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2.1离散型随机变量及其分布列(二)_图文

2.1.2离散型随机变量的分布列

复习回顾: 1、随机变量的定义 2、随机变量的分类

随机变量
离散型 连续型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量. 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.

二、离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 ? 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 , ???, xi , ???, xn ? 的每一个取值 x i (i ? 1, 2, ???, n) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi,则称表格

?

x1
p1

x2
p2

· · ·
· · ·

xi
pi

· · ·
· · ·

P

为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列.

注: 1)、分布列的构成
⑴列出了随机变量 ? 的所有取值. ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率. 2)、分布列的性质 ⑴ pi ? 0, i ? 1,2,? ? ? ⑵ p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1

有时为了表达简单,也用等式 P(? ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,3,..., n
表示

?

的分布列

2、分布列的表示法
1)列表法: 2)用等式表示: P(? ? xi ) ? pi (i ? 1,2,3?? n)

3)用图象法表示:
P 1 函数用解析式、 表格法、图象法

0 x1 x2 x3 x4

xn X
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表2 ? 2

一般地, 若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1, x 2 ,? ? ?, x i ,? ? ?, x n , X取每一个值x i (i ? 1 ,2,? ? ?,n)的概 率P?X ? x i ? ? Pi ,以表格的形式表示如下:
X P

x1

x2

??? ???

xi

??? ???

xn

p1

p2

pi

pn

表2 ? 2称为离散型随机变量X的概率分布列(pro? bability distriution),简称为X的 分布列 (distributio nseries).有时为了表达简单 ,也用等式P?X ? x i ? ? pi , i ? 1 ,2,? ? ?,n 表示X的分布列. 离散型随机变量的分布 列完全描述了由这个随 机 变量所刻画的随机现象 .

在抛掷一枚质地均匀的 骰子的随机试验中 , 我们 不能预知试验结果 , 从而也就不能预知随机 变量 的取值.但是, 我们可以通过各点数出 现的概率来 研究随机变量的变化规 律. 用X表示骰子向上一面的点数.虽然在抛掷之前,不 能确定X取什么值, 但由古典概型的知识,它取各个 1 不同值的概率都等于 .表2 ? 1列出了随机变量X可 6 能的取值,以及X取这些值的概率.
表2 ? 1

X P

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

例1 在掷一枚图钉的随机试 验中 ,令 1, 针尖向上 ; X? 0 , 针尖向下 . 如果针尖向上的概率为 p, 试写出随机
变量X的分布列 .
解 率是?1 ? p ?.于是,随机变量X的分布列是 根据分布列的性质, 针尖向下的概

X P

0 1? p

1 p

像上面这样的分布列称 为两点分布列 . 两点分布列的应用非常 广泛 .如抽取彩 券是否中奖 ;买回的一件产品是否正 品;

新生儿的性别 ; 投篮是否命中等等 , 都可 以用两点分布列来研究 . 如果随机变量X的分布列为两点分布列 ,
? ? 就称X服从 两点分布 ( tw o po int distribu . tion),而称p ? P?X ? 1?为成功概率 ..

两点分布又称 0 ? 1分布.由于只有两个可能结 果的随机试验叫伯努利 (Bernoulli )试验, 所以 还称这种分布为伯努利 分布.

例 2 在含有5件次品的100件产品中任取 取3件, 试求 :

?1? 取到的次品数X 的分布列; ? 2 ? 至少取到1件次品的概率. 解 ?1?由于从100件产品中任取3件的结果
3 数为C100 , 从100件产品中任取3件, 其中恰有 3 ?k k件次品的结果数为Ck C 5 95 , 那么从100件产 品中任取3件, 其中恰有k件次品的概率为 3 ?k Ck C 5 95 ? ? P X?k ? ,k ? 0,1 ,2,3. 3 C100 所以随机变量X的分布列是

X
P

0
3 C0 5 C 95 3 C100

1
2 C1 5 C 95 3 C100

2
2 1 C5 C95 3 C100

3
0 C3 5 C 95 3 C100

?2?根据随机变量X的分布列,可得只少取到1
件次品的概率
P?X ? 1? ? P?X ? 1? ? P?X ? 2? ? P?X ? 3 ? ? 0.138 06 ? 0.005 88 ? 0.000 06 ? 0.144 00.

一般地, 在含有M件次品的N件产品中 , 任取n件, 其中恰有X件次品数, 则事件?X ? k?发生的概率
k n ?k CM CN ?M 为 P? X ? k ? ? , k ? 0,1 , 2,? ? ?, m , 其中 m ? n CN min?M, n?, 且n ? N,M ? N, n,M,N ? N? .称分布列

X
P

0
0 n ?0 CM CN?M n CN

1

???
n ?1 N?M n N

3
m n ?m CM CN?M n CN

C C C

1 M

???

为 超几何分布列 .如果随机变量 X的分布列为 超几何分布列, 则称随机变量 X服从超几何分 布 (hypergeome tric distributi on).

例3 在某年级的联欢会上设 计了一个摸奖 游戏, 在一个口袋中装有 10个红球和 20 个白 球, 这些球除颜色外完全相 同 .一次从中摸出 5 个球, 至少摸到 3个红球就中奖 .求中奖的概率 . 解 设摸出红球的个数为X, 则X服从超几何分 布, 其中N ? 30,M ? 10, n ? 5.于是中奖的概率 P?X ? 3 ? ? P?X ? 3 ? ? P?X ? 4 ? ? P?X ? 5 ?
C C C C C C ? ? ? ? 0.191. C C C 思考 如果要将这个游戏的中 奖控制在55%左右, 那么应该如何设计中奖 规则?
3 10 5 ?3 30 ?10 5 30 4 10 5?4 30 ?10 5 30 5 10 5 ?5 30 ?10 5 30


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