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2015专题-立几(理)


【高考“在”考什么】

2012年新课标卷

直 击 高 考

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线 画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体 积为( )

B

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

(11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为1 的正三 角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

A

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

【高考“在”考什么】

2013年新课标卷1

直 击 高 考

(6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm, 将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时 测得水深为 6 cm,如不计容器的厚度,则球的体积为 (

A)

500 π 3 cm 3 1372 π cm 3 (C) 3
(A)

866 π 3 cm 3 2048 π 3 cm (D) 3
(B)

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为(

A)
(B) 8 ? 8π (D) 8 ? 16 π

(A) 16 ? 8π (C) 16 ? 16 π

【高考“在”考什么】 直 击 高 考 2013年新课标卷2 4、已知 m , n 为异面直线, m ⊥平面 ? , n ⊥平面 ? ,直线 l 满足 l ⊥ m ,
l ⊥ n , l ? ? , l ? ? ,则(
(A)

D)
(B) ? ⊥ ? 且 l ⊥ ? (D) ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

? ∥ ? 且 l ∥?

(C) ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

7 、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是

(1, 0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图
时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为(

A)

【高考“在”考什么】 2014年新课标卷1

直 击 高 考

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的 棱的长度为(

C)
B .4 2

A.6 2

C .6

D .4

【高考“在”考什么】

2014年新课标卷2

直 击 高 考

6.如图, 网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个 底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到, 则 切 削 掉 部 分 的体 积 与原 来 毛 坯 体 积 的比 值 为 ( )

C

A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的 中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )

C

A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2

【高考“要”考什么】从高考题看立体几何小题:
1.几何体的三视图(会画其直观图,会计算表面积与体积)必考的 2.球与多面体(主要是三棱锥、三棱柱、四棱柱的外接球)常考的 3.线面关系的判定(主要考查空间中线与面的平行与垂直的判定) 4.角的问题(主要是两条异面直线所成的角)

偶尔考的

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围 依次是 (0,

?

],[0, ],[0, ? ] 2 2

?

直线的倾斜角的取值范围是 [0, ? ) 向量的夹角的取值范围是 [0, ? ]

重要结论:
1.如图,AB 和平面 ? 所成的角是 ?1 ,AC 在平面 ? 内,AC 和 AB 的射影 AB1 成 ?2 ,设∠BAC= ? ,则 cos? ? cos?1 ? cos?2
B

A

B1
O C

2.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点 在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.

【高考“在”考什么】
(2012 课标: 19)

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1 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? AA1 , 2 D 是棱 AA 1 的中点, DC1 ? BD ? (1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。
C1
A1 B1

6

M
建系要先证明:BC ? AC

D C B A

【高考“在”考什么】
(2013 课标 1:18): (Ⅰ)证明 AB ⊥ A1C ; (Ⅱ)若平面 ABC ⊥平面 AA 1C 与平面 BB 1B1B , AB ? CB ,求直线 A 1C1C 所成角的 正弦值。

直 击 高 考

如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA . 1 , ?BAA 1 =60°

10 5

O
建系要先证明:OC ? OA1

【高考“在”考什么】

(2013 课标 2:18): 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点。

直 击 高 考

2 AA1 ? AC ? CB ? AB 2 (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD ; 1 (Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值。

A1 B1 A D B E

C1

6 3
建系要先证明:CA ? CB

C

【高考“在”考什么】

直 击 高 考
(2014 课标 1:19): 如图三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC,求二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值.

1 7

建系要先证明:OA ? OB

O

【高考“在”考什么】
(2014 课标 2:18) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

直 击 高 考

3 8

O

【高考“要”考什么】从高考题看立体几何大题
1.几何体主要是三棱锥、四棱锥、三棱柱等. 2.第一问是线面平行与垂直的证明,第二问空间角的运 算(主要是二面角、线面角), 3.解决问题的主要方法:利用空间向量进行计算. 注意:建系(先证明垂直关系)及求平面法向量的方法与 技巧.

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
1、已知 ? , ? 为两个不重合的平面, l , m, n 为三条不同的直线, 则下列命题中正确的是(

C)

(A)若 m // ? , l ? m ,则 l ? ? (B)若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ,则 l ? ? (C)若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? (D)若 ? ? ? , ?

注意:书上定理 和课后习题结论

? ? m, l ? m ,则 l ? ?

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
SA ? 平面ABC , 2、 已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点,
AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,
则球 O 表面积等于( A ) (A) 4? (C) 2? (B) 3? (D) ?
C S

球的问题:

找球心,找截面,构造多面体(正方体、 A 长方体等),掌握构造法.

B

重要结论:
已知正四面体的棱长为 a ,则有下列结论:

6 2 3 正四面体的高是 a ;体积是 a ; 3 12 6 6 a ;内切球的半径是 a. 外接球的半径是 4 12
正方体的棱长为 a ,则外接球的直径是 3a ; 内切球的直径是 a .

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积

289? 为______________ 4

5

5

5

5

6

6

6
|4?R|
R

17 R= 4

6

3 2

注意:三视图多依托正方体或长方体画直观图

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
4、如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

1 PD // QA , QA ? AB ? PD . 2 (Ⅰ)证明:平面 PQC ? 平面 DCQ ; (Ⅱ)求二面角 Q ? BP ? C 的余弦值.

15 cos ? =5

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
5、如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE // CF ,

?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ? 3 , EF ? 2 .
(1)求证: AE // 平面 DCF ;

9 (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 ? . AB ? 2
D A (0,0, a)

C (0, 3,0)

u r 3 3 m ? ( 3, ?1, ) a

r n ? (0,0,1)

B E (3, 0, 0) F (4, 3,0)

【备考需要“准备”什么】

例 题 选 讲
6 、已知等边三角形的边长为 3 ,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且满足

AD CE 1 ? ? , 将 ?ADE 沿 DE 折叠到 ?A1DE 的位置,使平面 A1DE ? DB EA 2 平面 BCDE ,连接 A1B, AC 1 。
(1)证明: A1D ? 平面 BCDE ; (2)在线段 BD 上是否存在点 P ,使得

PA1 与平面 A1EC 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长;若不存在,说
明理由。

2? 7 PB ? 3

(0, 0,1)

(0, 3,0)
(m,0,0)

P
1 3 3 ( , , 0) 2 2

课堂小结
【高考“在”考什么】

【高考“要”考什么】
【备考需要“准备”什么】

牛刀小试

在体积为 V 的斜三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中, 已知 S 是侧棱 CC ? 上的一点,过点 S , A , B 的截面截得的三棱锥的体积为 V1 ,则过 点 S , A? , B? 的截面截得的三棱锥的体 积为 .
A?
B?

C?
S

A B

C

3V1 h1 = , V h 3V2 h2 V -3V1 = = V h V 1 V2 = V -V1 3


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