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2011年北京高考数学答案(理科)


2011 年北京高考数学答案(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 40 分)

1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上。

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 2.函数 f ( x ) ? 3 (0 ? x ≤ 2 ) 的反函数的定义域为(
x





? A. (0, ? )

9 B. (1,]

1) C. (0,

? D. [9, ? )

3.平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是(



A.存在一条直线 ? , a ∥ ? , a ∥ ?

B.存在一条直线 a, a ? ? , a ∥ ?

C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ?

D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , a ∥ ? , b ∥ ?
??? ? ??? ? ????

4.已知 O 是 △ A B C 所在平面内一点, D 为 B C 边中点,且 2O A ? O B ? O C ? 0 ,那么 ( ) A. A O ? O D
???? ???? ????

B. A O ? 2 O D
???? ????

????

C. A O ? 3 O D
????

D. 2 A O ? O D

????

5.记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种
? x ? y ≥ ?, ? ? 2 x ? y ≤ 2, 6.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ? y ≥ 0, ?x ? y ≤ a ?



A. a ≥

4 3

B. 0 ? a ≤ 1 C. 1 ≤ a ≤
4 3

D. 0 ? a ≤ 1 或 a ≥

4 3

7.如果正数 a, b, c, d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么(



A. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 8.对于函数① f ( x ) ? lg ( x ? 2 ? 1) ,② f ( x ) ? ( x ?2) 三个命题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;
2

,③ f ( x ) ? cos( x ? ,判断如下 2)

? ? 命题乙: f ( x ) 在 ( ? ? ,) 上是减函数,在 ( 2, ? ) 上是增函数;

? 命题丙: f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 在 ( ? ? , ? ) 上是增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( A.①③ B.①② C.③ D.②



第 II 卷(共 110 分)
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上.
2 (1 ? i )
2

9.

?



23? 10.若数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 1 0 n ( n ? 1,,, ) ,则此数列的通项公式为
2

;数列 ? n a n ? 中数值最小的项是第 11.在 △ A B C 中,若 tan A ?
1 3
?

项。

, C ? 1 5 0 , B C ? 1 ,则 A B ?



12.已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取
2

?

?

值范围是



13.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形(如图)如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角 三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 。 14.已知函数 f ( x ) , g ( x ) 分别由下表给出

x

1 1

2 3

3 1

x

1 3

2 2

3 1

f (x)

g ( x)

则 f [ g (1)] 的值为 。

;满足 f [ g ( x )] ? g [ f ( x )] 的 x 的值是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分)
2 3 ? ,且 a1, a 2, a 3 成公 数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? cn ( c 是常数, n ? 1,,, )

比不为 1 的等比数列。 (I)求 c 的值; (II)求 ? a n ? 的通项公式。 16. (本小题共 14 分)

如图,在 R t △ A O B 中,? O A B ?

π 6

,斜边 A B ? 4 . R t △ A O C 可以通过 R t △ A O B

以直线 A O 为轴旋转得到,且二面角 B ? A O ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 A B 上。 (I)求证:平面 C O D ? 平面 A O B ; (II)当 D 为 A B 的中点时,求异面直线 A O 与 C D 所成角的大小; (III)求 C D 与平面 A O B 所成角的最大值。

17. (本小题共 14 分)
0) 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, ,AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 1) 点 T ( ? 1, 在 AD 边所在直线上。

(I)求 A D 边所在直线的方程; (II)求矩形 A B C D 外接圆的方程;
0) (III)若动圆 P 过点 N ( ? 2, ,且与矩形 A B C D 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨

迹方程。

18. (本小题共 13 分)

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校合 唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (I)求合唱团学生参加活动的人均次数; (II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率; (III)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机 变量 ? 的分布列及数学期望 E ? 。

19. (本小题共 13 分)

如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状,下底 A B 是半椭圆的短轴,上底 C D 的端点在椭圆上,记 C D ? 2 x ,梯形 面积为 S 。 (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值。

20. (本小题共 13 分)

? 2 ? 已知集合 A ? ? a1, a 2, , a k ? ( k ≥ 2 ) ,其中 a i ? Z ( i ? 1,, , k ) ,由 A 中的元素构

成两个相应的集合:
S ? ? ( a, b ) a ? A, b ? A, a ? b ? A ? , T ? ? ( a, b ) a ? A, b ? A, a ? b ? A ? .

其中 ( a, b ) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P .
23 1,, (I)检验集合 ? 0, 2 3? 与 ? ? 1,,? 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出

相应的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤
k ( k ? 1) 2



(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数 学(理工农医类)

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ? i 10. 2 n ? 1 1
10 2

3

11.

3) 12. (2,

13. 14. 1

7 25
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解: (I) a 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c , a 3 ? 2 ? 3 c , 因为 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列, 所以 ( 2 ? c ) ? 2 ( 2 ? 3 c ) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a 2 ? a 3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于
a 2 ? a1 ? c ,

a3 ? a 2 ? 2 c ,

??
a n ? a n ? 1 ? ( n ? 1) c ,

所以 a n ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] c ?

n ( n ? 1) 2
2

c。

3? 又 a 1 ? 2 , c ? 2 ,故 a n ? 2 ? n ( n ? 1) ? n ? n ? 2( n ? 2,, ) .

当 n=1 时,上式也成立,
2 ? 所以 a n ? n ? n ? 2( n ? 1,, )
2

16. (共 14 分)

解法一: (I)由题意, C O ? A O , B O ? A O ,
? ? B O C 是二面角 B ? A O ? C 是直二面角,

又? 二面角 B ? A O ? C 是直二面角,
? C O ? B O ,又? A O ? B O ? O ,
? C O ? 平面 A O B ,

又 C O ? 平面 C O D ,
? 平面 C O D ? 平面 A O B .

(II)作 D E ? O B ,垂足为 E ,连结 C E (如图) ,则 D E ∥ A O ,
? ? C D E 是异面直线 A O 与 C D 所成的角.

在 R t △ C O E 中, C O ? B O ? 2 , O E ?

1 2

BO ? 1 ,

? CE ?

CO ? OE
2

2

?

5.

又 DE ?

1 2

AO ?

3.

? 在 R t △ C D E 中, tan C D E ?

CE DE

?

5 3

?

15 3



? 异面直线 A O 与 C D 所成角的大小为 a rc ta n

15 3



(III)由(I)知, C O ? 平面 A O B ,

? ? C D O 是 C D 与平面 A O B 所成的角,且 tan C D O ?

OC OD

?

2 OD



当 O D 最小时, ? C D O 最大,
O A ?O B AB
2 3 3

这时, O D ? A B ,垂足为 D , O D ?

?

3 , tan C D O ?



? C D 与平面 A O B 所成角的最大值为 arctan

2 3 3



解法二:

(I)同解法一。
0 2 0 0 0 0 (II)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图,则 O (0,,) , A (0,, 3 ) , C ( 2,,) , D (0, 3 ) , 1, ??? ? ???? ? O A ? (0,, 3 ) , C D ? ( ? 2, 3 ) , 0 2 1,
??? ???? ? ??? ???? ? O A ?C D ? co s ? O A, D ? ? ??? ???? C ? O A ?C D

?

6 2 3 ?2 2

?

6 4



? 异面直线 A O 与 C D 所成角的大小为 a rc c o s

6 4



(III)同解法一

17. (共 14 分) 解: 因为 A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , A D 与 A B 垂直, (I) 且 所以直线 A D 的斜率为 ? 3 .
1) 又因为点 T ( ? 1, 在直线 A D 上,

所以 A D 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ? 3( x ? 1) ,



3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3 x ? y ? 2 = 0

? 解得点 A 的坐标为 (0, 2 ) ,

0) 因为矩形 A B C D 两条对角线的交点为 M (2, .

所以 M 为矩形 A B C D 外接圆的圆心. 又 AM ?
( 2 ? 0 ) ? (0 ? 2 ) ? 2 2 .
2 2

从而矩形 A B C D 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 .
2 2

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以 P N 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,

所以 P M ? P N ? 2 2 ,

即 PM ? PN ? 2 2 .

故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支.

因为实半轴长 a ?

2 ,半焦距 c ? 2 .

所以虚半轴长 b ?

c ?a
2

2

?

2.

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

x

2

?

y

2

? 1( x ≤ ?

2).

2

2

18. (共 13 分) 解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. (I)该合唱团学生参加活动的人均次数为
1? 10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 100 ? 230 100 ? 2 .3 .

( II ) 从 合 唱 团 中 任 选 两 名 学 生 , 他 们 参 加 活 动 次 数 恰 好 相 等 的 概 率 为
P0 ? C10 ? C 50 ? C 40
2 2 2

C100

2

?

41 99



(III)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活 动”为事件 A , “这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B , “这两人 中一人参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 C .易知
P (? ? 1) ? P ( A ) ? P ( B )

?

C10C 50 C100
2

1

1

?

C 50C 40 C100
4

1

1

?

50 99



P (? ? 2) ? P ( C )

?

C10 C 40 C100
2

1

1

?

8 99



又 P ? (? ? 0 ) ? P0 ?
? 的分布列:

41 99

?

0

1

2

P

41 99 41 99 ? 1? 50 99 ? 2? 8 99 ?

50 99 2 3

8 99

? 的数学期望: E ? ? 0 ?



19. (共 13 分)

解: (I)依题意,以 A B 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图) ,则点 C 的横 坐标为 x .
x r
2 2

点 C 的纵坐标 y 满足方程

?

y

2 2

? 1( y ≥ 0 ) ,

4r

解得 y ? 2 r ? x (0 ? x ? r )
2 2

S ?

1 2

( 2 x ? 2 r ) ?2 r ? x
2

2

? 2( x ? r )? r ? x ,
2 2

其定义域为 ? x 0 ? x ? r ? .
0 (II)记 f ( x ) ? 4( x ? r ) ( r ? x ), ? x ? r ,
2 2 2

2 则 f ? ( x ) ? 8( x ? r ) ( r ? 2 x ) .

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ?

1 2

r.

因为当 0 ? x ? 最大值.
1 2

r 2

时, f ?( x ) ? 0 ;当

?1 ? ? x ? r 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ? r ? 是 f ( x ) 的 2 ?2 ?

r

因此,当 x ?

r 时, S 也取得最大值,最大值为

?1 ? 3 3 2 f ? r? ? r . 2 ?2 ?

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 2

r .

2

20. (共 13 分)
1,, (I)解:集合 ? 0, 2 3? 不具有性质 P . 23 3) (3 ? 集合 ? ? 1,,? 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S ? ? ( ? 1, , , 1)? , T ? ? ( 2, 1),2,?? . ? ? 3

(II)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对 ( a i, a j ) 共有 k 个.
2 ? 因为 0 ? A ,所以 ( a i, a i ) ? T ( i ? 1,, , k ) ;

2

又 因 为 当 a ? A 时 , ? a ? A 时 , ? a ? A , 所 以 当 ( a i, a j ) ? T 时 ,
( a j, a i ) T i, j ? ,, 2 k . ) ? ( 1 , ?

从而,集合 T 中元素的个数最多为
k ( k ? 1) 2

1 2

(k ? k ) ?
2

k ( k ? 1) 2



即n ≤



(III)解: m ? n ,证明如下: (1) 对于 ( a, b ) ? S , 根据定义,a ? A ,b ? A , a ? b ?A , 且 从而 ( a ? b, b ) ? T .

如果 ( a, b ) 与 ( c, d ) 是 S 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从 而 a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立. 故 ( a ? b, b ) 与 ( c ? d , d ) 也是 T 的不同元素. 可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n ,
a b A (2) 对于 ( a, b ) ? T , 根据定义, ? A , ? A , a ?b ? 且

, 从而 ( a ? b, b ) ? S . 如

果 ( a, b ) 与 ( c, d ) 是 T 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也不至少有一个不成立,

故 ( a ? b, b ) 与 ( c ? d , d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n 。

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