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湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟数学理试卷 Word版含解析

2017 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合 A={x∈N|x≤1},B={x|﹣1≤x≤2},则 A∩B=( A.{0,1} B.{﹣1,0,1} 2.已知复数 C.[﹣1,1] D.{1} ) (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象 ) C. (﹣∞,﹣2) D. ) 限,则实数 a 的取值范围是( A. B. 3.设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B.3 4.已知 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( C.﹣5 或 3 D.5 或﹣3 的最大值为 A,若存在实数 x1, x2 使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 A|x1﹣x2|的最小值 为( ) A. B. C. D. ,则 +3 C. + D. +3 f(x)dx 的值为( ) 5.设 f(x)= A. + B. 6.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c(a,b,c∈(0,1) ) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2,则 最小值为( A. B. ) C. D.4 ) 的 7. 在如图所示的程序框图中, 若输出 i 的值是 3,则输入 x 的取值范围是( A. (4,10] B. (2,+∞) C. (2,4] D. (4,+∞) 8.若 的常数项是( A.﹣270 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024,则该展开式中 ) D.90 ,则 的值 B.270 C.﹣90 9.若等边△ABC 的边长为 3,平面内一点 M 满足 为( A.2 ) B. C. D.﹣2 10.已知抛物线 C:y2=2px(0<p<4)的焦点为 F,点 P 为 C 上一动点,A(4, 0) , B(p, p) ,且|PA|的最小值为 ,则|BF|等于( ) A.4 B. C.5 D. 11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视 图,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.4 满足条件:对于? x1∈R,且 x1≠0,? 唯一的 12.已知函数 x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2) .当 f(2a)=f(3b)成立时,则实数 a+b= ( ) A. B. C. +3 D. +3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 14.设 a1+a2+a3+a4+a5= 15.已知平面向量 ,则 = . 的夹角为 120°,且 . .若平面向量 满足 的最大值为 . ,则 16.设数列{an}(n≥1,n∈N)满足 a1=2,a2=6,且 an+2﹣2an+1+an=2,若[x]表 示不超过 x 的最大整数,则 = . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (12 分)已知 a,b,c 分别为锐角△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 且(a+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (Ⅰ)求∠A 的大小; (Ⅱ)若 f(x)= sin ?cos +cos2 ,求 f(B)的取值范围. 18. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC= AD=1,CD= . (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)设 PM=tMC,若二面角 M﹣BQ﹣C 的平面角的大小为 30°,试确定 t 的值. 19. (12 分)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016 年双 11 期间,某 购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币. 与此同时, 相关管理部门推出了针对电 商的商品和服务的评价体系. 现从评价系统中选出 200 次成功交易, 并对其评价 进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务 都作出好评的交易为 80 次. (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有 关? (2)若将频率视作概率,某人在该购物平台上进行 5 次购物中,设对商品和服 务全好评的次数为随机变量 X: ①求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方程. P(K2≥ k) k (K2= 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ,其中 n=a+b+c+d) 20. (12 分)已知椭圆 C1: 是 C1 上一点. (1)求椭圆 C1 的方程; + =1(a>b>0)的离心率为 ,P(﹣2,1) (2)设 A,B,Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于 AB 的直 线 l 交 C1 于异于 P、Q 的两点 C,D,点 C 关于原点的对称点为 E.证明:直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形. 21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a(a∈R)在定义域内有两个不同的 极值点 (1)求 a 的取值范围; (2)记两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,已知 λ>0,若不等式 x1?x2λ>e1+λ 恒成立, 求 λ 的取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题 给分;作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.[选修 4-4:参数方程 与极坐标系] 22. (10 分) 在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为

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