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数列前n项和的求法


数列求和的基本方法
一.利用常用求和公式求和 1.等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

na1 (q ? 1) ? ? 2.等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
1 n(n ? 1) 2 1 2 2 2 2 4. S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6
3. Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 例 1.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; 求前 n 项和 Sn 。

二.错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用到的方法,主要用于求数列 {an ? bn } 的前 n 项和,其中 {an },{bn } 分别是等差数列和等比数列。 例 2.求 Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n 。

练习.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 2 , 且 b2 S2 ? 32 , b3 S3 ? 120 。 (1)求 an 与 bn ; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn 。

1

三、分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差数列﹑等比数列或常见数列(如可裂项的数列) ,然后分别求和,再将其合并即可。 例 5.

四、裂项求和法 这是分解和组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每一项分 解,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,一般先分解通项公式,常见 分解如下: (1) an ?

1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

例 7 (1)已知 an=

1 ,求 {an } 的前 n 项和 Sn ; n?n+1? 1 (2)已知 an= ,求 {an } 的前 n 项和 Sn . n?n+2?

练习.已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , {an } 的前 n 项和 Sn 。 (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

2 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 a ?1
2 n

2


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