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高中数学第三章直线与方程综合检测题必修2

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时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2015·吉林省高二期末) 已知点 A(1, 3),B(-1,3 3),则直线 AB 的倾斜角是( A.60° C.120° [答案] C 3 3- 3 [解析] 直线 AB 的斜率为 =- 3,则直线 AB 的倾斜角是 120°. -1-1 2.直线 l 过点 P(-1,2),倾斜角为 45°,则直线 l 的方程为( A.x-y+1=0 C.x-y-3=0 [答案] D [解析] 由题意 k=tan45°=1,∴直线 l 的方程为 y-2=1·(x+1),即 x-y+3= 0. 3.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则 a 的值为( A.-3 3 C. 2 [答案] B [解析] 由题意得 a·(-1)-2×3=0,∴a=-6. 4.直线 2- 2=1 在 y 轴上的截距为( A.|b| C.b
2

)

B.30° D.150°

)

B.x-y-1=0 D.x-y+3=0

)

B.-6 2 D. 3

x a

y b

) B.-b D.±b
2

[答案] B [解析] 令 x=0,则 y=-b . 5.已知点 A(3,2),B(-2,a),C(8,12)在同一条直线上,则 a 的值是( A.0 C.-8 [答案] C 12-2 a-2 [解析] 根据题意可知 kAC=kAB,即 = ,解得 a=-8. 8-3 -2-3 6. (2015·福州八中高一期末)如果 AB<0, BC<0, 那么直线 Ax+By+C=0 不经过( )
1
2

)

B.-4 D. 4

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A.第一象限 C.第三象限 [答案] D

B.第二象限 D.第四象限

[解析] Ax+By+C=0 可化为 y=- x- ,由 AB<0,BC<0,得- >0,- >0,故直线

A B

C B

A B

C B

Ax+By+C=0 经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
7.(2015·江苏淮安高一期末) 已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( A.-2 C.3 [答案] C 1+m [解析] 由已知条件可知线段 AB 的中点( , 0)在直线 x+2y-2=0 上, 把中点坐标 2 代入直线方程,解得 m=3. 8.(2015·兰州一中高一期末) 经过直线 l1: x-3y+4=0 和 l2: 2x+y=5=0 的交点, 并且经过原点的直线方程是( A.19x-9y=0 C.3x+19y=0 [答案] C 19 x=- ? ? 7 得? 3 ? ?y=7 B.9x+19y=0 D.19x-3y=0 ) ) B.-7 D. 1

?x-3y+4=0 ? [解析] 解? ? ?2x-y+5=0

19 3 ,即直线 l1,l2 的交点是(- , ),由 7 7

两点式可得所求直线的方程是 3x+19y=0. 9.已知直线(3k-1)x+(k+2)y-k=0,则当 k 变化时,所有直线都通过定点( A.(0,0) 2 1 C.( , ) 7 7 [答案] C 2 1 [解析] 直线方程变形为 k(3x+y-1)+(2y-x)=0,则直线通过定点( , ). 7 7 10. (2015·广东省高一期末)直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0
2

)

1 2 B. ( , ) 7 7 1 1 D. ( , ) 7 14

)

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[答案] D [解析] 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”: 在直线 x- 2y+1=0 上取一点 P(3,2),点 P 关于直线 x=1 的对称点 P′(-1,2)必在所求直线上,只 有选项 D 满足. 11.(2015·吉林模拟) 已知直线 l 的倾斜角为 135°,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( A.-4 C.0 [答案] B 2- - [解析] 因为 l 的斜率为 tan135°=-1,所以 l1 的斜率为 1,所以 kAB= 3-a 2 1,解得 a=0.又 l1∥l2,所以- =1,解得 b=-2,所以 a+b=-2,故选 B. = B.-2 D. 2 )

b

12.等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若点 A,C 的坐标分别为(0,4),(3,3),则点

B 的坐标可能是(

) B.(2,0)或(6,4) D.(0,2)

A.(2,0)或(4,6) C.(4,6) [答案] A

?kAc·kBC=-1 ? [解析] 设 B(x,y),根据题意可得? ?|BC|=|AC| ?



3-4 y-3 ? ?3-0·x-3=-1 即? ? ? x- 2+ y- 解得?
?x=2 ? ?y=0 ?


2





2





2

或?

?x=4 ? ?y=6 ?

,所以 B(2,0)或 B(4,6).

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.直线 l 与直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M(1,- 1),则直线 l 的斜率为_________. 2 [答案] - 3 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 -y-7=0, 得 x2=4, 即 B(4, -3), 又

y1+y2
2

=-1,又 y1=1,∴y2=-3,代入方程 x

x1+x2
2

-3-1 =1, ∴x1=-2, 即 A(-2,1), ∴kAB= 4- -

3

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2 =- . 3 14.点 A(3,-4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为_________. [答案] x+6y-16=0 1 [解析] 直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线,AB 的中点为(4,2),kAB=6,所以 kl=- , 6 1 所以直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+6y-16=0. 6 15.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点

M 到原点的距离的最小值为_________.
[答案] 3 2 [解析] 依题意,知 l1∥l2,故点 M 所在直线平行于 l1 和 l2,可设点 M 所在直线的方程 |m+7| |m+5| 为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得 = ? |m+7|=|m+5|? m= 2 2 |-6| -6,即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 = 2 3 2. 16.(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所 截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° 其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 ⑤75°,

d=

|3-1| = 2, 1+1

由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°,l1 的倾斜角为 45°, 所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°-30°=15°. [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的 思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、 思想深刻, 这一问题还是不难解决的. 所以在学习中知识是基础、 方法是骨架、 思想是灵魂, 只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线 l 经过点

P(-2,5)且斜率为- ,
(1)求直线 l 的方程;

3 4

4

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(2)若直线 m 平行于直线 l,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程. 3 [解析] (1)直线 l 的方程为:y-5=- (x+2)整理得 4 3x+4y-14=0. (2)设直线 m 的方程为 3x+4y+n=0,

d=



+4×5+n| =3, 2 3 +4
2

解得 n=1 或-29. ∴直线 m 的方程为 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0. 18. (本小题满分 12 分)求经过两直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点, 且垂直于 直线 x+3y+4=0 的直线方程. [解析] 解法一: 设所求直线方程为 3x-2y+1+λ (x+3y+4)=0, 即(3+λ )x+(3λ -2)y+(1+4λ )=0. 由所求直线垂直于直线 x+3y+4=0,得 1 3+λ - ·(- )=-1. 3 3λ -2 3 解得 λ = . 10 故所求直线方程是 3x-y+2=0. 解法二:设所求直线方程为 3x-y+m=0.
? ?3x-2y+1=0, 由? ?x+3y+4=0, ?

解得?

? ?x=-1, ?y=-1, ?

即两已知直线的交点为(-1,-1). 又 3x-y+m=0 过点(-1,-1), 故-3+1+m=0,m=2. 故所求直线方程为 3x-y+2=0. 19.(本小题满分 12 分)已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,求一点

P,使|PA|=|PB|,且点 P 到直线 l 的距离等于 2.
[分析] 解决此题可有两种思路, 一是代数法, 由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为 2”列方程求解;二是几何法,利用点 P 在 AB 的垂直平分线上及距离为 2 求解. [解析] 解法 1:设点 P(x,y).因为|PA|=|PB|, 所以

x-

2



y+

2



x-

2



y+

2

.



又点 P 到直线 l 的距离等于 2, |4x+3y-2| 所以 =2. 5 ②

5

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27 8 由①②联立方程组,解得 P(1,-4)或 P( ,- ). 7 7 解法 2:设点 P(x,y).因为|PA|=|PB|, 所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 由题意知 kAB=-1,线段 AB 的中点为(3,-2),所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y =x-5. 所以设点 P(x,x-5). |4x+ 因为点 P 到直线 l 的距离等于 2,所以 27 解得 x=1 或 x= . 7 27 8 所以 P(1,-4)或 P( ,- ). 7 7 [点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置, 所以只要将 题目中的几何条件用坐标表示出来, 即可转化为方程的问题. 其中解法 2 是利用了点 P 的几 何特征产生的结果,所以解题时注意多发现,多思考. 20.(本小题满分 12 分)(2015·甘肃兰州一中期末) △ABC 中,A(0,1),AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x+2y-4=0,AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2x+y-3=0. (1)求直线 AB 的方程; (2)求直线 BC 的方程; (3)求△BDE 的面积. [解析] (1)由已知得直线 AB 的斜率为 2, ∴AB 边所在的直线方程为 y-1=2(x-0), 即 2x-y+1=0.
?2x-y+1=0, ? (2)由? ?2x+y-3=0 ?

x-
5

-2| =2.

1 ? ?x= , 得? 2 ? ?y=2.

1 即直线 AB 与直线 BE 的交点为 B( ,2). 2 设 C(m,n),

m+2n-4=0, ? ? 则由已知条件得? m n+1 2· + -3=0, ? 2 ? 2
解得?
? ?m=2, ?n=1, ?

∴C(2,1).
6

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y-1 x-2 ∴BC 边所在直线的方程为 = ,即 2x+3y-7=0. 2-1 1 -2 2
(3)∵E 是线段 AC 的中点,∴E(1,1). ∴|BE|= 1 - 2
2





2



5 , 2

? ?2x-y+1=0, 由? ?x+2y-4=0 ?

2 ? ?x=5, 得? 9 ?y=5, ?

2 9 ∴D( , ), 5 5 2 9 |2× + -3| 5 5 2 ∴D 到 BE 的距离为 d= = , 2 2 2 +1 5 5 1 1 ∴S△BDE= ·d·|BE|= . 2 10 4 21.(本小题满分 12 分)直线过点 P( ,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点, 3

O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB 的周长为 12; (2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由. [解析] 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), 若满足条件(1),则 a+b+ a +b =12,① 4 4 2 又∵直线过点 P( ,2),∵ + =1.② 3 3a b 由①②可得 5a -32a+48=0, 12 ? ?a= 5 , 或? 9 ?b=2, ?
2 2 2

x y a b

? ?a=4, 解得? ?b=3, ?

x y 5x 2y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 12 9
即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则 ab=12,③

7

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4 2 由题意得, + =1,④ 3a b 由③④整理得 a -6a+8=0, 解得?
? ?a=4, ?b=3 ?
2

或?

? ?a=2, ?b=6, ?

∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 2 6 即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0. 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为 3x+4y-12=0. 22.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB,

x y

x y

AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合,如图,将矩形折叠,使 A 点落在
线段 DC 上.

(1)若折痕所在直线的斜率为 k,试求折痕所在直线的方程; (2)当-2+ 3≤k≤0 时,求折痕长的最大值. 1 [解析] (1)①当 k=0 时,A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y= . 2 ②当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G(a,1), ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kOG·k=-1? ·k=-1? a=-k.

a

故 G 点坐标为(-k,1),

k 1 从而折痕所在直线与 OG 的交点坐标(即线段 OG 的中点)为 M(- , ). 2 2
1 k k 1 故折痕所在的直线方程为 y- =k(x+ ),即 y=kx+ + . 2 2 2 2
2

k 1 由①②得折痕所在的直线方程为 y=kx+ + . 2 2
(2)当 k=0 时,折痕的长为 2.

2

k 1 当-2+ 3≤k<0 时,折痕所在直线交直线 BC 于点 E(2,2k+ + ), 2 2
交 y 轴于点 N(0,

2

k2+1
2

).

8

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则|NE| =2 +[

2

2

k2+1

k 1 2 2 -(2k+ + )] =4+4k ≤4+4(7-4 3)=32-16 3. 2 2 2

2

此时,折痕长度的最大值为 32-16 3=2( 6- 2). 而 2( 6- 2)>2, 故折痕长度的最大值为 2( 6- 2).

9


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