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2018年高中数学人教A版选修2-1: 2.4.2 抛物线的简单几何性质 (17张) _图文

高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质

2019年4月29日

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1

问题1:椭圆、双曲线都有哪些性质?

椭圆:范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线:范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率。

问题2:如何研究得到这些性质? 通过方程得到;通过图形得到。

2019年4月29日

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2

问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么?
P的几何意义是什么?

2019年4月29日

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3

﹒ 图 形 标准方程 y

焦点

ox

﹒y

﹒o x y

ox

﹒y o x

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准线
4

一、探索新知

如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、

范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)
有2 px ? y2 ? 0
p?0

o F( p ,0) x
2

?x ? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0, y ? R

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5

2、

对称性

y

(x, y) 关于x轴 对称

(x, ? y)

若点(x,y)在抛物线上,

即满足

o F ( p ,0)
2

x

y2 = 2px 则 (-y)2 = 2px

即点(x,-y) 也在抛物

线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关

于x轴对称.

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6

3、

顶点

y

定义:抛物线与
它的对称轴的交点叫
做抛物线的顶点。
? y2 = 2px (p>0)中,
令y=0,则x=0.

o F( p ,0) x
2

即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶

点(0,0). 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档

7

4、 离心率
抛物线上的点到 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。
由定义知, 抛物 线y2 = 2px (p>0)的离 心率为e=1.
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y
P(x,y)
o F( p ,0) x
2
8

图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率

y2 ? 2 px x ? 0, 关于x 轴 ( p ? 0) y ? R 对称

(0,0)

e=1

y2 ? ?2 px x ? 0, ( p ? 0) y ? R

关于x 轴 对称

(0,0)

e=1

x2 ? 2 py ( p ? 0)

y ? 0, x?R

关于y 轴 对称

(0,0) e=1

x2

? ?2 py y

? 0,

关于y 轴 对称

( p ? 0) x ? R

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(0,0) e=1
9

二、典例精析

例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标

原点,并且经过点M(2,?2 2),求它的标准方程.
解:
因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且

经过点M(2,?2 2),
所以设方程为: y2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上:

( p ? 0)

(?2 2)2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2

因此所求抛物线标准方程为: y2 ? 4x

变式:求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴, 并且经过点(2, ?2 2 )的抛物线的标准方程。

2019年4月29日

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11

例 2:斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);

2019年4月29日

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解法1 F(1 , 0), l的方程为:y ? x ?1

? ? ?

y ? x ?1 y2 ? 4x

?

x2

?

6x

?1

?

0

?

?? ?

x1

?

3

?

2

2



?? ?

x2

?

3?

2

2

?? y1 ? 2 ? 2 2

?? y2 ? 2 ? 2 2

AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8

2019年4月29日

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法二:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
解法2 F(1 , 0), l的方程为:y ? x ?1

? ? ?

y ? x ?1 y2 ? 4x

?

x2

?

6x

?1

?

0

?x1 + x2 = 6, x1x2 = 1

y
6

|AB |= |AF|+ |BF |

A5
1
4

A

3

= |AA1 |+ |BB1 |

2

=(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8

B1

F 1

O1

2

3

4

5

6

7

8x

B -1

-2

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14

学习小结
1、抛物线的几何性质 2、求过一点的抛物线的方程 3、求抛物线的弦长

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15

课堂检测
斜率为-2的直线 经过抛物线 y2=
8x的焦点,且与抛物线相交于A、
B两点,求 线段AB的长 .

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