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成都市18届高三理科数学上学期一诊考试试卷答案

数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准
( 一? 选择题 : 每小题 5 分 , 共6 0 分) 1. A 2. D 3. D 7. A 8. B 9. C 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共6 0 分) 4. C 1 0. C 5. C 1 1. B 6. B 1 2. D

成都市 2 0 1 5 级高中毕业班第一次诊断性检测

( 二? 填空题 : 每小题 5 分 , 共2 0 分) 1 3. 4 0; ??1 4. 1 2; ??1 5. 6; ??1 6. 6. ( 三. 解答题 : 共7 0 分) ( ) 解: 设数列 { 1 7. 1 a n } 的公差为d . ? a2 =3, S4 =1 6,? a1 +d =3, 4 a1 +6 d =1 6. 4 分 解得 d =2, a1 =1. 6 分 ? a 2 n 1 . - n = 1 1 1 1 ( ) ) 8 分 由题意 , 2 b . = ( - n = ( ) ( ) 2 n -1 2 n +1 22 n -1 2 n +1 ?Tn = b b +b 1+ 2+ n 1é 1 1 1 1 1 ù ú ( ) 1- ) = ê +( - ) + +( - ê 2? ? 3 3 5 2 n -1 2 n +1 ú 1 1 n ) 1 1- . 2分 = ( = 2 2 n +1 2 n +1 ( ) 解: 记 从这 1 至多有 1 天是用水量超标 为 1 8. 1 2 天的数据中随机抽取 3 个 , 事件 A . 1 2 3 C C 1 6 8 4 2 4C 8 8 4 分 则 P( A )= 3 + 3 = = . 2 2 0 5 5 C C 1 2 1 2 1 ( ) 以这 1 易知其概率为 2 2 天的样本数据中用水量超标的频率作为概率 , . 3 随机变量 X 表示未来三天用水量超标的天数 , ? X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3. 1 1 2 k k 3 k - , 易知 X ~ B ( 3, ) P( X= k) k =0, 1, 2, 3. =C 3 ( )( ) , 3 3 3 8 4 2 1 ) ) ) ) 8 分 则 P( X =0 P( X =1 P( X =2 P( X =3 = , = , = , = . 2 7 9 9 2 7 ? 随机变量 X 的分布列为

第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共9 0 分)

X P

8 2 7



1 4 9

2 2 9

1 2 7 1 0分 1 2分



1 数学期望 E ( X) =3? =1. 3

数学 ( 理科 ) 一诊 考试题答案第 ? 共 4页) 1 页(

( ) 解: 取A 连接 P 1 9. 1 C 的中点 O , O, B O 得到 ?P B O. , , 是菱形 ?A B C D ?P A =P C P O ?A C. ?D C =5, A C =6, ?O C =3, P O =O B =4,

?P B =4 2,? ?P O2 +O B2 =P B2 . ?P O ?O B. ?B O ?A C =O ,?P O ? 平面 A B C. , 平面 平面 ?P O? P A C ?? A B C ? 平面 P A C. ( )?A 2 B =B C, ?B O ?A C. 易知 O B, O C, O P 两两相互垂直 . 以 O 为 坐 标 原 点, O B, O C, O P 所 在 直 线 分 别 为x 轴 , , 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系 z O x z. y y ) , ) , ) , ) 则 B( 4, 0, 0 C( 0, 3, 0 P( 0, 0, 4 A( 0, 0 . -3, , ) 设点 Q ( x, z . y 4 ? 1 ? ,得 ( , , 由A Q= A P Q 0 -2 ) . 3 3 4 ? ( , ,) ? ?B C = -4 3 0 , B Q =( . -4, -2, ) 3 设 n1 = ( 为平面 B x1 , z1) C Q 的一个法向量 . y1 , 6 分

4 分

x1 +3 ì-4 ? y1 =0 ? n1 B C =0 ? 由 ?í .解得 4 ? x1 -2 -4 y1 + z1 =0 n1 B Q =0 ? ? 3

{

) 取z1 =1 5,则 n1 = ( 3, 4, 1 5 . ? ? c o s n1 , n2? =

3 ì ? x = y1 ? 1 4 . í 4 ? z = 1 1 y ? ? 1 5

) 取平面 A B C 的一个法向量n2 = ( 0, 0, 1 .

8 分 1 1分 1 2分

n1 n2 1 5 3 1 0 , = 2 = 2 2 n1 n2 1 0 3 +4 +1 5
3 1 0 . 1 0

a 2 2 ( )? 解: 2 0. 1 c = 3, =2, a2 = b +c , b ? a =2, b =1. x2 2 5 分 ? 椭圆的标准方程为 +y =1. 4 ( ) ) , , 当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y = k 2 x +m( m ?1 M( x N( x . 1, 1) 2, 2) y y
联立

? 二面角 Q -B C -A 的余弦值为

k m 4 m2 -4 -8 , ?Δ =4 k2 +1-m2 >0, x1 +x2 = 2 x1 x2 = 2 . 4 k +1 4 k +1 ? 点 B 在以 MN 为直径的圆上 , ? ? ? BM BN =0. ? ? ) ) ( ? BM BN = ( x1 , k x1 +m -1 x2 , k x2 +m -1 2 2 ) ) ( ) =0, k +1 x1 x2 +k( m -1 x1 +x2) m -1 =( +(
数学 ( 理科 ) 一诊 考试题答案第 ? 共 4页) 2 页(

k x +m y= ,消去 y 可得 ( ) 4 k +1 x +8 k mx +4 m -4=0. {x +4 y =4
2 2 2 2 2

7 分 8 分

4 m2 -4 k m -8 2 ) 2 ) 2 ) ?( k2 +1 m -1 m -1 +k( +( =0. 4 k +1 4 k +1 3 ( 整理 , 得5 舍去 ) m2 -2 m -3=0.? 解得 m =- 或 m =1 . 5 3 ? 直线l 的方程为y = k x- . 5 易知当直线l 的斜率不存在时 , 不合题意 . 3 故直线l 经过定点 , 且该定点的坐标为 ( 0, . - ) 5 x x x x 0) 0 0 ( ) 解: 曲线在点 P ( 处的切线为 y =e 2 1. 1 x0 , e x -x0 e +e0 . x x x x ? k =e0 , b =-x0 e0 +e0 .? ? k -b =x0 e0 . x ) 设 H( x =x e. x ) 由H ?( x) x +1 e =( =0,解得 x =-1. 当 x >-1 时 , 上单调递增 ; H ?( x)>0, ? H( x)在 ( -1, +? ) ( ) , ( ) ( , ) 当 x <-1 时 , 在 H ? x <0 ? H x -? -1 上单调递减 . ) ?H ( x)的极小值为 H ( -1 =- ?k -b 的最小值为 - 1 . e

1 0分 1 1分 1 2分 3 分

1 5 分 . e x ( )? m >2, 由g 2 x ?0, ?( x) e m) l n 2 m. =x( -2 =0,解得 x =0 或 x = 当 x >l n 2 m 时, ?( x)>0, ? g( x)在 ( l n 2 m, + ? )上单调递增 ; g 当 0< x <l n 2 m 时, ?( x)<0, ? g( x)在 [0, l n 2 m ) 上单调递减 . g 7 分 ?g ( x)的极小值为 g( l n 2 m) . ) 又? ? g( 1 l n 2 m >l n 4>1, =2-m <0, ?g( l n 2 m )<0. ) ) 又 ? g( 0 1 =1>0, =2-m <0, g( ( , ) , ( 使得 ? ?x1 ? 0 1 =0. g x1) 由 g( l n 2 m )<0,知当 x ?+ ? 时 , x)?+ ? . g( ( , ), ( ) 使得 ??x2 ? l n 2 m +? g x2 =0. ?x2 >l n 2 m >l n 4, 4 4 即 x2 > x1 +l . n . e e m 3 ) 当 x =m 时 , m) m -1 e m >2. =( -m +2, g( x 3 ) 令 u( x) x -1 e x >2. =( -x +2, x 2 x ( ) ( ? u ? x =x e -3 x =x e -3 x) . x 设 G( x) x, x >2. =e -3 x ?G ?( x) x)在 ( 2, =e -3>0,?G ( + ? )上单调递增 . 2 ( ) ( ) ?G x > G 2 =e -6>0. ? u ?( x)>0 在 x >2 时恒成立 . 2 ( ) ? u x)> u( 2 =e -6>0. ? 当 m >2 时 , m )>0. g( , ( 又 ?g( x2) 0 l n 2 m, = g x)在 ( + ? )上单调递增 , ?m > x2 . 4 故 x1 +l n < x2 < m 成立 . e ?x2 -x1 >l n 4-1= l n 9 分

1 2分

数学 ( 理科 ) 一诊 考试题答案第 ? 共 4页) 3 页(

1 ì ? x =2+ t ? 2 ( ) ,消去参数t 可得y = 3( ) 解: 由 í 2 2. 1 x -2 +2. ? 3 2 t y= + ? 2 ? ? 直线l 的普通方程为 3 x -y +2-2 3 =0. 2 2 2 2 , ? i nθ +4 s i n θ= i n θ +4 s i n θ= ρs ρ ? ρs ρ ρ. 2 2 2 ? s i n θ =y, ρ ρ =x +y , 故曲线 C 的直角坐标方程为x2 =4 y.

2 分 5 分

2 8 分 即t 8-8 3) t-1 6=0. +( , , 且点 在直线 上 ?Δ >0 M l ? 此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点 A , B 对应的参数t t 1, 2. , ? t t 1 6 1 2 =- 1 ? MA MB = t t 1 6. 0分 1 2 = ( ) 解: 由题意 , 得 x -2 + x +1 <4. 2 3. 1 5 ( )当 x >2 时 , ; 原不等式即 2 i x <5.?2< x < 2 3 ( )当 x <-1 时 , 原不等式即 -2 i i x <3.? - < x <-1; 2 ( )当 -1? x ?2 时 , 原不等式即 3<4.? -1? x ?2. i i i 3 5 3 5 , 综上 , 原不等式的解集为 x| 即 x1 =- , x2 = . - <x < 2 2 2 2 5 分 ?x1 +x2 =1. ( ) 由题意 , 得 x -2 +k x +1 ?k. 2 当 x =2 时 , 即不等式 3 k ?k 成立 .? k ?0. ( )当 x ?-2 或 x ?0 时 , i ? x +1 ?1,? 不等式 |x -2| +k|x +1|?k 恒成立 . ( )当 -2< x ?-1 时 , i i

1 ì ? x =2+ t ? 2 1 2 3 ( ) ( 将 í 代入抛物线方程x2 =4 可得 ( 2 2+ t) 2+ t) . =4 y 中, 2 2 ? 3 y =2+ t ? 2 ?

{

}

? k ?3. ( )当 -1< x <0 时 , i i i

原不等式可化为 2-x -k 可得k ? x -k ?k .

2-x 4 . =-1+ x +2 x +2 2 . x

原不等式可化为 2-x +k x +k ?k.可得k ?1- ? k ?3. 综上 , 可得 0?k ?3, 即k 的最大值为 3.

1 0分

数学 ( 理科 ) 一诊 考试题答案第 ? 共 4页) 4 页(


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