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高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式人教版必修4


第 三 章 三 角 函 数 、 解 三 角 形

第五 节 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正
切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它 们的内在联系.

怎 么 考

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数
式的化简、求值是高考常考的点. 2.公式逆用、变形应用是高考热点. 3.题型以选择题、解答题为主.

一、两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)= sinαcosβ±cosαsinβ ;

cos(α±β)= cosαcosβ?sinαsinβ ; tan(α±β)=

tanα± tanβ. 1?tanαtanβ

其公式变形为: tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ) ;

tanα-tanβ=
tanαtanβ=

tan(α-β)(1+tanαtanβ) ; tanα+tanβ . 1- tan?α+β?

二、二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα ; cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α ; cos2α=

2tanα tan2α= . 1-tan2α

其公式变形为:
1-cos2α sin2α= ; 2

cos2α= 1+cos2α . 2

sin 2α 1.(2011· 福建高考)若tan α=3,则 cos2α 的值等于 A.2 C.4 B.3 D.6

(

)

sin 2α 2sin αcos α 解析: cos2α = cos2α =2tan α=2×3=6.

答案: D

2.(教材习题改编)sin 34° 26° sin -cos 34° 26° cos 的值是 1 A.2 1 C.-2 3 B. 2 3 D.- 2

(

)

解析:原式=-(cos 34° 26° cos -sin 34° 26° sin )=-cos 60° 1 =-2.

答案: C

? π? 4 ?α+ ?= 3.若cos α=-5,α是第三象限角,则sin 4? ?

(

)

7 2 A.- 10 2 C.- 10

7 2 B. 10 2 D. 10

3 解析:由已知条件sin α=- 1-cos2α=-5, sin
? π? ?α+ ?= 4? ?

2 2 7 2 2 sin α+ 2 cos α=- 10 .

答案: A

?π ? 3 4.(教材习题改编)已知sin α=5且α∈?2,π?,则sin 2α-cos 2α ? ?

等于________. ?π ? 3 4 ? ,π?,∴cos α=- . 解析:∵sin α=5且α∈ 2 5 ? ?
∴sin 2α-cos 2α=2sin αcos α-(2cos2α-1)
? 16 3 ? 4? ? ?- ?-?2× -1? =2×5× 5 25 ? ? ? ?

24 7 31 =-25-25=-25.

31 答案:-25

5.若tan

? π? 2 ?α+ ?= ,则tan 4? 5 ?

α=________.

解析:tan

? π? tan α+1 2 ?α+ ?= 4? 1-tan α=5, ?

∴5tan α+5=2-2tan α. 3 ∴7tan α=-3,∴tan α=-7. 3 答案:-7

1.两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同” “符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号; 前面是两角差,则后面中间为“-”号.

(2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所 得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同 等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常 有体现.

2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、 变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数

等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角
度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异,再选择适当的三角公式恒等变形.

[精析考题] [例1] (2011· 广东高考)已知函数f(x)=2sin
?1 π? ? x- ?,x∈R. 6? ?3

?5π? (1)求f? 4 ?的值; ? ? ? π? ? π? 10 6 ?0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , (2)设α,β∈ 2? ? 2? 13 5 ?

求cos(α+β)的值.

[自主解答]

(1)∵f(x)=2sin

?1 π? ? x- ?, 6? ?3

?5π? ?5π π? π ∴f? 4 ?=2sin ?12-6?=2sin4= ? ? ? ?

2.

? π? ? π? 10 6 ?0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , (2)∵α,β∈ 2? ? 2? 13 5 ? ? π? 6 10 ∴2sin α=13,2sin ?β+2?=5, ? ?

5 3 即sin α=13,cos β=5, 12 4 ∴cos α=13,sin β=5, 12 3 5 4 16 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=13×5-13×5=65.

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
?π ? 5 ? ,π?,则tan 2α的值 1.(2012· 衡阳模拟)已知sin α=13,α∈ 2 ? ?

为________.
?π ? 5 ? ,π?, 解析:由sin α=13,α∈ 2 ? ?

12 5 可得cos α=-13,tan α=-12.
? 5? ?- ? 2× 12 2tan α 120 ? ? 2α= = ? 5 ?2=- 119. 1-tan2α 1-?-12? ? ?

∴tan

120 答案:- 119

2.(2012· 大连模拟)在△ABC中,∠C=120° ,tan A+tan B= 2 3 3 ,则tan Atan B的值为________.

解析:由题意,得tan(A+B)=-tan C=-tan 120° 3. = tan A+tan B 又tan(A+B)= , 1-tan Atan B 2 3 3 且tan(A+B)= = 3, 1-tan Atan B 1 解得tan Atan B=3.

1 答案:3

[冲关锦囊] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推 广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用 两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间 的关系,完成统一角和角与角转换的目的.

[精析考题] [例 2] (2012· 杭州质检)已知 tan
?π ? ? +α?=2,tan ?4 ?

1 β=2.

(1)求 tan 2α 的值; sin?α+β?-2sin αcos β (2)求 的值. 2sin αsin β+cos?α+β?

[自主解答]

(1)∵tan

?π ? ? +α?=2, ?4 ?

π tan4+tan α 1+tan α ∴ =2,∴ =2. π 1-tan α 1-tan4tan α 1 2tan α ∴tan α=3,∴tan 2α= = 1-tan2α 3 1=4. 1-9 2 3

sin?α+β?-2sin αcos β (2) 2sin αsin β+cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β = 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β = cos αsin β-sin αcos β sin?β-α? = cos αcos β+sin αsin β cos?β-α?

1 1 tan β-tan α 2-3 1 =tan(β-α)= = =7. 1 1 1+tan βtan α 1+2×3

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 赣州模拟)已知sin 的值为 4 A.5 3 C. 2 3 B.5 3 D. 5
? π? ?α+ ?+cos 6? ? ? π? 4 α=5 3,则sin ?α+3? ? ?

(

)

3 3 4 解析:由条件得 2 sin α+2cos α=5 3, 1 3 4 即2sin α+ 2 cos α=5. ∴sin
? π? 4 ?α+ ?= . 3? 5 ?

答案: A

3 4.(2012· 惠州模拟)已知函数f(x)= 3sin x+sin xcos x- 2 (x∈R).
2

? π? (1)若x∈?0,2?,求f(x)的最大值; ? ?

1 (2)在△ABC中,若A<B,f(A)=f(B)=2,求A、B、C的值.

3?1-cos 2x? 1 3 解:(1)f(x)= +2sin 2x- 2 2
? π? 1 3 =2sin 2x- 2 cos 2x=sin ?2x-3?. ? ?

π π π 2π ∵0<x<2,∴-3<2x-3< 3 . π π 5π ∴当2x-3=2时,即x=12时,f(x)的最大值为1.

π (2)∵f(x)=sin(2x-3), 若x是三角形的内角,则0<x<π, π π 5π ∴-3<2x-3< 3 .
? π? 1 1 ?2x- ?= , 令f(x)=2,得sin 3? 2 ?

π π π 5π π 7π ∴2x-3=6或2x-3= 6 ,解得x=4或x=12. 1 由已知,A,B是△ABC的内角,A<B且f(A)=f(B)=2, π 7π π ∴A=4,B=12.∴C=π-A-B=6.

[冲关锦囊]
(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准 确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β =tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多

种变形等.
(2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见 的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆 用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向 思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用

后,才能真正掌握公式的应用.

[精析考题] [例3]
?π ? π π (2011· 浙江高考)若0<α<2,-2<β<0,cos ?4+α? ? ?

?π β? ? β? 1 3 ? - ?= ?α+ ?= =3,cos 4 2 2? 3 ,则cos ? ? ?

(

)

3 A. 3 5 3 C. 9

3 B.- 3 6 D.- 9

[自主解答] ∵cos

π π π 3 ∵0<α<2,∴4<α+4<4π.

?π ? 1 ?π ? 2 2 ? +α?= ,∴sin ? +α?= 3 . ?4 ? 3 ?4 ?

π π π β π ∵-2<β<0,∴4<4-2<2. ∵cos
?π β? ? - ?= ? 4 2? ?π β? 3 6 ,∴sin ?4-2?= 3 . 3 ? ?

∴cos =cos

? ??π ? ? π β? ? β? ?α+ ?=cos ?? +α?-? - ?? 2? ? ?? 4 ? ? 4 2 ?? ?π ? ?π β? ?π ? ?π β? ? +α?cos ? - ?+sin ? +α?sin ? - ? ?4 ? ? 4 2? ?4 ? ? 4 2?

1 3 2 2 6 5 3 = 3× 3 + 3 × 3 = 9 .

[答案] C

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
sin α+cos α 5.(2012· 温州模拟)若 =3,tan(α-β)=2, sin α-cos α 则tan(β-2α)=________.

sin α+cos α tan α+1 解析:由条件知 = =3,∴tan α=2. sin α-cos α tan α-1 ∴tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] tan?β-α?-tan α -2-2 4 = = =3. 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2
4 答案:3

6.(2011· 皖南八校联考)已知角α,β的顶点在坐标原点,始边与x轴的 正半轴重合,α,β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是 5 3 -13,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是5,则cos α=______.

12 5 解析:由题意及三角函数定义知sin β=13,cos β=-13, 3 4 sin(α+β)=5,cos(α+β)=-5. ∴cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 4 5 3 12 =-5×(-13)+5×13 56 =65.
56 答案:65

[冲关锦囊] 1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已 知角”的和或差的形式;

2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已
知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角 ”变成“已知角”.

3.常见的配角技巧: α α=2·;α=(α+β)-β; 2 1 α=β-(β-α);α= [(α+β)+(α-β)]; 2
? 1 π π ?π β= [(α+β)-(α-β)]; +α= -?4-α?. 2 4 2 ? ? ? π ?π 注意:特殊的角也看成已知角,如 α= -?4-α?. 4 ? ?

易错矫正

因扩大角的范围而致误

[考题范例] 1 (2012· 临沂模拟)若α、β是锐角,且sin α-sin β=-2,cos α-cos 1 β=2,则tan(α-β)=________.

[失误展板] 1 1 错解:∵sin α-sin β=-2,cos α-cos β=2,两边平方相加得: 1 2-2cos αcos β-2sin αsin β=2, 1 3 即2-2cos(α-β)=2,∴cos(α-β)=4. π π ∵α、β是锐角,∴-2<α-β<2. sin?α-β? 7 7 ∴sin(α-β)=± 4 .故tan(α-β)= =± 3 . cos?α-β?

错因:本题错误在于α-β的范围分析得不对,由于α、β是锐角, π π 1 所以-2<α-β<2,但还应注意sin α-sin β=-2<0, ∴sin α<sin β,α<β. π 从而-2<α-β<0,故由cos(α-β)的值只能得到sin(α-β)<0的值.

[正确解答] 1 1 ∵sin α-sin β=-2,cos α-cos β=2,两式平方相加得:2-2cos 1 αcos β-2sin αsin β=2. 1 即2-2cos(α-β)=2. 3 ∴cos(α-β)=4.

1 π ∵α、β是锐角,且sin α-sin β=-2<0,∴0<α<β<2. π ∴-2<α-β<0. ∴sin(α-β)=- 1-cos2?α-β? 7 =- 4 , ∴tan(α-β)= sin?α-β? 7 =- 3 . cos?α-β?

7 答案:- 3

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