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四川省成都外国语学院2014届高三下学期2月月考试题 数学(理)


成都外国语学院 2014 届高三下学期 2 月月考试题 数学(理)
满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准考 证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的. 1、已知复数 z ? i ,则 z 的虚部为( ) A、 i B、 1 C、 ?1 D、 0 2、已知直线 l1 : 3x ? 2ay ? 5 ? 0, l2 : (3a ? 1) x ? ay ? 2 ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 a 的值为(
2



A、 ?

3 ? 3? ? ,且 ? ? ( , ) ) ,则 sin(? ? ) ? ( 4 2 2 2 4 4 3 3 A、 B、 ? C、 D、 ? 5 5 5 5 2 2 4 、已知圆 C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为
3、已知 tan(? ? ? ) ? ( ) A、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

1 6

B、 6

C、 0

D、 0 或 ?

1 6

B、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2

C、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2

1 1 1 9 的最小值为( ) ? ? 1 ,则 ? a b a ?1 b ?1 A、 16 B、 9 C、 6 D、1 2 y m 2 ? 1 的离心率为 ,且抛物线 y 2 ? mx 的焦点为 F ,点 P(2, y0 )( y0 ? 0) 在此 6、已知双曲线 x ? 3 2 抛物线上, M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线的准线的距离为( ) 5 3 A、 B、 2 C、 D、 1 2 2
5、若正数 a, b 满足: 7、在 ?ABC 中, M 为边 BC 上任意一点, N 为 AM 的中点, AN ? x AB ? y AC ,则 x ? y 的值 为( )
·1 ·

????

??? ?

????

1 C、 1 D、 2 4 2 2 8、若在数列 {an } 中,对任意正整数 n ,都有 an ? an ?1 ? p (常数) ,则称数列 {an } 为“等方和数列” , 称p 为 “公方和” , 若数列 {an } 为 “等方和数列” , 其前 n 项和为 S n , 且 “公方和” 为1 , 首项 a1 ? 1 ,
A、 B、 则 S 2014 的最大值与最小值之和为( A、 2014 9、已知 ln B、 1007 ) C、 ?1 D、 2

1 2

1 1 ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是( ) ? ln x? y?4 3x ? y ? 2 A、 (??,10] B、 (??,10) C、 [10, ??) D、 (10, ??)
2

y2 1 10、 双曲线 x ? 点 B 在直线 x ? 上的射影是点 B ' , 若直线 AB ? 1 的左右两支上各有一点 A, B , 3 2 过右焦点,则直线 AB ' 必过点( ) 5 3 7 A、 (1, 0) B、 ( , 0) C、 ( , 0) D、 ( , 0) 4 2 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11、已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ?

1 2 1 1 , ? ? (n ? N * ) ,则 a10 ? __________ 2 an ?1 an an ? 2
AC ? 10, PC ? A? B2 , 4 1则 三 棱 锥

? 12 、 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , P A? B C? 2 3 4 , P B

的体积为_____________ P? ABC 2 n 2 13、如果 (3x ? 3 ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为________ x 14、已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1 ? x) ,若实数 a, b 满足 f (a ? 1) ? f (b) ? 0 ,则 a ? b ? ______
2

15、 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点, B 是虚轴的端点,直线 F1B 与双 a 2 b2 曲线 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M ,若 MF2 ? F 1F 2 ,则双曲线 C 的离心率为_________

三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,设

f ( x) ? a 2 x 2 ? (a 2 ? b 2 ) x ? 4c 2 ,
(1)若 f (1) ? 0 ,且 B ? C ?

?
3

,求角 C 的大小; (2)若 f (2) ? 0 ,求角 C 的取值范围。

17、(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500
·2 ·

元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图,如图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品,以 X (单位: t , 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内销 商该农产品的利润。 (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X ? [100,110) ,则取 X ? 105 ,且

X ? 105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的概率),求利润 T 的数学期望。
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

18、(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3 ,数列 {bn } 满足: b1 ? ?1,
n

bn ?1 ? bn ? (2n ? 1)(n ? N * ) 。
(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {bn } 的通项公式 bn ; (3)若 cn ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 n

19 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 侧 面 PAD⊥ 底 面 ABCD , 侧 棱

PA ? PD ? 2 , PA ? PD , 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD, AB⊥AD, AB ? BC ? 1 ,O 为 AD 中点。 (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离; (3)线段 PD 上是否存在一点 Q ,使得二面角 Q ? AC ? D
的余弦值为 说明理由。

P

6 PQ ?若存在,求出 的值;若不存在,请 3 QD
B

A

O C

D

x y 20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b 3 右焦点为 F2(1,0) ,点 H (1, ) 在椭圆上。 2
(1)求椭圆方程;
2 2 2 2 2

2

2

(2)点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? b 上,M 在第一象限,过 M 作圆 x ? y ? b 的切线交椭圆于
2

P、Q 两点,问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由。

·3 ·

y
P
M

O

F2

Q

x

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ? (1)求实数 a, b 的值;

? ? x 3 ? ax 2 ? bx ( x ? 1) ? c (e
x ?1

? 1)( x ? 1)

在 x ? 0, x ?

2 处存在极值。 3

(2)函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 A,B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角 形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围; (3)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx(k ? R ) 的实根个数。

成都外国语学校高 2014 级 2 月月考 理科数学答案
1-10:DDBBC AADCB 11、

16、解:(1)由 f(1)=0,得 a2-a2+b2-4c2=0,∴b=2c 又由正弦定理,得 b=2RsinB,c=2RsinC,将其代入上式,得 sinB=2sinC
·4 ·

1 10

12、160

13、5

14、1

15、

6 2

π π π ∵B-C= ∴B= +C,将其代入上式,得 sin( +C)=2sinC 3 3 3 π π 3 ∴sin cosC+cos sinC=2sinC,整理得, 3sinC=cosC,∴tanC= 3 3 3 π ∵角 C 是三角形的内角,∴C= ---------------6 分 6 (2)∵ f(2)=0,∴4a2-2a2+2b2-4c2=0,即 a2+b2-2c2=0 ------7 分 a2+b2 2 2 2 2 2 a +b - 2 a +b -c 由余弦定理,得 cosC= = 2ab 2ab a2+b2 2ab 1 ∴cosC= ≥ = (当且仅当 a=b 时取等号) ---------------------10 分 4ab 4ab 2 1 π π ∴cosC≥ ,∠C 是锐角,又∵余弦函数在(0, )上递减,∴0<C≤ ---------12 分 2 2 3 17、解:(1) Sn ? 3 , Sn ?1 ? 3
n
n ?1

(n ? 2) ,? an ? 3n ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 (n ? 2) -------2 分
1?1

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 3

? 1, n ? 1 ? an ? ? -----------4 分 n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2 (2)? bn?1 ? bn ? (2n ? 1),? b2 ? b1 ? 1, b3 ? b2 ? 3, b4 ? b3 ? 5,?, bn ? bn ?1 ? 2n ? 3, (n ? 1)(1 ? 2n ? 3) 以上各式相加得, bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 3) ? ? (n ? 1)2 2 2 又 b1 ? ?1, 故 bn ? n ? 2n -------------8 分
(3)由题意得, cn ?

?3, n ? 1 an ? bn ? ?? n ?1 n ?2(n ? 2) ? 3 , n ? 2 1 2 3 n ?1 当 n ? 2 时, Tn ? ?3 ? 2 ? 0 ? 3 ? 2 ?1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ( n ? 2) ? 3
? 3Tn ? ?9 ? 2 ? 0 ? 32 ? 2 ?1? 33 ? 2 ? 2 ? 34 ? ? ? 2 ? (n ? 2) ? 3n
2 3 n ?1

两式相减得, ?2Tn ? 6 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3

? 2 ? (n ? 2) ? 3n

?Tn ? ?(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ) ? (n ? 2) ? 3n ? (n ? 2) ? 3n ?
又 T1 ? ?3 ?

3n ? 3 (2n ? 5)3n ? 3 ? 2 2

(2 ?1 ? 5) ? 31 ? 3 (2n ? 5)3n ? 3 (n ? N * ) ------12 分 ,符合上式,?Tn ? 2 2
?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

18、解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000, 当 X∈[130,150]时,T=500× 130=65 000. 所以 T ? ?

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元 的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为: T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59400.
·5 ·

19、解:(1) 在△ PAD 中 PA=PD, O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 又在直角梯形 ABCD 中,易得 OC ? AD ; 所以以 O 为坐标原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴,

P

OP 为 z 轴建立空间直角坐标系. 则 P ? 0, 0,1? , A ? 0, ?1, 0 ? , B ?1, ?1, 0 ? C ?1, 0, 0 ? , D ? 0,1, 0 ? ; ??? ? ? PB ? ?1, ?1, ?1? ,易证: OA ? 平面POC , ??? ? 所以 OA ? ? 0, ?1, 0 ? 平面 POC 的法向量, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PB? OA 3 cos PB, OA ? ??? ? ??? ? ? 3 PB OA
所以 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为

A

O C

D

B

(2)? PB ? ?1,?1,?1? ,设平面 PDC 的法向量为 u ? ? x, y, z ? , 则?

6 3

…………….4 分

? ?u ? CP ? ? x ? y ? 0 ? ?u ? PD ? y ? z ? 0

,取 z ? 1 得 u ? ?1,1,1?

B 点到平面 PCD 的距离 d ?

BP ? u u

?

3 ……………….8 分 3

·6 ·

---------------12 分 20、解: (1)?右焦点为 F2 (1, 0) ,? c ? 1 左焦点为 F1 (?1,0) ,点 H (1, ) 在椭圆上

3 2

?3? ?3? 2a ? HF1 ? HF2 ? (1 ? 1) ? ? ? ? (1 ? 1) 2 ? ? ? ? 4 ?2? ?2?
2

2

2

? a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 3 x2 y2 所以椭圆方程为 ? ? 1 ----------------5 分 4 3 x2 y2 (2)设 P?x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) , 1 ? 1 ? 1 ? x1 ? 2? 4 3 x12 1 2 2 2 2 PF2 ? ?x1 ? 1? ? y1 ? ?x1 ? 1? ? 3(1 ? ) ? ( x1 ? 4) 2 4 4 1 1 ? PF2 ? (4 ? x1 ) ? 2 ? x1 ------------------------8 分 2 2
连接 OM,OP,由相切条件知:

PM ?| OP |2 ? | OM |2 ? x12 ? y12 ? 3 ? x12 ? 3(1 ?

2

x12 1 1 ) ? 3 ? x12 ? PM ? x1 4 4 2

? PF2 ? PM ? 2 ?

1 1 x1 ? x1 ? 2 ----------------------------------11 分 2 2
·7 ·

1 1 x2 ? x 2 ? 2 2 2 所以 F2 P ? F2Q ? P Q ? 2 ? 2 ? 4 为定值。-------------13 分
同理可求? QF2 ? QM ? 2 ? 21、解:(1)当 x ? 1时, f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? b .??????1 分
2

? f ?(0) ? 0, 2 ? 因为函数 f ( x) 在 x ? 0, x ? 处存在极值,所以 ? 2 3 f ?( ) ? 0, ? ? 3 解得 a ? 1, b ? 0 .??????4 分
(2) 由(I)得 f ( x ) ? ?

? ? x 3 ? x 2 , ( x ? 1), ? x ?1 ? ?c (e ? 1), ( x ? 1),
3 2

根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t ? t ), B(t , f (t )), (t ? 0) .

??? ? ??? ? 2 3 2 3 2 由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 , 4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;??????6 分 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ?c(e t ?1 ? 1 ) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B 点不可能在 1 ??? ? ??? ? 2 3 2 t ?1 c? x 轴上,即 t ? 1. 同理有 OA ,即 =0 , . ? t ? ( t ? t ) ? c ( e ? 1) ? OB ? 0 (t ? 1) ? et ?1 ? 1?
因为函数 y ? (t ? 1) e

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,
3 2

?

t ?1

? 1? 在 t ? 1上的值域是 (0, ??) ,

所以实数 c 的取值范围是 (0, ??) .??????8 分 (3)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ?

? ? x 3 ? x 2 , ( x ? 1) ? ,可知 0 一定是方程的根,?10 分 x ? ?e ? e, ( x ? 1)

?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e x ? e , ( x ? 1). ? ? x ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1), ? ? x 2 对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分, 1 1 1 当 x ? 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4 x e ?e e x ( x ? 1) ? e ? 0, 对于 x ≥ 1 部分,函数 g ( x) ? ,由 g ?( x) ? x x2 知函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增.
所以,①当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4
·8 ·

1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4 1 ③当 0 ? k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. ??????14 分 4
②当 k ?

·9 ·


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