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抽象函数定义域的求法


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抽象函数定义域的 抽象函数定义域的求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难 度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感棘手.下面结合实例具体介绍一下抽象函 数定义域问题的几种题型及求法.

一,已知 f ( x) 的定义域,求 f [ g ( x)] 的定义域 的定义域,
其解法是:若 f ( x ) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ,则在 f [ g ( x) ] 中, a ≤ g ( x) ≤ b ,从中 解得 x 的取值范围即为 f [ g ( x) ] 的定义域. 例1 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ 1 5] ,求 f (3 x 5) 的定义域. ,

分析: 分析:该函数是由 u = 3 x 5 和 f (u ) 构成的复合函数,其中 x 是自变量, u 是中 间 变 量 , 由 于 f ( x) 与 f (u ) 是 同 一 个 函 数 , 因 此 这 里 是 已 知 1 ≤ u ≤ 5 , 即

1 ≤ 3 x 5 ≤ 5 ,求 x 的取值范围.

4 10 , 解:∵ f ( x) 的定义域为 [ 1 5] ,∴1 ≤ 3 x 5 ≤ 5 ,∴ ≤ x ≤ . 3 3

4 10 故函数 f (3 x 5) 的定义域为 , . 3 3

的定义域, 二,已知 f [ g ( x)] 的定义域,求 f ( x) 的定义域
其解法是:若 f [ g ( x) ] 的定义域为 m ≤ x ≤ n ,则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x ) 的范 围即为 f ( x ) 的定义域.
2 3 例 2 已知函数 f ( x 2 x + 2) 的定义域为 [ 0,] ,求函数 f ( x) 的定义域.

分析: 分析:令 u = x 2 2 x + 2 ,则 f ( x 2 2 x + 2) = f (u ) , 由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域. 解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1 ≤ x 2 2 x + 2 ≤ 5 . 令 u = x 2 2 x + 2 ,则 f ( x 2 2 x + 2) = f (u ) , 1 ≤ u ≤ 5 . 故 f ( x) 的定义域为 [1 5] . ,

三,运算型的抽象函数

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求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各 个函数的定义域,然后再求交集.

, 例3 若 f ( x ) 的定义域为 [ 3 5] ,求 ( x ) = f ( x) + f (2 x + 5) 的定义域.
3 ≤ x ≤ 5, 由 5 则 解得 4 ≤ x ≤ 0 . 解: f ( x) 的定义域为 [ 3,] , ( x) 必有 3 ≤ 2 x + 5 ≤ 5,
所以函数 ( x) 的定义域为 [ 4,] . 0

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