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2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课后演练提升北师大版选修2-1资料


2016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的 计算课后演练提升 北师大版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知向量 n=(1,0,-1)与直线 l 垂直,且 l 经过点 A(2,3,1),则点 P(4,3,2)到 l 的距离为( ) 3 2 A. B. 2 2 C. 3 2 D. 3 2 2

→ 解 析 : PA = ( - 2,0 , - 1) , 又 n 与 l 垂 直 , 所 以 P 到 l 的 距 离 为 |?-2,0,-1?·?1,0,-1?| 1 2 = = . 2 2 1 +?-1? 2 2 答案: B 2.已知△ABC 的顶点 A(1,-1,2)、B(5,-6,2)、C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 的 长等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 → → → 解析: AB=(4,-5,0),AC=(0,4,-3),∴|AC | =5, → → |AB·AC| 20 → ∴|AD|= = =4, → 5 |AC| ∴高 BD= → 2 → 2 |AB| -|AD| = 41-16=5. 答案: C 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中 心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离是( ) 1 2 A. B. 2 4 2 3 D. 2 2 解析: 建立如右图所示坐标系,则 D(0,0,0),A1(1,0,1), 1 ? 1 ? O? , ,1? ?2 2 ? → → ? 1 1 ? → 则DA1=(1,0,1), A1O=?- , ,0?, 由题意知DA1为平面 ABC1D1 ? 2 2 ? 1 → → |DA1·A1O| 2 2 的法向量,∴O 到平面 ABC1D1 的距离为 d= = = . → 4 2 |DA1| 答案: B 4.如图所示,在几何体 A-BCD 中,AB⊥面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC =1,CD=2,点 E 为 CD 中点,则 AE 的长为( ) C.

1

A. 2 C.2 解析: A E =A B +B C +C E , ∵|A B |=|B C |=1=|C E |,

B. 3 D. 5















且 A B ·B C =A B ·C E =B C ·C E =0. 又∵A E =(A B +B C +C E ) , ∴A E =3,∴AE 的长为 3.故选 B. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 在△ABC 中, AB=AC=5, BC=6, PA⊥平面 ABC, PA=8, 则 P 到 BC 的距离是________.










2



→2







→2

解析: 如右图,以 BC 边上的垂线为 y 轴,建立空间直角坐标系取 BC 中点 D,则 PD 的 → 2 2 长即为所求,由 A(0,0,0),P(0,0,8),D(0,4,0),则|PD|= 4 +?-8? =4 5. 答案: B 6.已知过点 P(1,0,0)的两条直线 l1 与 l2,l1 平行于向量 s1=(0,1,-1),l2 平行于向 量 s2=(1,1,0),则点 P1(0,1,0)到直线 l1 与 l2 确定的平面 π 的距离为________. 解析: 设平面 π 的法向量 n=(x,y,z), ?y-z=0 ? 由 s1·n=s2·n=0 得? . ?x+y=0 ? 取 x=1,则 y=-1,z=-1,所以 n=(1,-1,-1). → 又因PP1=(-1,1,0), ?→ n ? 所以点 P1 到平面 π 的距离为?PP1· ? |n|? ? = 2 2 3 = . 3 3

2 3 3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求点 B1 到直线 AC 的距离. 答案:

解析: 方法一:建立坐标系如图, B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0), → → AB1·AC 1 → → ∴AC=(-1,1,0),AB1=(0,1,1), = , → 2 |AC| ∴点 B1 到直线 AC 的距离为

2

d=

→ →?2 ?AB 1·AC? → 2 = |AB1| -? ? |→ ? ? AC| ?

1 6 2- = . 2 2

方法二:连接 AB1,B1C,AC,则△AB1C 为正三角形,边长为 2,而 B1 到 AC 的距离就是 3 6 正三角形一边上的高 d=h= × 2= . 2 2 8.如右图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是矩形. E、 F 分别是 AB、PD 的中点.若 PA=AD=3,CD= 6.求点 F 到平面 PCE 的距 离. 解析: 如右图,建立空间直角坐标系 A-xyz. ? 6 ? ? 3 3? A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E? ,0,0?,F?0, , ?,C( 6, ?2 ? ? 2 2? 3,0).

设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z), 6 ? → ? 6 ? → ? EP=?- ,0,3?,EC=? ,3,0?. ? 2 ? ?2 ? → ? ?n·EP=0 ? → ? ?n·EC=0 6 ? ?- 2 x+3z=0 ,即? 6 ? ? 2 x+3y=0

.

取 y=-1,得 n=( 6,-1,1). 3? → ? 3 又PF=?0, ,- ?, 2? ? 2 故点 F 到平面 PCE 的距离为 ?-3-3? ? ? → |PF·n| ? 2 2? 3 2 d= = = . |n| 4 2 2 ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角 三角形,∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,CA=2,D 是 CC1 的中点,试问在 A1B 2 6 上是否存在一点 E(不与端点重合)使得点 A1 到平面 AED 的距离为 ? 3 解析: 以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x 轴,

y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
3

→ → 则 A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设BE=λ BA1,λ ∈(0,1), 则 E(2λ ,2(1-λ ),2λ ). → → 又AD=(-2,0,1),AE=(2(λ -1),2(1-λ ),2λ ),设 n=(x,y,z)为平面 AED 的一 个法向量, 则? → ? ?n·AD=0 → ? ?n·AE=0
?-2x+z=0 ? ?? ? ?2?λ -1?x+2?1-λ ?y+2λ z=0



1-3λ 取 x=1,则 y= ,z=2, 1-λ ? 1-3λ ,2?. 即 n=?1, ? 1-λ ? ? → |AA1·n| 2 6 由于 d= = , |n| 3 4 , 1-3λ ?2 ? 5+? ? ? 1-λ ? 1 又 λ ∈(0,1),解得 λ = . 2 ∴ 2 6 所以,存在点 E 且当点 E 为 A1B 的中点时,A1 到平面 AED 的距离为 . 3 2 6 = 3

4


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