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惠州市2011届高三模拟考试数学(文科)试题

惠州市 2011 届高三模拟考试
数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 参考公式:

1 Sh ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高) 3 圆台侧面积公式: S圆台侧 ? ? ? r (r 1, r 2 是圆台的上、下底面半径, l 是圆台母线长) 1 ?r 2 ?l
锥体的体积公式: V ? 标准差公式: s ?
1 n ? ( xi ? x )2 n i ?1

( x 是平均数)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5? ,则 N A. ?1,3? 2.设 a , b 为实数,若复数 A. a ? B. ?1,5? C.

?? M ? ? (
U



?3,5?

D.

?4,5?

3 1 ,b ? ? 2 2

a ? bi 1 ? ,则( ) 1 ? 2i 1 ? i 3 1 1 3 B. a ? , b ? C. a ? , b ? ? 2 2 2 2

D. a ? 1, b ? ?3 )

3.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是( A.

17 10

B.

17 5

C.8

D.2 )

4.若向量 a ? ( x,6)( x ? R) ,则“ | a |? 10 ”是“ x ? 8 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.一组数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的标准差为 s ,则数据 2a1 , 2a2 , 2a3 ,..., 2an 的标准差为( A. 4 s
数学试题(文科)



B. s

C. 2s
第 1 页 共 4 页

D. 2 s

6.如果执行右面的程序框图,输入 n ? 6, m ? 4 , 那么输出的 p 等于( A.720 B. 360 ) C. 240 D. 120

开始 输入n,m

7.已知 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

),( ? ? 0) 的图像与 y ? 1 的图像

k=1,p=1 p=p(n-m+k) k<m 否
输出p 结束

的两相邻交点间的距离为 ? ,要得到 y ? f ( x) 的图像, 只须把 y ? sin ? x 的图像( )

k=k+1 是

11 A. 向右平移 ? 个单位 12 11 C. 向左平移 ? 个单位 12

5 B. 向右平移 ? 个单位 12 5 D. 向左平移 ? 个单位 12

(第6题图)

8. 已知点 M ?1, ?a ? 和 N ? a,1? 在直线 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧, 则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? 1 B. a ? ?1 C. 0 ? a ? 1 D. ?1 ? a ? 1



9.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个 无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的 小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成 (如图) ,当容器的容积最大时,该容器的高 为( A. 8cm ) B. 9cm C. 10cm D. 12cm (第 9 题图)

10.在 R 上定义运算: x ? y ? x ?1 ? y ? , 若 ?x ? R 使得 ? x ? a ? ? ? x ? a ? ? 1成立,则实数 a 的取 值范围是( A. ? ??, ? ) B. ? ?

? ?

1? ?3 ? ? ? , ?? ? 2? ?2 ?

? 1 3? , ? ? 2 2? 3? ?1 ? ? ? , ?? ? 2? ?2 ?

C. ? ?

? 3 1? , ? ? 2 2?

D. ? ??, ?

? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
x 11.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ? 2 x ? c ( c 为常数) ,

则 f (?1) ?
数学试题(文科)


第 2 页 共 4 页

12.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图 都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形, 则该几何体的侧面积是 。

13.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a3n , 则数列 ?bn ? 的前 9 项和等于 。 (第 12 题图)

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与圆 ? ? 2 相交 于 A, B 两点,若 AB ? 2 ,则直线 l 的极坐标方程为 15.(几何证明选讲选做题) AB 为 O 的直径, AC 切 O 于点 A , 且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长线于 D ,
D


O B N M

A

C

CM ? MN ? ND .则 AD 的长等于
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos(

cm .

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

?
2

? x) ? 2 cos 2

x ? 1( x ? R ) 2

(1)当 x 取什么值时,函数 f ?x ? 取得最大值,并求其最大值; (2)若 ? ? ( , ) ,且 f (? ) ? ,求 sin ? 的值。

? ?

4 2

1 5

17.(本小题满分 12 分) 惠州市某校高三年级有男生 720 人, 女生 480 人, 教师 80 人, 用分层抽样的方法从中抽取 16 人,进行问卷调查.设其中某项问题的选择支为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种 选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息. 同意 男生 女生 教师 (1)请完成此统计表; (2)试估计高三年级学生“同意”的人数; (3) 从被调查的女生中选取 2 人进行访谈, 求选到的两名女生中, 恰有一人 “同意” 一人 “不 同意”的概率.
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不同意

合计

5

4 1

18.(本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC 和 ?PBC 都是边长为 2 的 等边三角形, AB ? 2 , O, D 分别是 AB, PB 的中点. (1)求证: OD / / 平面 PAC ; (2)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (3)求三棱锥 A ? PBC 的体积.
A O (第18题图) B C D P

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 长为 2. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知直线 l 与椭圆相交于 P, Q 两点,O 为原点,且 OP ? OQ ,试探究点 O 到直线 l 的 距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ,直线 l 的方程为 y ? kx ? b . (1)求过函数图像上的任一点 P(t , f (t )) 的切线方程; (2)若直线 l 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求证: f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立; (3)若 f ( x) …kx ? b 对任意 x ? [0, ??) 成立,求实数 k 、 b 应满足的条件. 21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 ,过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦 2

3 3an 2, . , an ?1 ? , n ? 1, 5 2an ? 1

(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥ (3)证明: a1 ? a2 ?

1 1 ?2 ? 2, ; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

n2 ? an ? . n ?1

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