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椭圆的离心率为2分之根号2的几个充要条件——几道高考题的启示


2014 年 7 月

教育纵横

数坛 在线

椭圆的离心率为 姨 2 的几个充要条件 2
── 几 道高 考 题的 启示
筅江苏省海门实验学校
陆丽华

%

例1

(2010 年 山 东 省 高 考理 科数学 卷 第 21 题 )已知
2

例2

(2011 年 江 苏 省 高 考
M O

y P

椭圆

x y 2 + =1 (a>b>0 ) 的离心率为 姨 , 以该椭圆上的 a 2 b2 2
%

2

数学 卷 第 18 题 )如图1, 在平面直

点和椭圆的左右焦点为顶点的三角形的周长为4 (姨 2 +1 ) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双 曲线上异于顶点的任一点, 直线PF1和PF2与椭圆的交点 分别为A、 B和C、 D. (1 ) 求椭圆和双曲线的标准方程. 证明k1k2=1. (2 ) 设直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, 是否存在常数λ, 使得|AB|+|CD|=λ|AB| · |CD|恒成 (3 ) 立?若存在, 请求出λ的值; 若不存在, 请说明理由. 该题实质上是证明了如下一个结论. x 2 y2 结论 1 设F1、 F2是椭圆 + =1的左、右焦点, P是 8 4 双曲线 x 2 y2 - =1上异于顶点的任一动点,直线PF1与椭 4 4 D两点, 则 圆 交 于 A、 B 两 点 ,直 线 PF2 与 椭 圆 交 于 C、 |AB|+|CD| 为定值. |AB| · |CD| 笔者在文1中试图将结论1推广到一般椭圆中, 未获 2 成功,反而证得了离心率为 姨 的椭圆的一个充要条 2 件, 即如下一个结论.
结 论2

B 角坐标系 xOy 中, M、 N 分别为椭 C x 2 2 x y A 过坐标原点 圆 + =1的顶点, N 4 2 的直线交椭圆于P、 A两点,其中 图1 点 P 在第一象限, 过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为点 C, 连接 AC, 并延长交椭圆于点B, 设直线PA的斜率为k. (1 ) 若直线PA平分线段MN, 求k的值; (2 ) 对任意k>0, 求证: PA⊥PB.

x2 y2 设椭圆 C1: 2 + 2 =1 (a>b>0 ) 的左 、 右焦点 a b

x2 y2 =1上异于顶点的一个动 c2 a2-c2 点, 直线PF1与椭圆C1交于A, B两点, 直线PF2与椭圆 C1交 为F1、 F2, P为双曲线: 2 于 C, D两点,则椭圆C1的离心率e= 姨 的充要条件是 2 |AB|+|CD| 为定值. |AB| · |CD| 2 文1截稿后, 笔者便产生一个问题, 离心率 e= 姨 2 的椭圆存在不存在其他的充要条件?

2 该题中椭圆的离心率为 姨 ,这足以引起笔者相 2 当大的兴趣 . 首先, 我们希望该题中第 (2 ) 小题的结论 PA⊥PB对所有椭圆都适用. x2 y 2 (a>b>0 对任意椭圆 2 + 2 =1 ) , 过坐标原点但不与x a b 轴垂直的直线交椭圆于点 P, A 两点,过点 P 作 x 轴的垂 线, 垂足为点C, 连接并延长AC与椭圆交于点B, 连接PB, 我们看看PA与PB是否垂直? 延长PC与椭圆交于点 D, 连接AD, 则由椭圆的对称 性, 有PD⊥AD, |PC|=|CD|. 假设PA, PB, AC 的斜率分别为 k2, k3, 则易得k1=2k3, 所以k1k2=2k3k2.由AP 是椭圆的直 k1, b2 2b2 径, 易得k3k2=- 2 , 所以k1k2=- 2 . a a 这样, 我们实质上是证明了如下一个结论. x2 y2 结论 3 设AP为椭圆 2 + 2 =1 (a>b>0 ) 不与坐标轴 a b 重合的任一条直径, 作 PC ⊥x 轴, C 为垂足, 连接并延长 AC 与椭圆交于点 B, 连接 PB, 则 PA 与 PB 的斜率之积为 2b2 - 2 是定值. a 由结论3很容易得到如下一个结论.
结论4

%

2 椭圆的离心率为 姨 的充要条件二 2 设 2 2

AP 为椭圆

x2 y 2 ) 不与坐标轴重合的任一条 + =1 (a>b>0 a 2 b2 高中版

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作PC⊥x轴, C为垂足, 连接并延长 AC 与椭圆交于 直径, x2 y 2 点B,连接PB,则椭圆 2 + 2 =1 (a>b>0 ) 的离心率为 a b 姨 2 的充要条件是PA⊥PB. 2
例3 (2011 年 全 国高 考理 科数学 卷 第 21 题 ) 已知 O

c2 + a2

bc - 2 2 a
2

b

2

即应有 =1,

2c2 故点P一 =1.此式一般不成立, a2
%

2 般不在椭圆C1上.显然当且仅当a2=2c2, 即e= 姨 时, 点P 2 我们有如下一个结论. 在椭C1上.因而,
结 论5

为坐标原点, F为椭圆C: x2+

y2 =1在y轴正半轴上的焦点, 2

2

2 椭圆的离心率为 姨 的充要条件三 设l 2

%

2

过点F且斜率为- 姨 2 的直线l与椭圆C交于A、 B两点, 点 姨姨 姨姨 姨姨 P满足OA+OB+OP=0. 证明: 点P在椭圆C上; (1 ) (2 ) 设点P关于点O的对称点为 Q, 证明: A, P, B, Q四 点在同一圆上. 将该题中的椭圆 C 及直线 l 均按逆时针方向绕坐标 原点旋转 90° , 则椭圆 C 的方程变为 1 x2 2 +y =1, 直线 l 的斜 2

b x 2 y2 ) 左焦点且斜率为 的一 (a>b>0 是过椭圆 C1: 2 + 2 =1 a b a 姨姨 姨姨 姨姨 点P满足OA+OB+OP=0, 条直线, 与椭圆C1交于A, B两点, 2 则椭圆C1的离心率为 姨 的充要条件是点P在椭圆C1上. 2 接着讨论A, P, B, Q四点是否在同一圆上. bc P, B三点确定的圆为x2+y2+ 依题意Q -c, . 若A, a
2 2 Dx+Ey+F=0,则x2 ⑤, x2 1+y 1+Dx1+Ey1+F=0 2+y 2+Dx2+Ey2+ b2c2 bc F=0 ⑥, c2+ 2 +cD- E+F=0 ⑦. a a

%

2

2

x2 率变为 且过椭圆 +y2=1的左焦点,其余条件不 2 姨2 变, 则该题中欲证的结论仍成立 . 现在的问题仍然是该 题所揭示的结论对一般椭圆是否成立?注意直线l的斜 姨2 一个问题. 率为 1 正好是 , x2 2 +y =1中b与a之比, 于是提出如下 2

2 2 得 (x1+x2 (x1+x2 ) - 2x1x2+ (y1+y2 ) - 2y1y2+D ) + ⑤+⑥, E (y1+y2 ) +2F=0 ⑧.

将 ①②③④ 代入 ⑧ ,得 c2+b2+ 2F=0, 即a2+b2-cD+ ⑦可化为 bc E+2F=0 a ⑨.

b2c2 b4 bc + 2 -cD+ E+ 2 a a a

x 2 y2 对任意椭圆C1: 2 + 2 =1 (a>b>0 ) , 过左焦点作一斜 a b 姨姨 b 率为 的直线l,与椭圆C1交于A, B两点,点P满足OA+ a 姨姨 姨姨 OB+OP=0.问: 点P是否在椭圆C1上?设点P关于点O的对 称点为Q, 则A、 P、 B、 Q四点是否在同一圆上? 探求如下: x2 y 2 b ) 直线l的方程显然为y= (x+c , 代入椭圆C1: 2 + 2 a a b =1, 整理得2x2+2cx-b2=0. y1 ) y2 ) 设A (x1, , B (x2, , 则x1+x2=-c ①, x1x2=b2 2 ②.

2 2c( 2bc a2+b2 ) E+2F=0 +2cDa a2

⑩.

3bc ) ) (2c2-a2 (a2+b2 E=0, ⑩-⑨, +3cD得 a a2 即-2cD+ 2bc 2 (2c2-a2 ) ) (a2+b2 E= 輥. 訛 輯 a 3a2
2 2 bc 2 (2c2-a) b2c2 (a2+b) 訛 輰 E+F= -cD+ 輥. a2 a 3a2

⑦+輥 輯 訛, 得c2+ 若

2 (2c2-a2 ) ) (a2+b2 ≠0, 即 2c2 -a2 ≠0, 则由輥 訛知 輰 2 3a

b b b 2bc = ) + (x2 +c ) = (x1 +x2 ) + 所以 y1+y2= (x1+c a a a a bc 2bc bc + = a a a ③, y1y2=b4 2a2 ④.

bc 若 2c2 -a2 =0, Q -c, 代入 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 不满足; a
2 2

2 2 bc -c, 2 代入x +y +Dx+Ey+F=0满足. Q2 a
姨2 . 2
参考文献 :
%

A, P, B, Q 四 点 在 同 一 圆 上 圯 2c2 -a2 =0 圯 e = 所以,

姨姨 姨姨 bc y1+y2 ) = -c, . 由①③得OA+OB= (x1+x2, a 姨姨 姨姨 姨姨 姨姨 bc 而OA+OB+OP=0, 所以OP= c, . a bc x2 y 2 代入 2 + 2 =1, 将 c, 应有 若点P 在椭圆 C1上, a a b

2 2 2 2 2 2

1. 徐 道 . 一道高 考 题 引 出的 特殊 椭 圆 [J]. 数学教学 , 2011(6). FH

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