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2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课后演练提升北师大版选修2-1资料


2016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量 讨论垂直与平行课后演练提升 北师大版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2), 平面 α 的法向量为 u=(-2,0, -4), 则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l? α D.l 与 α 斜交 解析: ∵u=-2a,∴a∥u.∴a⊥α ,∴l⊥a,故选 B. 答案: B 2.已知平面 α 内的三点 A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面 β 的一个法向量为 n =(-1,-1,-1),且 β 与 α 不重合,则( ) A.α ∥β B.α ⊥β C.α 与 β 相交不垂直 D.以上都不对 → → 解析: AB=(0,1,-1), AC=(1,0,-1),

→ n·A B =(-1,-1,-1)·(0,1,-1)
=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,

→ n·A C =(-1,-1,-1)·(1,0,-1)
=-1×1+0+(-1)·(-1)=0, → → ∴n⊥AB,n⊥AC. ∴n 也为 α 的一个法向量.又 α 与 β 不重合, ∴α ∥β . 答案: A 3.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平面 α 内的是( ) 3? ? A.(1,-1,1) B.?1,3, ? 2? ? 3 3? ? ? ? C.?1,-3, ? D.?-1,3,- ? 2? 2? ? ? 解析: 对于选项 A, PA=(1,0,1), 则PA·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除 A; 1? → ? 对于选项 B,PA=?1,-4, ?, 2? ? 1 → ? ? 则PA·n=?1,-4, ?·(3,1,2)=0,故选 B. 2? ? 答案: B 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 解析: 以 D 为原点建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标方法证明





→ → CE·BD=0 即可.
答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若平面 α 的一个法向量为 u1=(-3,y,2),平面 β 的一个法向量为 u2=(6,-2, z),且 α ∥β ,则 y+z=________.

1

-3 y 2 解析: ∵α ∥β ,∴u1∥u2.∴ = = . 6 -2 z ∴y=1,z=-4.∴y+z=-3. 答案: -3 6.已知△ABC 在平面 α 内,∠A=90°,DA⊥平面 α ,则直线 CA 与 DB 的位置关系是 ________.

解析: 如右图:DA⊥平面 ABC,且∠BAC=90°如图建系:采用向量法易证: CA·DB= 0 答案: 垂直 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,D 是 AC 的中点,求证:AB1∥平面 DBC1.

→ →

证明: 证法一:建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 设正三棱柱的底面边长为 a,侧棱长为 b,则 A(0,0,0),B?

? 3 a ? a, ,0?, 2 ? ?2

C1(0,a,b),B1?

? 3 a ? a, ,b?, 2 ? ?2

? a ? D?0, ,0?. ?
2

?

AB1=?



3 ? 3 a ? → ? ? → ? a ? a, ,b?,BD=?- a,0,0?,DC1=?0,2,b?. ? ? 2 ? ?2 ? 2 ?

设平面 DBC1 的法向量为 n=(x,y,z), 3 → ? n·BD=- ax=0, ? 2 → → 由 n⊥BD,n⊥DC ,得? → a ? ?n·DC =2y+bz=0,
1 1

x=0, ? ? ∴? a z=- y. ? 2b ?
取 y=1,得 n=?0,1,- ?. 2b? ?

?

a?

a? ? 3 a ? ? → 由AB1·n=? a, ,b?·?0,1,- ?=0, 2 b? ? 2 2 ? ? → 得AB1⊥n,即 AB1∥平面 DBC1.
→ → → 证法二:如图所示,记AB=a,AC=b,AA1=c,
2

1 → → → → → → → 1 则AB1=a+c,DB=AB-AD=a- b,DC1=DC+CC1= b+c. 2 2 → → → → → → ∴DB+DC1=a+c=AB1,∴DB,DC1,AB1共面. 又∵AB1?平面 DBC1, ∴AB1∥平面 DBC1. 8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是棱 BB1、D1B1 的中点, 求证:EF⊥面 B1AC.

证明: 证法一:建立如图所示空间直角坐标系,设正方体边长为 2,则有 A(2,0,0)、

B1(2,2,2)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2),
→ ∴AB1=(0,2,2), → → AC=(-2,2,0),EF=(-1,-1,1), → → → → → → ∴ EF · AB1 = ( - 1 ,-1,1)·(0,2,2)= 0 - 2 + 2 = 0 ? EF ⊥ AB1 , EF · AC = ( - 1 ,- → → 1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0?EF⊥AC,即 EF⊥AB1,EF⊥AC, 又 AB1∩AC=A, ∴EF⊥面 B1AC. → ? ?n·AB1=0 证法二:建系如证法一,设面 B1AC 的一个法向量为 n=(x,y,z),由? → ? ?n·AC=0
? ?2y+2z=0 ? ?-2x+2y=0 ?

?



令 x=1 可得:y=1,z=-1, → → ∴n=(1,1,-1)=-EF? n∥EF,∴EF⊥面 B1AC. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面 ABCD,

PA=AD=CD=2AB=2,M 为 PC 中点. (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在△PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD. 解析: (1)证明:∵M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E,
1 1 则 ME 綊 CD,又 AB 綊 CD, 2 2 ∴四边形 ABME 是平行四边形. ∴BM∥EA,BM?平面 PAD,EA? 平面 PAD, ∴BM∥平面 PAD. (2)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图.

3

则 B(1,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,1,1),E(0,1,1). 在平面 PAD 内设 N(0,y,z), → 则MN=(-1,y-1,z-1), → → PB=(1,0,-2),DB=(1,-2,0). → → → → ∵MN⊥PB,MN⊥DB, → → ∴MN·PB=-1-2z+2=0. → → MN·DB=-1-2y+2=0. 1 1 ? 1 1? ∴y= ,z= ,N?0, , ?, 2 2? 2 2 ? ∴N 是 AE 的中点. ∴当点 N 是△PAD 边 PD 中线上的中点时,MN⊥平面 PBD.

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