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最新人教版高中数学选修2.1.1合情推理-(类比推理)ppt课件_图文

2.1.1合情推理 (类比推理) (一)类比推理 在学习空间向量时,我们是这样推测空间向量的基本 定理的: 由于平面向量与空间向量都是既有大小又有方向的量, 并且两者具有类似(或一致)的运算性质(如都具有加法的 交换律和结合律等),因此根据平面向量的基本定理,我 们推测空间向量也具有类似的性质: 如果三个向量 量 a,不共面,那么对于空间任一向 b, c ,存在一个惟一的有序实数组 x,y,z,使 p p ? xa ? yb ? zc 这种根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致) 性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同) 的性质的推理,叫做类比推理(简称类比),类比属于 合情推理。 下面我们通过一个例子来得出类比的一般步骤。 三角形与四面体有如下类似的性质: (1)三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图 形;四面体是空间由平面所围成的最简单的封闭图形; (2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段 上各点连线所形成的图形;四面体可以看作三角形所在平 面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形。 根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大于第三 边. 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大于第三 边. 三角形三条内角平分线 交于一点,且这个点是三 角形内切圆的圆心。 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体的内切球的球心。 根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质如下: 三角形 三角形两边之和大于第三 边. 三角形三条内角平分线 交于一点,且这个点是三 角形内切圆的圆心。 三角形的中位线等于第 三边的一半,且平行于第 三边。 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体的内切球的球心。 四面体的中截面(以任意三条棱的中点为 顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积 的一半,且平行于第四个面。 一般地,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测 的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可能为真。 例1.找出圆与球的相似性质,并用圆的下列性质类比球 的有关性质: (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦; (2)与圆心距离相等的两弦相等; (3)圆的周长C=πd(d是直径); (4)圆的面积S=πr2. 解:圆与球有下列相似的性质: (1)圆是平面上到一定点距离等于定长的所有点构成的 集合;球面是空间中到一定点距离等于定长的所有点构成 的集合; (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形;球是空 间中封闭曲面是围成的对称图形。 通过与圆的有关性质类比,可以推测求的有关性质: 圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 球 球心与截面圆(不经过球心的小截面圆) 圆心的连线垂直于截面 圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦 相等 球 球心与截面圆(不经过球心的小截面圆) 圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等 圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦 相等 圆的周长C=πd 球 球心与截面圆(不经过球心的小截面圆) 圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等 球的表面积S=πd2 圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦 相等 圆的周长C=πd 圆的面积S=πr2 球 球心与截面圆(不经过球心的小截面圆) 圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等 球的表面积S=πd2 球的体积V=πr3 其中前三个类比得到的结论是正确的,最后一个猜测 则是错误的。由此可见,类比的结论值具有或然性,即可 能真,也可能假。 虽然有类比所得到的结论未必是正确的,但它所具有 的有特殊到特殊的认识功能,等于发现新的规律和事实却 是十分有用的。 例2.试根据等式的性质猜想不等式的性质 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc; (3) a=b?a2=b2;等等 (3) a>b?a2>b2;等等 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 答:(1)对;(2),(3)不对。 (二)类比推理的一般步骤: (1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从 而得出一个猜想; (3) 检验猜想。 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 谢谢观看!

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