?高 ,可推知扇形 2 6.已知 f1(x)=cos x,f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),f4(x)=f′3(x),…,fn(x)=f′n-1(x),n≥2, 且 n∈N*,则 f2 011(x)=__________. 7.下图所示为一串黑白相间排列的珠子,第 36 颗珠子应是__________颜色的. 8.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3 +4)2,…,根据上述规律,第五个等式为________________. x3 ? x 9 .已知函数 f (x ) ? 5 1 ? 1 3 x3 ? x , g (x ) ? 5 1 ? 1 3 . 分别计算 f(4) - 5f(2)g(2) 和 f (9) - 5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及 f(x)和 g(x)对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式. 10.类比等差数列的定义,给出等和数列的概念,并利用等和数列的性质解题: 已知数列{an}是等和数列,a1=2,公和为 5,求 a18 和 S21. 参考答案 1 答案:28 解析:第 n 个三角形数比前一个多 n.故答案为 28. 2 答案:n2 解析:1,4,9,16,25 分别为序号的平方,所以第 n 个正方形数为 n2. 3 答案: 解析:观察图中每一行,每一列的规律,从形状和是否有阴影入手.每一 行,每一列中三种图形都有,故填长方形.又每一行,每一列中的图形的颜色应有二黑一白. 故填 . 4 答案:31 解析:有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案 个数 1 6 2 11 3 16 … … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项, 以 5 为公差的等差 数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5× (6-1)=31. 5 答案: lr = 1 2 解析:类比方法:扇形→三角形,弧长→底边长,半径→高,猜想 S 扇 1 lr. 2 6 答案:-cos x 解析:f1(x)=cos x,f2(x)=f′1(x)=-sin x,f′3(x)=f′2(x)=-cos x,f4(x) =f′3(x)=sin x,f5(x)=f′4(x)=cos x,…,再继续下去会重复出现,周期为 4, ∴f2 011(x)=f3(x)=-cos x. 7 答案:白 解析:5 个珠子为一个周期,第 36 颗与第 1 颗颜色一致. 8 答案:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212 解析:观察等式,发现 等式左边各加数的底数之和等于右边数的底数,右边数的指数均为 2,故猜想第五个等式应 为 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 9 答案:解:f(4)-5f(2)g(2) 43 ? 4 = 5 1 ? 1 3 23 ? 2 3 23 ? 2 ? 5? ? 5 5 1 ? 1 1 ? 1 3 = 4 ?4 5 2 1 3 1 ? 3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? ? ? ? ?? 5 2 ? 2 3 23 ? 2 = 5 ? 2 3 23 ? 2 ? 5 ? 0. 同理可得:f(9)-5f(3)g(3)=0, ∴对任意 x∈R,x≠0,有 f(x2)-5f(x)g(x)=0. 证明:f(x2)-5f(x)g(x) ? x2 ?3 ? ? x2 ? = 5 1 ? 1 3 x3 ? x ? 5? 5 1 ? 1 3 x3 ? x ? 5 1 ? 1 3 = x ?x 5 x ?x 5 2 3 2 3 2 ? 3 1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 3 3 3 3 ? x ? x ?? x ? x ? ?? ? ?? 5 2 3 ? 2 3 ? 2 3 = ? x ?x 5 ?0, ∴结论得证. 10 答案:解:等和数列的概念: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的和等于同一常数,那么这个 数列叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和. 由题意可知 a1+a2=5, 又 a1=2,∴a2=3, 又 a2+a3=5,∴a3=2. 故数列{an}的形式为:2,3,2,3,2,3,…, ∴a18=3, ∴S21=S20+a21=10(2+3)+2=52.

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