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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数代数形式的乘除运算_图文

3.2.2

3.2.2
【学习要求】
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复数代数形式的乘除运算

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念. 【学法指导】 复数的乘法可类比多项式的乘法,不必专门记公式;复 数的除法是乘法的逆运算,可先写成分数形式,分母 “实数化”.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.2

1.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 本 课 (ac-bd)+(ad+bc)i 则z1·2=(a+bi)(c+di)=__________________. z 时 栏 目 2.复数乘法的运算律 开 对任意复数z1、z2、z3∈C,有 关 交换律 结合律

z2·1 z z1·2=________ z
z1· 2·3) (z z (z1·2)·3=____________ z z

z1z2+z1z3 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=______________

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.2

3.共轭复数

实部相等,虚部互为相反数 如果两个复数满足_________________________时,称这
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两个复数为共轭复数,z的共轭复数用 z 表示.即z=a+

a-bi bi,则 z =________.
4.复数的除法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0), ac+bd bc-ad a+bi z1 + i 则 = =_____________________. c2+d2 c2+d2 z2 c+di

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探究点一

复数乘除法的运算

本 问题1 怎样进行复数的乘法? 课 答 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已 时 栏 得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即 目 开 可. 关

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3.2.2

问题2 如何理解复数的乘除法运算法则?

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复数的乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则

进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数 的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母 与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则 只需同时乘以i).

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3.2.2

例1

计算:(1)(2+i)(2-i);

(2)(1+2i)2; 1+i 6 2+ 3i (3)( )+ . 1-i 3- 2i
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解 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;

(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i;
(3)方法一
6

?1+i?2 6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? 原式=[ 2 ] + ? 3?2+? 2?2

6+2i+3i- 6 =i + =-1+i. 5

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3.2.2

方法二
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(技巧解法)

?1+i?2 6 ? 2+ 3i?i 原式=[ 2 ] + ? 3- 2i?i ? 2+ 3i?i =i + =-1+i. 2+ 3i
6

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3.2.2

小结
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(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行,对于能够使

用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便,例 如平方差公式、完全平方公式等. (2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.

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跟踪训练1 A.1+i
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-1+3i (1)i是虚数单位,复数 等于 1+2i B.5+5i D.-1-i

( A )

C.-5-5i

-1+3i ?-1+3i??1-2i? 5+5i 解析 = = 5 =1+i. 1+2i ?1+2i??1-2i?

故选A.

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3.2.2

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i2+i3+i4 (2)复数 等于 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2
解析

( C ) 1 1 B.- + i 2 2 1 1 D. + i 2 2

i2+i3+i4 -1-i+1 -i = = 1-i 1-i 1-i

-i?1+i? -i+1 1 1 = = = - i. 2 2 2 ?1-i??1+i?

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3.2.2

探究点二 问题

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共轭复数及其应用

共轭复数有哪些性质,这些性质有什么作用?
(1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称.

(2)实数的共轭复数是它本身,即z= z ?z∈R,利用这个性 质可证明一个复数为实数. (3)若z≠0且z+ z =0,则z为纯虚数,利用这个性质,可证 明一个复数为纯虚数.

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3.2.2

例2

已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭

复数 z .

解 设z=a+bi(a,b∈R),
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则 z =a-bi且|z|= a2+b2=1,即a2+b2=1.



因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而 (3+4i)z是纯虚数, 所以3a-4b=0,且3b+4a≠0.
4 4 ? ? ?a=5, ?a=-5, 由①②联立,解得? 或? 3 ?b= , ?b=-3. 5 5 ? ? 4 3 4 3 所以 z =5-5i,或 z =-5+5i.



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3.2.2

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小结 本题使用了复数问题实数化思想,运用待定系数 法,化解了问题的难点.

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3.2.2

跟踪训练2 已知复数z满足:z·z +2iz=8+6i,求复数z的 实部与虚部的和.

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设z=a+bi(a,b∈R),则z· =a2+b2, z

∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i, 即a2+b2-2b+2ai=8+6i,
?a2+b2-2b=8 ? ∴? ?2a=6 ? ?a=3 ? ,解得? ?b=1 ?

,∴a+b=4,

∴复数z的实部与虚部的和是4.

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3.2.2

1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于 ( A )
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A.-i

B.i

C.-1

D.1

1 解析 z= i =-i.

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3.2.2

2.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)z等于
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( A )

A.1+3i

B.3+3i

C.3-i

D.3

解析 (1+z)· z=(2+i)· (1+i)=(2×1-1)+(2+1)i=1+3i.

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3.2.2

i-2 3.复数 等于 1+2i
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( A ) B.-i 4 3 D.- + i 5 5

A.i 4 3 C.- - i 5 5

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3.2.2

2-i 4.复数z= (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限 2+i 为
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( D ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

2-i ?2-i?2 3-4i 解析 因为z= = 5 = 5 , 2+i 故复数z对应的点在第四象限,选D.

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3.2.2

1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数
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的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写 成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复 数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥 梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条 件转化.


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