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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第3讲 直线、平面平行的判定与性质课件 理_图文


第3讲

直线、平面平行的判定与性质

最新考纲

1. 以立体几何的有关定义、公理和定理为

出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有 关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理; 2. 能

运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些
空间图形的平行关系的简单命题.

知识梳理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点,则称直线 l 与平面 α 平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判 平面外 一条直线与此 定 平面内的一条直线 定 平行, 则该直线平行于 理 此平面 a?α ,b?α , a∥b?a∥α 图形表示 符号表示

性 质 定 理

一条直线和一个平 面平行,则过这条 直线的任一平面与 此平面的 该直线平行

a∥α , a?β , α ∩β = b?a∥b

交线 与

2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理
语言表述 图形表示 符号表示 判 一个平面内的两 a?α ,b?α , 定 条 相交直线 与另 定 一个平面平行, 则 理 这两个平面平行 性 两个平面平行, 则 质 其中一个平面内 定 的直线 平行 于 理 另一个平面 α ∥β ,a?α ?a∥β a∩b=P,a∥ β ,b∥β ?α ∥β

性 如果两个平行平面同 质 时和第三个平面相交, 定 那么它们的 交线 平 理 行

α ∥β , α ∩γ =a, β ∩γ = b?a∥b

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面内的一条直线, 则这条直线平 行于这个平面. ( × ) (3)若一条直线平行于一个平面, 则这条直线平行于这个平面 内的任一条直线. ( × ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面, 那么这两 个平面平行. ( × ) (5)如果两个平面平行, 那么分别在这两个平面内的两条直线 平行或异面. ( √ )

2.若直线 m?平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条件乙: “l∥m”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析

l∥α , m? α ?l ∥ m 或 l 与 m 异 面 ; l∥m ,

m?α?l∥α或l?α,故选D. 答案 D

3.下列命题中,错误的是(

)

A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,

则这两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行 D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个 平面 解析 由面面平行的判定定理和性质知 A,B,D正确.对于

C,位于两个平行平面内的直线也可能异面. 答案 C

4.(2015· 安徽卷 ) 已知 m , n 是两条不同直线, α , β 是两个不 同平面,则下列命题正确的是( )

A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

解析

对于 A, α , β 垂直于同一平面,α , β 关系不确

定,A错;对于B,m ,n平行于同一平面,m,n关系
不确定,可平行、相交或异面,故B错;对于C,α,β 不平行,但α内能找出平行于β的直线,如α中平行于α, β 交线的直线平行于 β ,故 C 错;对于 D ,若假设 m , n 垂直于同一平面,则m∥n,其逆否命题即为 D选项,

故D正确. 答案 D

5.( 人教 A必修 2P56练习 2 改编 ) 如图,正方

体ABCD-A1B1C1D1 中,E为DD1 的中点,
则 BD1 与 平 面 AEC 的 位 置 关 系 为 ________. 解析 连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,

O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,

而BD1?平面ACE,EO?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.
答案 平行

考点一 线面平行的判定与性质
【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 1 AD∥BC,AB=BC=2AD,E,F,H 分别 为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD.

证明

1 (1)连接 EC,∵AD∥BC,BC=2AD,

∴BC 綉 AE,∴四边形 ABCE 是平行四边形,

∴O 为 AC 的中点, 又∵F 是 PC 的中点,∴FO∥AP, FO?平面 BEF,AP?平面 BEF,∴AP∥平面 BEF.

(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又PD?平面PAD, FH?平面PAD,∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点,H是CD的中点, ∴OH∥AD,又AD?平面PAD, OH?平面PAD,∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.

规律方法

(1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内

找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征, 合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四 边形等证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内. (2)判断或证明线面平行的方法:①线面平行的定义(反证法);

②线面平行的判定定理;③面面平行的性质定理.

【训练 1】 如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC= 90°,AB=AC= 2,AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积.

(1)证明 法一

连接 AB′, AC′, 如图, 由已知∠BAC

=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱, 所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′.

法二

取 A′B′的中点 P,连接 MP,NP,AB′,如图,

而 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点,所以 MP∥AA′, PN∥A′C′, 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′. 又 MP∩NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN?平面 MPN,因此 MN∥平面 A′ACC′.

(2)解

法一

连接 BN,如上图,由题意 A′N⊥B′C′,平面

A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′,A′N?平面 A′B′C′,平 面 A′B′C′⊥平面 B′BCC′, 1 所以 A′N⊥平面 NBC.又 A′N=2B′C′=1, 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC=2VN-A′BC=2VA′-NBC=6. 法二 1 1 VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBC=2VA′-NBC=6.

考点二 面面平行的判定与性质
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,
SC的中点,求证: (1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 (1)如图,连接SB, ∵E,G分别是BC,SC的中点,

∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1,
EG?平面BDD1B1, ∴直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD, ∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG,

FG?平面EFG,EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.

规律方法 判定面面平行的常用方法:

(1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点;
(2)面面平行的判定定理; (3)垂直于同一条直线的两平面平行; (4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个 平面,则这两个平面平行.

【训练 2】 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 是底面中心, A1O ⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

(1) 证明

平行四边形,∴ BD ∥ B1D1. 又 BD ? 平面 CD1B1 , B1D1? 平面CD1B1,∴BD∥平面CD1B1.

由题设知, BB1 綉 DD1 ,∴四边形 BB1D1D 是

∵A1D1綉B1C1綉BC,

∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C.

又 A1B?平面 CD1B1,D1C?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD,

∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO=2AC=1,AA1= 2, ∴A1O= 1 2 2 AA1-OA =1.又∵S△ABD= × 2 2× 2=1,

∴VABD-A1B1D1=S△ABD×A1O=1.

考点三 平行关系中的探索性问题

【例3】 在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1 和ACC1A1
都为矩形. (1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否 存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

(1) 证明

因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形,

所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BC?平面ABC,

所以AA1⊥BC.
又 AC⊥BC , AA1 , AC 为平面 ACC1A1 内两条相交 直线, 所以BC⊥平面ACC1A1.

(2)解

取线段 AB 的中点 M,

连接 A1M,MC,A1C,AC1,OM, 设 O 为 A1C,AC1 的交点. 由已知可知 O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC, △ACC1 的中位线. 1 1 所以 MD 綉 AC,OE 綉 AC,因此 MD 綉 OE. 2 2

从而四边形MDEO为平行四边形, 则DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC,MO?平面A1MC,

所以直线DE∥平面A1MC,
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点), 使直线DE∥平面A1MC.

规律方法

解决探究性问题一般先假设求解的结果存

在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条

件,如果找到了使结论成立的充分条件,则存在;如
果找不到使结论成立的充分条件 ( 出现矛盾 ) ,则不存 在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多 为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的 证明.

【训练3】 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底

面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥A-PDE的体积; (2)AC边上是否存在一点 M,使得PA∥平面EDM?若存在, 求出AM的长;若不存在,请说明理由.



(1) 因为 PD⊥平面 ABCD , AD? 平面 ABCD ,所以

PD⊥AD.又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD, 所以 AD 是三棱锥 A-PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点, 且 PD=DC=4,
? 1 1 ?1 所以 S△PDE= S△PDC= ×?2×4×4?=4. 2 2 ? ?

1 1 8 又 AD=2,所以 VA-PDE= AD·S△PDE= ×2×4= . 3 3 3

(2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点,所以 EM∥PA. 又因为 EM?平面 EDM, PA?平面 EDM, 所以 PA∥平面 EDM. 1 所以 AM=2AC= 5.即在 AC 边上存在一点 M, 使得 PA∥平 面 EDM,AM 的长为 5.

[思想方法] 1.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到 “高维”的转化,其转化关系为

在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化

的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式
化”. 2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法:(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.
[易错防范] 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则, 会出现错误. 2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加,在

添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据,绝
不能主观臆断. 3.解题中注意符号语言的规范应用.


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