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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及其应用课件 理_图文

第3讲
考试要求

平面向量的数量积及其应用
1. 平面向量数量积的含义及其物理意义, B 级

要求; 2. 平面向量的数量积与向量投影的关系, A 级要求;

3.数量积的坐标表示,数量积的运算,C级要求;4.用数量
积表示两个向量的夹角,判断两向量垂直,B级要求.

知识梳理 1.平面向量数量积的有关概念
→ → (1)向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,记OA=a,OB= b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 ,规定零向量与任一向量的数量 a· b,即 a· b= |a||b|cos θ 积为 0,即 0· a=0.

(3)数量积的几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影 |b|cos θ 的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a= x2 1+y1.

x1x2+y1y2 a· b (3)夹角:cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2+y2
(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤
2 2 2 x2 + y · x + y 1 1 2 2.

3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律).

(3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
? π? (1)两个向量的夹角的范围是?0,2?.( ? ?

× )

(2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向 量.( √ ) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运 算的运算结果是向量.( √ ) (4)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.( × ) (5)a· b=a· c(a≠0),则 b=c.( × )

2.(2015· 全国Ⅱ卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a
等于________. 解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)

+(-1,2)=(1,0),得(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1. 答案 1

2π 3.(2016· 南京、盐城模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为 ,|a| 3 =2,|b|=1,则|a+b|=________.
∵|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2 2π =4+2|a||b|cos +1=5-2=3, 3 解析 ∴|a+b|= 3.

答案

3

4.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方 向上的投影为________.

解析 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cos θ=4×cos 120°=-2. 答案 -2

5.(2015· 安徽卷)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a, → = 2a , AC → = 2a + b , 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 b 满 足 AB ________(写出所有正确结论的编号).
→; ①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a⊥b;④b∥BC → ⑤(4a+b)⊥BC.
解析 1→ → → → ∵AB=2a,AC=2a+b,∴a=2AB,b=BC,

又△ABC 是边长为 2 的等边三角形, ∴|a|=1, |b|=2, 故①正确, → → → ②错误, ③错误, 由 b=BC, 知 b∥BC, 故④正确, ∵4a+b=2AB → → → → → → → +BC=AB+AC,∴(4a+b)· BC=(AB+AC)· BC=-2+2=0, → ,故⑤正确. ∴(4a+b)⊥BC

答案 ①④⑤

考点一 平面向量的数量积

【例 1】 (1)(2015· 天津卷)在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB∥DC, AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点 E 和 F 分别在线段 BC 和 → 2→ → 1 → → → DC 上,且BE=3BC,DF=6DC,则AE·AF的值为________. (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则

→ ·CB → 的值为__________;DE → ·DC → 的最大值为________. DE

解析

(1)法一

2→ → → → → → 取BA, BC为一组基底, 则AE=BE-BA=3BC

5→ 7→ → → → → → → → → -BA, AF=AB+BC+CF=-BA+BC+12BA=-12BA+BC,
?2 → ? ? 7 → →? → → → ∴AE·AF=?3BC-BA?·?-12BA+BC? ? ? ? ?
? 7? 25 → → 2 → 2 ? → ?2 ? - =12? ?BA? 18BA·BC+3|BC| 7 25 1 2 29 =12×4-18×2×1×2+3=18.

法二 CO⊥AB 于 O ,建立如图所示的平面直角坐标系,则 ? ? ? 3 ? ?1 ? 3? 3? A?-2,0?,B?2,0?,C?0, ?,D?-1, ?, 2? 2? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 5 3? 3? 所以 E? , ?,F?- , ?, 3? 2? ?6 ? 6 5 3? ?2 3? 10 1 29 → → ? 所以AE·AF=? , ?·? , ?= 9 +2=18. 3 ? ?3 2 ? ?3
→ → → → → (2)法一 如图,DE·CB=(DA+AE)· CB → → → → → → → → =DA·CB+AE·CB=DA2=1,DE·DC=(DA → )· → +AE DC → ·DC → +AE → ·DC → =AE → ·DC → =|AE → |·|DC → |≤ =DA → |2=1. |DC

法二 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立 平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), → =(t,-1), 设 E(t,0),t∈[0,1],则DE → =(0,-1),所以DE → ·CB → =(t,-1)· CB (0,-1)=1. → → → 因为DC=(1,0),所以DE·DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → ·DC → 的最大值为 1. 故DE

→ 在CB → 方向上的投影 法三 由图知,无论 E 点在哪个位置,DE → → → 都是 CB=1,∴DE·CB=|CB|·1=1. → 在DC → 方向上的投影最大即为 DC=1, 当 E 运动到 B 点时,DE → → → ∴(DE·DC)max=|DC|·1=1.

答案

29 (1) 18

(2)1

1

规律方法

(1) 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;

利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义 .(2)解决涉及 几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减

运算或数量积的运算律化简再运算 . 但一定要注意向量的夹
角与已知平面角的关系是相等还是互补.

→· → 【训练 1】(1)(2016· 泰州一检)在△ABC 中, 若 A=120°, AB AC → |的最小值是________. =-1,则|BC

→ → (2)(2015· 四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形, |AB|=6, |AD → =3MC → ,DN → =2NC → ,则AM → ·NM →等 |=4,若点 M,N 满足BM 于________.
→ ·AC → =-1, 解析 (1)∵AB → ||AC → |cos 120°=-1,即|AB → ||AC → |=2, ∴|AB → |2=|AC → -AB → |2=AC → 2-2AB → ·AC → +AB → 2≥ ∴|BC → → → → → 2|AB|·|AC|-2AB·AC=6,∴|BC|min= 6.

→ ,AD → 为一组基底.∵BM → =3MC → ,∴AM → =AB → +BM → =AB → (2)取AB 3→ → 3→ → → → 1 → 1→ +4BC=AB+4AD,NM=CM-CN=-4AD+3AB, 1 → 1 → → → → →) ∴AM·NM=4(4AB+3AD)· (4 AB - 3 AD 12 1 1 →2 →2 =48(16AB -9AD )=48(16×62-9×42)=9.
答案 (1) 6 (2)9

考点二 平面向量的夹角与垂直
【例 2】 (1)(2015· 重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为________.

→ 与AC → 的夹角为 120°, → |=3, → |=2.若AP → (2)已知向量AB 且|AB |AC → → → → =λAB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________.
解析 (1)因为 a⊥(2a+b),所以 a· (2a+b)=2a2+a· b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0,又|b|=4|a|, 则上式可化为 2|a|2+|a|×4|a|· cos〈a,b〉=0, 1 即 2+4cos〈a,b〉=0,所以 cos〈a,b〉=-2, 2π 即 a,b 夹角为 3 .

→ ⊥BC → ,知AP → ·BC → =0,即AP → ·BC → =(λAB → +AC → )· →- (2)由AP (AC ? 1? → → → → → 2 2 AB)=(λ-1)AB· AC-λAB +AC =(λ-1)×3×2×?-2?-λ×9 ? ? 7 +4=0,解得 λ=12.
2π 答案 (1) 3 7 (2) 12

规律方法

(1)根据平面向量数量积的性质:若 a,b 为非零向

a· b 量,cos θ= (夹角公式),a⊥b?a· b=0 等,可知平面向 |a||b| 量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角, 数量积等 于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角, 数量积小于 0 且两向 量不共线时两向量的夹角为钝角.

【训练 2 】 (1)(2016· 南京师大附中模拟 ) 已知向量 a , b 满足
a· (a - 2b) = 3 ,且 |a| = 1 , b = (1 , 1) ,则 a 与 b 的夹角为 ________.
(2)已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+b)· c 5 =2,则 a 与 c 的夹角为________.

(1)由|a|=1,a· (a-2b)=3,∴|a|2-2a· b=3, a· b 2 ∴a· b=-1, 又 b=(1, 1), ∴|b|= 2, cos 〈a, b〉 = =- , 2 |a||b| 3π 又〈a,b〉∈[0,π], 〈a,b〉= 4 ,故选 C. (2)∵a+b=(-1,-2),故 a+b 与 a 反向,且模相等. 5 (a+b)· c 2 1 ∵cos〈a+b,c〉= = = , |a+b|· |c| 5× 5 2 解析 ∴c 与 a+b 成 60°角,∴a 与 c 成 120°角.
答案 3π (1) 4 (2)120°

考点三 平面向量的模及应用
【例 3】 (1)(2015· 浙江卷)已知 e1, e2 是平面单位向量, 且 e1 · e2 1 = .若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b|=________. 2
(2)(2015· 湖南卷改编)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动, → +PB → +PC → |的最大值为 且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2, 0), 则|PA ________.
1 解析 (1)因为|e1|=|e2|=1 且 e1·e2=2.所以 e1 与 e2 的夹角为 60°.又因为 b· e1=b· e2=1,所以 b· e1-b· e2=0,即 b· (e1-e2) =0,所以 b⊥(e1-e2).所以 b 与 e1 的夹角为 30°,所以 b· e1= 2 3 |b|· |e1|cos 30°=1.∴|b|= 3 .

(2)由 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上,且 AB⊥BC,∴AC 为圆直 → → → 径,故PA+PC=2PO=(-4,0),设 B(x,y),则 x2+y2=1 且 → =(x-2,y),所以PA → +PB → +PC → =(x-6,y). x∈[-1,1],PB → +PB → +PC → |= -12x+37, 故|PA ∴x=-1 时有最大值 49=7.

2 3 答案 (1) 3 (2)7

规律方法

(1) 求向量的模的方法:①公式法,利用 |a| =及

(a±b)2=|a|2±2a· b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运
算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的 平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等 方法求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表

示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数
形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的 图形求解.

【训练 3】 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°, → → AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为 5 ________.

解析 以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴,y 轴建 立如图所示的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x(0≤x≤a), → =(2,-x), ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x).PA → → → → → PB=(1,a-x),∴PA+3PB=(5,3a-4x),|PA+3PB|2=25+(3a 3a → +3PB → |的最小值为 5. 2 -4x) ≥25,当 x= 4 时取等号.∴|PA

[思想方法]

1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义, 要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问 题常用的方法与技巧.

3.向量的两个作用:(1)载体作用:关键是利用向量的意义、作用

脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;(2)工具作用: 利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

[易错防范] 1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a· b=a· c(a≠0)不能得 出b=c,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a· b>0,反之不成立;两个向量

夹角为钝角,则有a· b<0,反之不成立.
3.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.


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