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§2__指数扩充及其运算性质-习题课_图文

规定正数的正分数指数幂的意义:

a ? a (a ? 0, m, n ? N 且n ? 1)
n m

m n

?

规定正数的负分数指数幂的意义:
a
m ? n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N 且n ? 1)

?

0的正分数次幂等于0, 0的负分数次幂无意义,0的0次幂无意义。

① am·n=am+n a 性质: (a>0,m,n∈R); m)n=amn (a>0,m,n∈R); ② (a ③ (ab)n=an bn (a>0,b>0,n∈R); ④ am÷an=am-n (a>0,m,n∈R); n=an/bn (a>0,b>0,且 ⑤ (a/b) n∈R).

题型一 将根式转化分数指数幂的形式。(a>0,b>0
5 6

1, a a a
4 3

3

a

3a 4 ? ?4 ?4 2, (? ) 3 a b 3 27b
3
8 3

?3

3, ( a ? b) (a ? b)

3 4

4. a

9 24

b

?3

a b

9 4

3 ?8

小结:1,当有多重根式是,要由里向外层层转化。 2、对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。

题型二
分数指数幂 a
m n
3 ? 4

m n 求值,先把a写成
m n m

x

n 然后原式便化为

a ? (x ) ? x
n

(即:关键先求a的n次方根)
? 2 3

(1),10000
a

1 1000

125 (2), ( ) 27
c

9 25

36 (3), ( ) 49

3 2

216 343

已知 10 ? 2,10 ? 3,10 ? 5, 求10
b

3a ? 2b ? c

的值。

40 9

题型三

分数指数幂的运算1、系数先放在一 起运算。2、同底数幂进行运算,乘 的指数相加,除的指数相减。

1 (?2 x y )(3x y )(?4 x y ) 、
原式 ? (?2) ? 3? (?4) x
1 ?1 ?1 4 2 4

1 4

1 ? 3

1 ? 2

2 3

1 4

2 3

y

?1 ? 2 ? 2 3 3 3

? 24y

2.

7 (2 ) 9
100

0.5

10 ? 0.1 ? (2 ) 27
?2 ?

?

2 3

? 3?

0

37 ? 48

3, (a b )(?4a b) ? (12a b c) ?2 ?1? 4 ?3?1? 2 ?1 原式 ? (?4) ? 12a b c
? ? ac
1 3 ?1

?2 ?3

?1

?4 ?2

例4 计算

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m n )

1 4

3 ?8 8

题型四

根式运算,先把每个根式用分数 指数幂表示;题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意:结果可以用根式表示,也 可以用分数指数幂表示。但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂,并且分母中不能含有负分 数指数幂。

例1:化简

1.

(2 a ? 4 ab) ? 3 b
4 6
2 ? 3 3 9 2 2

3

2.

[( 8 ) ? ( 10 ) ] ? 10
3 4

5

3.( 25 ? 125) ? 5

例2:化简

1.

a b
1 4 1 2

3

23

ab

2

2.

b (a b ) ? 3 a 2 a
4

a a

3

2

例3:计算 9 1. 3 2

a a
3 3

?3

?

3

a

?7 3

a

13

2.

a

题型五
利用代数公式进行化简:

a ? b ? (a ? b)(a ? b)(平方差公式 )
2 2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b (完全平方公式 )
2 2 2

a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )(立方公式)
3 3 2 2

例1:化简

(1), (a ? b )(a ? b )(a ? b )
(2), a ?b a ?b
1 2

1 4

1 ? 4

1 4

1 ? 4

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

?

a ?b a ?b
1 2

1 2

1 2 1 2
1 ? 4

1 2

2, (2 x ? 3 y )(2 x ? 3 y )

1 ? 4

例2:

1,已知x ? x ? 3, 求下列各式 (1),x ? x
1 2
1 2 1 ? 2

?1

5
1 ? 2

(2), x ? x

3 2

3 ? 2

2 5

(3), x ? x
3 2

(4), x ? x

3 ? 2

1?
?4

2, 化简

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x?x
1 3

1 3

x ?1
1 3

?x
3,已知x ? x
1 2 1 ? 2 2

x ?1 ? 5, 求 的值? x
23

7 变式:已知a ? a ? 3, 则a ? a ? ___
2 3 ?3

?1

?2

18 a ? a ? ______ .

:4、化简:

a ? b ? a ? b (a ? a )(b ? b ) ? 2 2 ?2 ?2 ?1 ?1 a b ?a b ab ? a b
2 2
2 2

?2

?2

?1

?1

1 1 1 1 a ? b ? 2 ? 2 (a ? )(b ? ) a b ? a b 解:原式 = 1 1 2 2 ab ? 2 2 ab ? ab ab

a b (a ? b ) ? a ? b (a ? 1)(b ? 1) ? ? 4 4 2 2 a b ?1 a b ?1
2 2 2 2 2 2 2 2

(a ? b )(a b ? 1) a b ? a ? b ? 1 ? 2 2 ? 2 2 2 2 (a b ? 1)(a b ? 1) a b ?1
2 2 2 2 2 2 2 2

a b ?1 ? 2 2 ?1 a b ?1
2 2

a ? b ? a b ?a ?b ?1 ? 2 2 a b ?1
2 2 2 2 2 2

5、已知 x -3 + 1 = a ,求 a 2 -2ax -3 + x -6 的值。 a 解法一: 2 -2ax -3 + x -6
= ( x -3 + 1 ) 2 -2( x -3 + 1 )x -3 + x -6 = x -6 + 2x -3 + 1 -2 x -6 -2x -3 + x -6

=1 解法二: 由 x -3 + 1 = a 得 x -3 = a -1

x -6 = ( x -3 ) 2 = ( a -1 ) 2

a 2 -2ax -3 + x -6 = a 2 -2a( a -1 ) + ( a -1 ) 2 = a 2 -2a 2 + 2a + a 2 -2a + 1 =1

解法3:
原式 = ( a -x -3 ) 2 -3 = 1 由题 a -x
故 原式 = 1

题型六 分数指数幂或根式中x的定义域问题。

例:求下列各式中x的范围

(1), 1 ? x
4

(2), ( x ? 1)
( 4), x
3 ? 2 4

1 ? 3

(3), ( x ? 1)

2 3

1 ? 2

(5), (3 ? 2 x ? x )

(6), (| x | ?1)

1 ? 3

1. 已知

x

?

2 3

?4

那么x等于

3 1 ? (C) ? 23 2 (D) 4 (A)8 (B) 8 4

2.对任意实数a,下列等式正确的是
(A)

(a ) ? a
3 1 ? ? 5 3

1 2

2 3

1 3

(B) (a
1 5 (D)
0

2 3

) ?a
1 3 3 5

1 2

1 3

(C)(a

)

?a

(a )

?a

1 5
1 2

3. 0.064

1 ? 3

? 7? 0.75 ? ? ? ? ? 16 ? 0.01 ? ? 8?

? 7? ? 2? 0.25 6 3 4 4. 1.5 ? ? ? ? ? 8 ? 2 ? ( 2 ? 3) ? ? ? ? ? 6? ? 3?

1 ? 3

0

2 3

5.

? b? 3 ? ?1 ? 23 ? ? a 2 2 ? a? ? a 3 ? 23 ab ? 4b 3 ? a ? 8a b
x ?x

4 3

1 3

? u ,其中a>0, ? x 6.已知 a ? a 列各式分别用u表示出来: 3x 3x x x (2) (1) ? ?

R , 将下

a ?a
2

2

a

2

?a

2

7. 8.

3

a

9 2

a

?3

?

3
1 16

a

?7

? a
3
1 8

13

?
1 4 1 2

(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )
x ?x
1 2 ? 1 2

1 32

9. 设

? 3求
?3 x

x ?x ?2 的值 2 ?2 x ? x ?3

3 2

?

3 2

10. 已知


a ?a
3x

? 2,

且 a>0,

a

x

的值.

11.

a ? 1, b ? 0, 且a ? a
b

?b

? 2 2,

求a ? a 的值
b

?b

12. f( 2 x?1) x ? 2,求f( ) 5 ? 125


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