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三角函数中的参数求值或求范围问题_图文

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中学数学杂志(高中)2006年第6期

三角函数中的参数求值 或求范围问 题
山东省东营市第一中学 青岛第二十六中学
三角函数中的参数求值或求范围问题实际上 是一般函数中此类问题的具体化,仍然包括等式恒 成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型,下面举 例加以单述. 1等式恒成立型 这一类型包括奇偶性概念、周期性概念、存在性 问题三种,解决方法有一般定义法或先用特值求解 再进行证明两个思路. 例1 若厂(z)=3sh(2z+口)是奇函数,求疗 的值.若是偶函数呢? 257027
266000

司徒雪华 刘玲

范围. 解析

,(z)=2Sin2z十以sin2z+口=1一

∞&z+历s砬z+盘=2sin(2。一詈)+口+l,由z

∈[o,号],得2z一詈∈[一詈,言万],所以口≤
2siIl(2z一詈)+口+l≤3+口,由l,(z)I<2对

z∈[o,号]恒成立,得{;;:耋2,所以一2<口
<一1.

解法1(定义法)因为,(z)=3如(2z+口)是 奇函数,所以,(一z)=一厂(z)对z∈R恒成立,即
3sh(一2叠+毋)=一3sin(2z+口)对o∈R恒成立, 即sin(一2z+口)=sin(一2z一口)对z∈R恒成立, 所以一口+2h=口,即口=h(矗∈z)为所求.

3函数量值型 此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或 者转换为=次函数分类讨论求最值. 饲3 若函数“z)=tan2z一口tallz(I


l≤

解法2(特值法)因为火z)=3sin(2z十学)是 奇函数。所以,(O):一O,得翻口=0,故口=k(五∈ z),此时,(z)=3§洫(2七+h),丽厂(一z)=3sin(一
2z+愚7r)=一3sh(2z+愚,r)=一,(z),故“z)=

号)的最小值是一6,求实数口的值.
解析 由I


令ta舭=£,且g(£)=,(z)=f2一口£,

I≤丢。得一1≤£≤1.

3妇(2z十忌丌).是奇函数,即口=h(惫∈z)为所求.
解法3因为.厂(z)=3Sin(2z+口)是奇函数, 所以.厂(一z)=二.厂(z)对z∈R恒成立,即.3《n(一 2z+口)=一3Sin(20+8)对z∈R恒成立,进而

(1)当鲁≤一1即口≤一2时,g(£)在[一l,1]
上递增,所以g(£)凼=g(一1)=l+n=一6,得口
=一7:

Sin口00s2z=O对z∈R恒成立。所以sh口=O,即日
=妨(惫∈z)为所求. 2不等式恒成立翟

(2)当鲁≥l即吐≥2时,g(£)在[一l,1]上递
减,所以g(£)蚵。=g(1)=1一口=一6,得口=7;

这类问题的理论依据是:若将含参数t的关于z 的不等式分离“£)>g(z)或“£)<g(z),通过
求g(z)的最值。再求£的取值范围.


(3)当一l≤号≤1即一2≤口≤2时,g(f) 在[一l,号]递减,在[詈,1]递增. 所以g(z)旆=g(詈)=一等=一6,得口=2

-t

(1),(£)>‘g(z)恒成立筒“f)>g(o)一; (2),(’f)<g《z)恒成立筒“£)<g(奎)I血.
例2

已知函数“。)=2S膏。+以幽也z+口,

屑告[一2,2],舍去;综上所述,得口=±7.

或I,(z)I<2对z∈[o,号]恒成立,求实数口的

万方数据  

三角函数中的参数求值或求范围问题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 司徒雪华, 刘玲 司徒雪华(山东省东营市第一中学,257027), 刘玲(青岛第二十六中学,266000) 中学数学杂志(高中版) ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN) 2006(6)

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