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惠州市2014---2015学年第二学期高二理科数学期末考试试题

惠州市东江高级中学 2014—2015 学年高二第二学期期末考试数学试题

(理科)
本试卷共 4 页.21 小题,满分为 150 分。考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡上写上自己的姓名和考生号, 并用 2B 铅笔填涂考生号. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {0,1,2} , N ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0},则 M ? N ? ( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 2.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是( A. (1,1) B. ( ?1,1)

1 i

) C. (?1, ?1) D. (1, ?1) )

3.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 45 ? ,且满足 e1 ? ? ?e2 ? e1 ? ,则实数 ? 的值是( A. 1 B. 2 C.

2 3 3

D. 2

4.已知△ ABC 的三边 a , b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 ( A. )

sin A ? a

sin b

B 2 , 则 cos B 的值为

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2
)

5.已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a7 ? a1 ? 2a3 ? ? a3a9 的值为( A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为( ) A. ? B. 2? C.

8? 3

D.

10? 3

7.“ 2012 ”含有数字 0, 1, 2 ,且恰有两个数字 2.则

含有数字 0, 1, 2 ,且恰有两个相同数字的四位数的个数为( A. 18 B. 24 C. 27

) D. 36

8 . 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F , 准 线 与 x 轴 的 交 点 为 K , 点 A 在 C 上 且
AK ? 2 AF ,则 ?AFK 的面积为(

) C. 16 D. 32

A. 4

B. 8

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13题) 9.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 10. ( x ? .

3

2 6 ) 展开式中,含 x 2 项的系数是 x



11.若等比数列 ?an ?的首项为

4 2 ,且 a4 ? ? (1 ? 2 x)dx ,则公比等于_______. 1 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 12.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为________. ?x ? 0 ?
13.若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________. (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ? 4 (参数 ? ? [0 , 2? ) ) .则曲线 C 上的点到坐标原点距离 ? ? y ? ?2 sin ? ? 3
的最小值是 . 15. (几何证明选讲)如图:EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A 的度数是 三、解答题:本题共 6 小题,满分 80 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)若 ? 是第一象限角,且 f ? ? ?

? ?

??

? ? cos x . 6?

? ?

??

4 ?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 3? 5 4? ?

17.(本小题满分 12 分)

一个盒子内装有 8 张卡片,每张卡片上面写着 1 个数字,这 8 个数字各不相同,且奇数 有 3 个,偶数有 5 个.每张卡片被取出的概率相等. (1)如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片,并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到 一个新数,求所得新数是奇数的概率; (2)现从盒子中一次随机取出 1 张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡 片上写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了 ? 次才停止取 出卡片,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面 相交于 CD,线段 CD 为圆 O 的弦,AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C、D 的点, AE=3,圆 O 的直径为 9. (1)求证:平面 ABCD ⊥平面 ADE; (2)求二面角 D—BC—E 的平面角的正切值.

2 2 19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C: x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P a b

在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2, |PF1|= (1)求椭圆 C 的方程;

4 14 , |PF2|= . 3 3

(2)若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M
2 2

对称,求直线 l 的方程。

20. (本小题满分 14 分)设 f ( x) ?

1 3 1 x ? (b ? 1) x 2 ? bx, x ? R . 3 2

(1)当 b ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 f ( x ) 在 R 上有且仅有一个零点时,求 b 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 的图像过点 (?4n,0) ,且 f '(0) ? 2n , n ? N . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若数列 {an } 满足
?

1 1 ? f ?( ) ,且 a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式; an ?1 an
4 3

(3)记 bn ? an an ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: ≤Tn ? 2 .

惠州市东江高级中学 2014—2015 学年高二第二学期 6 月月考 数学答案(理科)
一、选择题: 1 2 3 题号 D D B 答案 二、填空题: 9. ?1 10. ? 160 , ? ?? 14. 3 15. 99° 三、解答题: 16.(1)解: f ? x ? ? sin ? x ? 4 C 11.3 5 C 6 A 12.2 7 B 13.2 8 B

? ?

??

? ? ? ? cos x ? sin x cos 6 ? cos x sin 6 ? cos x 6?

?

? ? 3 1 sin x ? cos x ………1 分 ? sin x cos ? cos x sin ………2 分 6 6 2 2
…3 分∴ 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . …………4 分

?? ? ? sin ? x ? ? . 6? ?

∴函数 f ? x ? 的最大值为 1. …………5 分 (2)解:∵ f ? ? ?

? ?

??

4 ? ?? 4 ? ? ? , ∴ sin ? ? ? ? ? ? . 3? 5 3 6? 5 ?

…………6 分

∴ sin ? ? ? ∵

? ?

??

4 4 ? ? . ∴ cos ? ? 5 . …7 分 2? 5 3 5 sin ? 3 ? . …10 分 cos ? 4

? 是第一象限角, ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . …7 ∴ tan ? ?
∴ tan ? ? ?

? ?

??

4 ?? 4 ? 1 ? tan ? ? tan ? 4

tan ? ? tan

?

3 ?1 1 ? ? . ……12 分 ……9 分 ? 4 3 7 1 ? ?1 4

17.解: (1)记事件 A 为“任取 2 张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”,因为奇数加 偶数可得奇数,所以 P( A) ?
1 1 C3 ? C5 15 ? 2 C8 28

所以所得新数是奇数的概率等于 (2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4, 根据题意得 P(? ? 1) ?
1 C5 5 ? , 1 C8 8

15 . 28

…………………4 分

P(? ? 2) ?

1 1 C3 C5 15 ? ? , 1 1 C8 C7 56

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C3 C5 C2 C2 C1 5 1 ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? . 1 1 1 1 1 1 1 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56
…………………12 分

5 15 5 1 3 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 56 56 56 2

18. (1)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ABCD ? 平面 ADE . (2)解法 1:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2

由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .
2 2

∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 6 .

过点 E 作 EF ? AD 于点 F ,作 FG ? AB 交 BC 于点 G ,连结 GE , 由于 AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB . ∵ AD ? AB ? A , ∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? EF . ∵ BC ? FG , EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG . ∵ EG ? 平面 EFG , ∴ BC ? EG . ∴ ?FGE 是二面角 D ? BC ? E 的平面角. 在 Rt △ ADE 中, AD ? 3 5 , AE ? 3 , DE ? 6 , ∵ AD ? EF ? AE ? DE ,

G F

∴ EF ?

AE ? DE 3 ? 6 6 5 . ? ? AD 5 3 5
∴ tan ?EGF ?

在 Rt △ EFG 中, FG ? AB ? 3 5 , 故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为

EF 2 ? . FG 5

2 . 5 解法 2:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 . ABCD 设正方形 的边长为 a ,
在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2

由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .
2 2

∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 6 .

以 D 为坐标原点,分别以 ED 、 CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直 角坐标系,则 D ? 0,0,0? , E ? ?6,0,0? , C 0, ?3 5, 0 , A ? ?6,0,3? ,

?

?

B ?6, ?3 5,3 .
设平面 ABCD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

?

?

z

??? ? ? ? ?6 x1 ? 3 z1 ? 0, ?n1 ?DA ? 0, ? 则 ? ???? 即? ? ? ?3 5 y1 ? 0. ?n1 ?DC ? 0. ?
取 x1 ? 1 ,则 n1 ? ?1,0, 2? 是平面 ABCD 的一个法向量. 设平面 BCE 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

x

y

??? ? ? ?n2 ?EB ? 0, ? ??3 5 y2 ? 3z2 ? 0, 则 ? ??? 即? ? ? ?n2 ?EC ? 0. ? ?6 x2 ? 3 5 y2 ? 0.
取 y2 ? 2 ,则 n2 ? ∵ cos n1 , n2 ?

?

5, 2, 2 5 是平面 ABCD 的一个法向量.

?

?1, 0, 2?? 5, 2, 2 5 n1 ?n2 5 , ? ? n1 ? n2 1 ? 0 ? 4 ? 5 ? 4 ? 20 29
2 . 29
∴ tan n1 , n2 ?

?

?

∴ sin n1 , n2 ?

2 . 5

故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为

2 . 5

19.解:(1)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b =a -c =4, 所以椭圆 C 的方程为
2 2 2

…….2 分

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,
…………………………………………5 分

x2 y2 ? =1 9 4

…………………………………………7 分
2 2

(2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 由圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆 心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, …9 分 2 2 2 2 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0. …12 分 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ? 所以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9 1 3 20.解: (1)当 b ? 1 时, f ( x) ? x ? x 3

(经检验,符合题意) …14 分

…….…….….……….………….……….1 分

? f ?( x) ? x2 ?1 ? ( x ? 1)( x ?1) ? 0 ,? x1 ? ?1, x2 ? 1
因为

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?1)
+

-1 0 极大值

(?1,1)
-

1 0 极小值

(1, ??)
+

…….…………….….…….…………….……….4 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1), (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) .…….………6 分 (2)法一:? f ( x) ?

1 x[2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b] ? 0 …….…….…….…….……….……6 分 6

? x ? 0 或 2 x2 ? 3(b ?1) x ? 6b ? 0 …….…….…….…….………..….…….….……8 分
2 2 当方程 2 x ? 3(b ?1) x ? 6b ? 0 无解时, ? ? 9(b ?1) ? 48b ? 3(3b ? 1)(b ? 3) <0

1 ? ?3 ? b ? ? ….…………….…….………..….…………….…….….….……13 分 3 1 所以当 ?3 ? b ? ? 时函数 f ( x ) 有且只有一个零点. ….…………. .…….…….….……14 分 3
法二:? f ?( x) ? x ? (b ?1) x ? b ? ( x ?1)( x ? b) ? 0 ,? x1 ? 1, x2 ? ?b
2 2 当 b ? ?1 时, f ?( x) ? ( x ?1) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增………….….……6 分

又? f ( x) ?

1 x( x 2 ? 3x ? 3) ? 0,? x ? 0, x 2 ? 3x ? 3 ? 0 无解 3

所以 b ? ?1 时函数 f ( x ) 有且只有一个零点. ……….…….…..…….…….………….……7 分 当 b ? ?1 时, ?b ? 1 ,因为

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?b)
+

?b
0 极大值

(?b,1)
-

1 0 极小值

(1, ??)
+

又? f ( x) ? 0 有一解 x ? 0 ,? ?

? f (?b) ? 0 1 1 ,解得 ?3 ? b ? ? ,故 ?1 ? b ? ? 3 3 ? f (1) ? 0

因为 f ( x ) 在 (??, ?b) 上单调增,在 [?b, ??) 上恒有 f ( x) ? 0

1 3 当 b ? ?1 时, ?b ? 1 ,因为

所以当 ?1 ? b ? ? 时, f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点 …….….……….……10 分

x
f ?( x ) f ( x)

(??,1)
+

1 0 极大值

(1, ?b)
-

?b
0 极小值

(?b, ??)
+

又? f ( x) ? 0 有一解 x ? 0 ,? ?

? f (?b) ? 0 1 ,解得 ?3 ? b ? ? ,故 ?3 ? b ? ?1 3 ? f (1) ? 0

因为 f ( x ) 在 (??,1) 上单调增,在 [1, ??) 上恒有 f ( x) ? 0 所以当 ?3 ? b ? ?1 时, f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点 …….….…….….……13 分 综上可得 f ( x ) 在 (??, ??) 上有且只有一个零点时, b 的取值范围是 ?3 ? b ? ? 21.解: (1)由f '( x) ? 2ax ? b, ? ?

1 ……14 分 3

?b ? 2n
2 ?16n a ? 4nb ? 0

,

解之得a ?
(2)

1 1 , b ? 2n, 即f ( x) ? x 2 ? 2nx (n ? N *) .………….….………….…….….4 分 2 2

由条件得

1 1 1 1 ? ? 2n,? ? ? 2n, an?1 an an ?1 an 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2 ? 4 ? 6 ??? ( 2 n ? 1) a2 a1 a3 a2 an an?1

由迭加法得



1 1 2?( 2 n ? 1) ? ? (n ? 1) ? n2 ? n , an 4 2

?

1 1 ? (n ? )2 , 故an ? an 2
an an ?1 ?

1 4 ? (n ? N * ) .….……….….……….…….….9 分 2 1 (2n ? 1) (n ? ) 2 2

(3) bn ?

4 1 1 ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? 2(1 ? )?2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?
? 2n ? 1≥3, 故2(1 ? 1 4 4 )≥ ? ≤Tn ? 2 ….……….…….…….….………….….14 分 2n ? 1 3 3


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