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2012届高三第一轮复习数学课件(新人教B版):第8编 5空间直角坐标系_图文

学案5 空间直角坐标系

考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究

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考点1

考点2

考 纲 解 读
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角 空间直角坐 坐标系表示点的位置.

标系

2.会推导空间两点间的距离公式.

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考 向 预 测
空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广,课
本涉及内容较少,考试时多以选择、填空题形式出现.

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1.空间直角坐标系的概念 (1)OABC—D′A′B′C′是单位正方体.以O为原点, 分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段 OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴. 也就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫做 x轴,y轴,z轴 坐标原点, 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴 坐标平面 的平面叫做 ,分别称为xOy平面,yOz平 面,zOx平面. 返回目录

(2)在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使 ∠xOy= 135° ,∠yOz= 90° . (3)点P在各坐标平面内的特点 ①若点P在xOy平面内,则P的坐标为 (x,y,0) ;

②若点P在xOz平面内,则P的坐标为
③若点P在yOz平面内,则P的坐标为

(x,0,z) ;
(0,y,z) .

(4)点P在坐标轴上的特点
①若点P在x轴上,则P的坐标为 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) ;

②若点P在y轴上,则P的坐标为
③若点P在z轴上,则P的坐标为

;
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2.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则d(P1,P2)=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 + (z 2 - z 1 )2

的距离d(O,P)=

特别地,P(x,y,z)到原点 x2 + y 2 + z 2 .

3.空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心 坐标公式
x1 + x 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2 坐标为 2 , 2 , 2 .

(1)已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2的中点P的

(2)已知△ABC的三顶点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心G的 坐标为
x1 + x 2 + x 3 y 1 + y 2 + y 3 z 1 + z 2 + z 3 , , 3 3 3

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考点1 确定空间点的坐标

在四棱锥 P—ABCD中 , 底面ABCD是一直角梯形, ∠BAD=90°, AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面

ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD于E.试建立适当的坐标 系,求出各点的坐标.
【分析】 由题意易知,AP,AB,AD两两互相垂 直,故以A为坐标原点,以AB,AD,AP所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 返回目录

【解析】如图所示,以点A为坐标原点,以AB,

AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
坐标系. ∵AB=BC=a,∴点A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0). ∵AD=2a,∴D(0,2a,0). ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD. 返回目录

又∵∠PDA=30°,∴PA=ADtan30°= 2 3a.
3 2 故点P(0,0, 3 a). 3

∵面PAD⊥面ABCD,过E作EF⊥AD于F,则F为E
在底面ABD内的射影,在Rt△AED中,
1 a AD=a,故E(0, , 3 a). 2 2 2

∵∠EDA=30°,∴AE=

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空间直角坐标系中点的坐标的求法类似于平面直角 坐标系的情况,解决的思路是过点作与坐标轴垂直 的平面,依次交坐标轴,求这些交点在坐标轴上的 坐标,进而得点的坐标.相反地,已知一个点的坐 标确定点的位置的方法正是求点坐标的逆过程.

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已知棱长为2的正方体ABCD—A′B′C′D′,建立如 图所示不同的空间直角坐标系.试分别写出正方体 各顶点的坐标.

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【解析】图①中,因为D是坐标原点,A,C,D′分别 在x轴,y轴,z轴的正半轴上,又正方体的棱长为2, 所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D′(0,0,2). 因为B点在xDy平面上,它在x,y轴上的射影分别为A,C, 所以B(2,2,0).

同理,A′(2,0,2),C′(0,2,2).
因为B′在xDy平面上的射影是B,在z轴上的射影是D′, 所以B′(2,2,2).

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图②中,因为D′是坐标原点,A′,C′分别在x轴,y 轴的正半轴上,D在Z轴的负半轴上,且正方体的棱 长为2, 所以A′(2,0,0),C′(0,2,0),D(0,0,2). 同(1)得B′(2,2,0),A(2,0,-2),C(0, 2,-2),B(2,2,-2).

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考点2

空间两点间距离

求点A(1,2,-1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点

B,C的坐标,以及B,C两点间的距离.
【分析】条件中存在两两垂直的三条直线,故可 以建立空间直角坐标系. 【解析】过A作AM⊥xOy交平面于M,并延长到C, 使CM=AM,则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2, 1). 返回目录

过A作AN⊥x轴于N,并延长到点B, 使NB=AN,则A与B关于x轴对称且 B(1,-2,1).

∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称 的点C(1,2,1),A(1,2,-1) 关于x轴对称的点B(1,-2,1). ∴|BC|= (1 ? 1)2 ? ( ?2 ? 2)2 ? (1 ? 1)2 ? 4 返回目录

(1)关于哪条轴对称,对应坐标不变;另两个坐 标变为原来的相反数; (2)关于原点对称,三个坐标都变为原坐标的相 反数;

(3)可类比平面直角坐标系中对应情况进行记忆.

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如图,以正方体的三条棱所在 直线为坐标轴,建立空间直角 坐标系Oxyz,点P在对角线AB 上运动,点Q为棱CD的中点, 求PQ的最小值.

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【解析】过P作PE⊥OA于E,则PE⊥面xOy.

设点P的横坐标为x,由正方体性质得点P的纵坐标 为x,取正方体棱长为1,则AE= 2(1-x). AE PE 2 (1 ? x) ? 1 ? ∵ ∴PE= =1-x, AO BO 2 ∴P点坐标为(x,x,1-x). 1 又Q(0,1, ), 2

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? 1 ? PQ ? x ? (1 ? x ) ? ? ? ? x ? ? 2 ?
2 2 2

2

5 1? 1 ? 2 ? 3x ? 3x ? ? 3? x ? ? ? 4 2? 2 ?

1 2 当x= 时,PQmin= , 2 2 1 1 此时,点P的坐标为( 1 , , ). 2 2 2 2
即P为AB中点时,PQ最小,为
2

.

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(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐 标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它的另一轴 上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正 负号)确定第三个坐标.

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