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2013韶关二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试 数学试题(文科)
本卷分选择题非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; 2. 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分; 3.考试结束,考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合 M ? ?1, 2 , 3 ? , N ? ?2 , 3 , 4? ,全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,则图中阴影部分表示的集合为( )

A . ?1?

B. ?2 , 3?

C. ?4?

D. ?5?

2. 若 a, b ? R , i 为虚数单位,且 ( a ? i )i ? b ?

B .1 C .2 1 3. 函数 f ( x) ? ln x ? 的零点的个数是( ) x ?1 A. 0 B .1 C. 2

A .0

5 ,则 a ? b ? ( ) 2?i D . ?2

D. 3 4. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )

A . 32?
5. 函数 y ? sin 2 ( x ?

B . 16?

C . 12?

D . 8?

) ? cos2 ( x ? ) 是( ) 4 4 A . 周期为 ? 的奇函数 B .周期为 ? 的偶函数 D .周期为 2? 的偶函数 C .周期为 2? 的奇函数 ??? ? ??? ? 6.已知点 A ? 2,3? 、 B ? 3,0 ? ,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标是( )
8 8 5 B . ( ,1) D . (? , ?1) C . (? , ?1) 3 3 3 7.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? ( ) 7 15 31 63 A B D C 8 16 32 64 8. 4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于 20 元,而 6 件 A 商品 与 3 件 B 商品的价格之和不小于 24 元,则买 3 件 A 商品与 9 件 B 商

?

?

A.

5 ( ,1) 3

品至少需要( ) B . 22 元 D . 72 元 A. 15 元 C . 36 元 9. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”;
a b a b

③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”;

1

④“ x ? 0 ”是“ x ?

1 ? 2 ”的充分必要条件 x
C .2
D .1
,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则实数 a 的取值范围是( )

其中正确的命题个数是( ) B .3 A. 4 10.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2a, x ? 1 ? ? x, x ? 1

A. (0, ??)

B . (??, 0)

C . [?2, ?1]

D . [?2, ?1] ? (0, ??)

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 11. 函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? x 的定义域是______________

12.以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程为_____ 16 9

______.

13.以下四个命题 ① 在一次试卷分析中,从每个试室中抽取第 5 号考生的成绩进行统计,是简单随机抽样; ② 样本数据: 3 , 4 , 5 , 6 , 7 的方差为 2 ; ③ 对于相关系数 r , r 越接近 1 ,则线性相关程度越强; ④ 通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得 到如下列联表: 男 走天桥 走斑马线 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

由K ?
2

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) n(ad ? bc)2 2 ? 7.8 ,则有 99 %以上的把握认 可得, k ? 60 ? 50 ? 60 ? 50 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

为“选择过马路方式与性别有关”. 其中正确的命题序号是________________. 附表 0.05 0.010 6.635 0.001 10.828

k

3.841

(注意:14、15 题是选做题,只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 A(2, ?

?
2

) 引圆 ? ? 4sin ? 的

一条切线,则切线长为____________________. 15.(几何证明选讲选做题)如图所示,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于____________. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 13 分)我市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄(单位:岁)分组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35,40? , 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
2

(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多 少名志愿者? (2)请根据频率分布直方图,估计这 100 名志愿者样本的平均数; (3)在(1)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志 愿者被抽中的概率.(参考数据: 22.5 ? 0.01 ? 27.5 ? 0.07 ? 32.5 ? 0.06 ? 37.5 ? 0.04 ? 42.5 ? 0.02 ? 6.45 ) 17. (本题满分 12 分) ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的三条边长分别是 a , b , c ,且满足 c sin A ?

3a cos C ? 0 .
(1)求角 C 的大小; (2)若 cos A ?

2 7 , c ? 14 ,求 sin B 和 b 的值. 7
1 AB ? 2 , 点 E 为 AC 2

18.(本题满分 13 分如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AD ? CD ?

中点,将 ?ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: DA ? BC ; (2) 在 CD 上找一点 F ,使 AD / / 平面 EFB ; (3) 求点 A 到平面 BCD 的距离.

19.(本题满分 14 分)已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 , Sn 为其前 n 项和,若 5S1 , S3 , 3S 2 成 等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an , cn ?

1 ? ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 若对 ?n ? N , Tn ? k (n ? 4) 恒成立,求实数 bnbn ?1

k 的取值范围.
20.(本题满分 14 分)已知椭圆 (1)求抛物线 C 的标准方程;

x2 y2 ? 2 ? 1? a ? 1? 的左右焦点为 F1 , F2 ,抛物线 C : y 2 ? 2 px 以 F2 为焦点. 2 a a ?1

3

(2)设 A 、 B 是抛物线 C 上两动点,过点 M (1, 2) 的直线 MA , MB 与 y 轴交于点 P 、Q . ?MPQ 是以 MP 、

MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.

21.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? b) x2 ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R . (1)若 f ? ? ? ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0 ? x ? 1 时,| f ?( x) |≤ M .

?1? ?3?

2013 届高三模拟考试数学试题(文科)参考答案
一、选择题: C D A C C 二、填空题:11. [0, 2)

C B AC D
12. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 13. ②③④ 14. 2 3 15. 5.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解:(1) 第 3 组的人数为 0.3× 100=30, 第 4 组的人数为 0.2× 100=20, 第 5 组的人数为 0.1× 100=10.……2 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别 为:第 3 组:
30 20 10 × 6=3; 第 4 组: × 6=2; 第 5 组: × 6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ………………………………4 分 (2) 根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为: 22.5 ? (0.01? 5) ? 27.5 ? (0.07 ? 5) ? 32.5 ? (0.06 ? 5) ? 37.5 ? (0.04 ? 5) ? 42.5 ? (0.02 ? 5) ? 6.45 ? 5 ? 32.25 (岁) 所以,样本平均数为 31.25 岁. ……………………………………………………8 分 (3) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿 者中抽取 2 名志愿者有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. …………10 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种……………………11 分 9 3 根据古典概型概率计算公式,得 P( A) ? ? ………………………………………12 分 15 5 3 答:第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 ……………………………………13 分 5 17.解:(1) 由 c sin A ?

3a cos C ? 0 得 sin C sin A ? 3sin A cos C ? 0 -----------2 分

? A 为 ?ABC 的内角,? sin A ? 0 …………3 分,? sin C ? 3 cos C ? 0 …………4 分
即 tan C ? 3 ……………5 分,所以, C ? (2)由 cos A ?

? . …………6 分 3

21 2 7 得 sin A ? ……7 分, 7 7 21 1 2 7 3 3 21 ? ? ? ? …………9 分 7 2 7 2 14

? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

4

在 ?ABC 中,由正弦定理

b c c sin B ? ? ………10 分,得 b ? sin B sin C sin C

14 ?

3 21 14 ? 3 2. ………12 分 3 2

2 2 2 18. 解:(1)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,? AC ? BC …………2 分

∵平面 ADC ? 平面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,? BC ? 平面 ADC 又 AD ? 面 ADC ? BC ? DA ………………………………………………………………………………4 分 (2) 取 CD 的中点 F ,连结 EF , BF ,在 ?ACD 中,? E , F 分别为 AC , DC 的中点 ? EF 为 ?ACD 的中位线,? AD / / EF , EF ? 平面 EFB , AD ? 平面 EFB D ? AD / / 平面 EFB …………8 分 F (3) 设点 A 到平面 BCD 的距离为 h ,? BC ? 平面 ADC ,又 CD ? 面 ADC

1 1 BC ? CD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 2 2 三棱锥 B ? ACD 的高 BC ? 2 2 , S?ACD ? 2 …………………11 分 1 1 ? VA? BCD ? VB? ACD ,? ? 2 2h ? ? 2 ? 2 2 ,? h ? 2 …………13 分 3 3
? BC ? DC ,? S ?BCD ?

C E A B

19.解:(1)? 5S1 , S3 , 3S 2 成等差数列,? 2S3 ? 5S1 ? 3S2 …………………1 分 即 2(a1 ? a1q ? a1q2 ) ? 5a1 ? 3(a1 ? a1q) ,化简得 2q2 ? q ? 6 ? 0 …………………2 分 解得: q ? 2 或 q ? ?

3 3 ……………3 分,因为数列 ?an ? 的各项均为正数,所以 q ? ? 不合题意…………4 分 2 2

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n .…………………………………………5 分 (2)由 bn ? log 2 an 得 bn ? log2 2n ? n ……………6 分,? cn ?

1 1 1 1 ? ? ? …………7 分 bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n n ? 1? ? ? k (n ? 4) …………8 分, ? Tn ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n n 1 ? 2 ………………11 分 ?k ? ? 4 (n ? 1)(n ? 4) n ? 5n ? 4 n? ?5 n 4 4 4 1 1 ? n ? ? 5 ? 2 n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 n ? ,即 n ? 2 时等号成立------12 分,? ? ……13 分 4 n n n n? ?5 9 n 1 ? k 的取值范围 [ , ? ? ). …………………………………………………………14 分 9
2 2 , (, 20.解:(1)由椭圆方程得半焦距 c= a ? ( a ? 1) ? 1 ,所以椭圆焦点为 F1 (?1 0)  F2 1 0)

又抛物线 C 的焦点为 (

p ,0 ) 2

?

p ? 1  p ? 2, ? C:y 2 ? 4 x ,    2

--------4 分

(2)直线 AB 的斜率为定值—1.

5

? y12 ? 4 x1 ? 2 证明如下:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,? M (1, 2) ,A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,? ? y2 ? 4 x2 ? 2 ?2 ? 4 ?1
由①-③得, kMA ?

① ② ③
------6 分

y1 ? 2 4 ? ④ x1 ? 1 y1 ? 2

由②-③得, kMB ?

y2 ? 2 4 ? ④ x2 ? 1 y2 ? 2

----------8 分

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 kMA ? ?kMB

--------------------10 分

4 ? y1 ? 2 ? x ?1 ? ? y ? 2 ? y1 y2 ? 2 y2 ? 2 y1 ? 4 ? ?4 x1 ? 4 ⑥ ? 1 2 由 kMA ? ?kMB 得 ? 化简整理,得 ? ---------12 分 ? y1 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4 ? ?4 x2 ? 4 ⑦ ? y2 ? 2 ? ? 4 ? x2 ? 1 y1 ? 2 ?
由 ⑥ - ⑦ 得: 4( y1 ? y2 ) ? ?4( x1 ? x2 ) ,? k ?

y1 ? y2 ?4 ? ? ?1 为定值……………….14 分 x1 ? x2 4

解法二:设 A(

y ?2 y12 y2 4 4 , y1 ) , B( 2 , y2 ) …………6 分,则 k AM ? 12 , kBM ? ……………8 分 ? y1 4 4 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 kMA ? ?kMB …………………10 分 即

y1 ? y2 ? 4 4 4 ? ? 0 ,所以 ? 0 ,所以,由 y1 ? y2 ? 4 ? 0 得 y1 ? y2 ? ?4 ………12 分 y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
y2 ? y1 4 4( y2 ? y1 ) 4 ? ?1. 所以直线 AB 的斜率为定值, ? 这个定值为 ? 1. ……14 分 ? 2 2 ? 2 2 y2 y1 y1 ? y2 ?4 y2 ? y1 ? 4 4

所以 k AB ?

1 21.解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b.…………1 分,故 f(x)= ax3-2ax2+ax+c. 3 1 2 由 f ?( x) =a(3x -4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.……………………2 分 3 列表: 1 1 1 (-∞, ) ( ,1) x 1 (1,+∞) 3 3 3 f ?( x) + 0 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增

1 1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .单调减区间是 [ ,1] …5 分 3 3 2 2 a ? b 2 a ? b ? ab (2) f ?( x) =3ax2-2(a+b)x+b=3 a( x ? . ) ? 3a 3a a?b a?b ①当 ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a
所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0.所以| f ?( x) |≤ M .………8 分 ②当 0< a ? b < ,即-a<b<2a,则 ? 1
3a

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ M . 3a
6

(i) 当-a<b≤

a 3a 时,则 0<a+b≤ .所以 2 2

f ?( 1 )?

a 2 ? b2 ? ab 2a2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 2 = = ≥ a >0. 4 3a 3a 3a

所以 | f ?( x) |≤ M . ……………………………………………………10 分 (ii) 当

a a 5 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a2+b2- ab <0. 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a2 ? b2 ? ab 4ab ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ab 所以 b ? = >2 >0,即 f ?(0) > .所以 | f ?( x) |≤ M . 3a 3a 3a 3a

综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .……………………………14 分

7


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