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2018_2019版高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与简单表示法课件新人教A版必修_图文

第二章 数列

2.1 数列的概念与简单表 示法

第1课时 数列的概念与简 单表示法

课标阐释 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类. 3.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够 根据数列的前几项写出数列的一个通项公 式.

思维脉络 数列的概念与表示
数列的定义 数列的表示 数列的分类 数列的通项公式及应用

一二
一、数列
【问题思考】 1.观察给出的下列各组数: (1)前 6 个正整数的平方:1,4,9,16,25,36;

(2)所有负整数的倒数:-1,-12,-13,-14,…;

(3)12的正整数次幂的值:12

,

1 4

,

1 8

,

1 16

,

312,…;

(4)5 个 2 排成一行:2,2,2,2,2; (5)-1 的正整数次幂的值:-1,1,-1,1,-1,1,…; (6)15 以内的质数按照从大到小的顺序排列:13,11,7,5,3,2. 以上给出的各组数有什么共同的特点?

提示每一组数都是按照一定的次序排列起来的一列数.

2.填空: (1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列. (2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和 它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做 首项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数 称为这个数列的第 n 项. (3)表示:数列的一般形式可以写成:a1,a2,…,an,…,简记为{an}.an 表示 数列中的第 n 个数.

3.数列中的数可以重复出现吗?数列中的数互换位置后,例 如:1,2,3,4,5和2,1,5,4,3是同一个数列吗?
提示数列中的数可以重复出现,数列中的数互换位置后,与原数列 是不同的数列.

4.数列与集合的关系: (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列具有确定性、 有序性、可重复性; (2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数 列中的每一项必须是数; (3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列 a1,a2,a3,…,an,…,而 an 表示数列的第 n 项.

一二
二、数列的分类 【问题思考】 1.问题思考1的6个数列中,(1)(4)(6)的项数与(2)(3)(5)的项数有什么 不同特点?若考查每个数列中,每一项与它前一项的大小关系,分别 是什么情况?
提示数列(1)(4)(6)的项数有限,数列(2)(3)(5)的项数有无穷多;从第2 项起,有的数列的每一项总比前一项大,如(1)(2);从第2项起,有的数 列的每一项总比前一项小,如(3)(6);从第2项起,有的数列的每一项 总与前一项相等,如(4);从第2项起,有的数列的每一项有时比前一 项大,有时比前一项小,如(5).

2.填空: 数列的分类 (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按项的变化趋势分类
类别 含义 递增数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列

3.做一做: 下列叙述正确的是( )
A.数列 1,-1,2,-12,3,-13是递增数列
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定 C.数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} D.同一个数在数列中不可能重复出现 解析递增数列指的是从第2项起,每一项都大于它的前一项,A错误; 数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概 念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2 构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序 号唯一确定,B正确. 答案B

三、数列的通项公式
【问题思考】

1.观察数列12

,

1 4

,

1 8

,

1 16

,

312,…,判断2156是不是这个数列中的项?如果是

的话,是第几项?怎样表示这个数列的第 n 项呢?这个数列中的每一 项与其所对应的项的序号之间具有怎样的关系呢?

提示2156是这个数列中的项;是第 8 项;这个数列的第 n 项是

1 2


;这个

数列中的每一项的值恰好等于以12为底数,以项的序号为指数的幂的 值.

2.填空: 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

3.结合前面已知的数列,思考:所有数列都存在通项公式吗?数列通 项公式的形式一定是唯一的吗?数列的通项公式可以用分段函数 表示吗?数列的通项公式与函数的解析式有何关系?
提示不一定;不一定唯一;可以;数列的通项公式实际就是相应函数 的解析式.

4.关于数列通项公式的说明 (1)并非每一个数列都有通项公式; (2)数列通项公式的形式不是唯一的; (3)数列的通项公式可以用分段函数表示; (4)数列的通项公式实际就是相应函数的解析式.

5.做一做:

若数列{an}的通项公式是 an=n2-1,则该数列的第 10 项

a10=

,224 是该数列的第

项.

解析 a10=102-1=99.令 an=n2-1=224,解得 n=15,即 224 是该数列的第 15 项.
答案 99 15

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
(1)数列中的项互换次序后还是原来的数列.( ) (2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类.( ) (3){an}与an的意义一样,都表示数列.( ) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项.( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√

123

【例 1】 给出下列说法:
①数列中的项数一定是无限的;②数列 1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷

数列;③数列12

,

1 4

,

1 6

,

18,…是递减的无穷数列;④数列

0,1,4,9,16,…的通

项公式是 an=n2;⑤数列 1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也

可能有通项公式.其中正确说法的序号是

.

思路分析根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.

解析对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;

对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;

对于③,正确;

对于④,错误,该数列的通项公式是 an=(n-1)2;

对于⑤,错误,该数列可以有通项公式,例如 an=

+1 2

,为奇数,

5 2

,为偶数;

对于⑥,正确.

答案③⑥

变式训练 1 下列正确说法的序号是

.

①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;

②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;

③-2,-1,1,3,-2,4,3 是一个项数为 5 的数列;

④数列 1,2,3,4,…,2n 是无穷数列.

解析紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合条
件.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所 有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以 重复出现,故此数列共有 7 项,故③错误;数列 1,2,3,4,…,2n,共有 2n 项, 是有穷数列,故④错误.
答案②

123

【例 2】 导学号 04994021 写出下列数列的一个通项公式:

(1)12,2,92,8,225,…;

(2)1,-3,5,-7,9,…; (3)9,99,999,9 999,…;

(4)221-1

,

32-2 3

,

42-3 5

,

527-4,…;

(5)-1×12 , 2×13,-3×14 , 4×15,…;
(6)4,0,4,0,4,0,…. 思路分析观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的 关系.

解(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再

观察:12

,

4 2

,

9 2

,

16 2

,

225,…,所以,它的一个通项公式为

an=22.

(2)数列各项的绝对值分别为 1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公

式为 2n-1;考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公

式为 an=(-1)n+1(2n-1). (3)各项加 1 后,分别变为 10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为

10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n-1. (4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从 1 开始的奇数列,其通项

公式为 2n-1;分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方,其通项公

式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为 n,综

合得原数列的一个通项公式为 an=(+21-)12- = 22+-1+1.

(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数, 且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1)n·(1+1). (6)由于该数列中,奇数项全部都是 4,偶数项全部都是 0,因此可用分

段函数的形式表示通项公式,即 an=

4,为奇数,又因为数列可改写 0,为偶数.

为 2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为 an=2+2×(-1)n+1.

反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的 规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系. 具体思路为: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律 与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符 号. (4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利 用周期函数的知识解答.

2.常见数列的通项公式 (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是 an=(-1)n,数列 1,-1,1,-1,…的一 个通项公式是 an=(-1)n+1 或(-1)n-1. (2)数列 1,2,3,4,…的一个通项公式是 an=n. (3)数列 1,3,5,7,…的一个通项公式是 an=2n-1. (4)数列 2,4,6,8,…的一个通项公式是 an=2n. (5)数列 1,2,4,8,…的一个通项公式是 an=2n-1. (6)数列 1,4,9,16,…的一个通项公式是 an=n2.
(7)数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是 an=(2+1).

(8)数列

1,12

,

1 3

,

14,…的一个通项公式是

an=1.

变式训练 2 写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列 各数:

(1)1,13

,

1 5

,

17;(2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17;(4)23

,

4 15

,

6 35

,

683;(5)7,77,777,7

777.

解(1)an=21-1;(2)an=2n+21;(3)an=2n+1;(4)an=(22)2 -1;(5)an=79(10n-1).

123
【例 3】 已知数列 5,92,5,…的通项公式是 an=2++c. (1)求 a4,a5; (2)判断331是不是该数列中的项. 思路分析数列的前 3 项已知,由此代入通项公式,可得到关于 a,b,c 的 方程组,解方程组即得 a,b,c 的值,从而求出数列的通项公式,再求 a4,a5;令 an=331,解方程,可判断331是不是数列中的项.

+ + = 5,

解(1)因为 a1=5,a2=92,a3=5,所以

4+ 2

+



=

9 2

,

解得



= =

1, 3,

9+ 3

+



=

5,

= 1,

所以 an=2+ 3+1.

所以 a4=424+3+1=243,a5=525+3+1=353.

(2)令 an=2+ 3+1=331,解得 n=9 或 n=13(舍去),因此331是该数列中的项, 并且是该数列的第 9 项.

反思感悟 1.数列是特殊的函数,特殊性表现在它的定义域为正整数 集 N*(或它的有限子集).当自变量 n 从小到大依次取值时,对应的函 数值就构成数列,因此数列的通项公式就是相应函数的解析式,即
an=f(n). 2.判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若 解得的 n 是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的 项.

变式训练 3 已知数列的通项公式为 an=2+43. (1)写出数列的前 3 项; (2)110 和 1267是不是它的项?如果是,是第几项?

解(1)数列的前 3 项:a1=12+43×1=1,

a2=22+43×2

=

4 10

=

25,

a3=32+43×3

=

4 18

=

29.

(2)令2+43 = 110,则 n2+3n-40=0, 解得 n=5 或 n=-8, 注意到 n∈N*,故 n=-8 舍去.

所以 1 是数列的第
10

5

项.

令2+43 = 1267,则 4n2+12n-27=0,

解得 n=32或 n=-92, 注意到 n∈N*,所以1267不是此数列中的项.

对数列概念的理解不清致误
【典例】 写出由集合{x|x∈N*,且 x≤4}中的所有元素构成的数列 (要求首项为 1,且集合中的元素只出现一次). 错解集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}, 所以所求数列为 1,2,3,4. 提示错解中,由于对数列的概念理解不清,因此混淆了数列与集合的 区别导致错误. 正解集合可表示为{1,2,3,4}.由集合中的元素组成的数列要求首项 为 1,且集合中的元素只出现一次,故所求数列有 6 个,分别是
1,2,3,4;1,3,2,4;1,2,4,3;1,3,4,2;1,4,2,3;1,4,3,2. 防范措施 数列不同于集合,它具有有序性,相同的一组数按照不同 的次序排列后,得到的是不同的数列.

1.下列各项表示数列的是( ) A.a,b,c,…,x,y,z B.2 008,2 009,2 010,…,2 017 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,λa 解析数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是字母、图形、 向量等,只有B项符合. 答案B

2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是( ) A.1,2,3,…,20 B.-1,-2,-3,…,-n,… C.1,2,3,2,5,6,… D.-1,0,1,2,…,100,… 解析由递增数列和无穷数列的定义知D项正确. 答案D

3.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=

.

解析∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.

答案2

4.已知数列√3, √7, √11, √15,…,则 5√3是该数列的第 项.
解析观察可得数列的一个通项公式是 an= 4-1,而 5√3 = √75 = 4 × 19-1,所以 5√3是该数列的第 19 项.
答案 19

5.在数列{an}中,已知 an=2+3-1(n∈N*). (1)写出 a10,an+1; (2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?
解(1)a10=102+310-1 = 1309;an+1=(+1)2+3(+1)-1 = 2+33+1. (2)令 an=2+3-1=7923,解得 n=15(n=-16 舍去),所以 7923是该数列中的 项,并且是第 15 项.