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海门中学2012届高三4月阶段测试数学试题


江苏省海门中学高三数学阶段测试 数学Ⅰ

2012.04.22

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ......... 1.若 z1 ? a ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且
z1 z2
??? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ?

为纯虚数,则实数 a ?

▲ .

2.在边长为 1 的正方形 A B C D 中,设 A B ? a , B C ? b , A C ? c ,则 | b ? a ? c |?
2

▲ .

3.已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z ,则使得当 x ? M 时, p 且 q ”与“ ? q ”同时为假 “ 命题的 x 组成的集合 M ? ▲ .

4.函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2010) ? ▲ . 5.某地区有 3 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选择哪 一天是等可能的),假定各个工厂的选择互不影响,则这 3 个工厂选择同一天停电的概率 为 ▲ . 6.某市高三数学抽样考试中,对 9 0 分及其以上的成绩情况进 行统计,其频率分布直方图如右下图所示,若 (1 3 0,1 4 0 ] 分 数段的人数为 9 0 人,则 (9 0,1 0 0 ] 分数段的人数为 ▲ . 7.右图给出了一个算法流程图.若给出实数 a , b , c 为
a ? 4, b ? x , c ? 2 x ? 3 x ? 2 ,输出的结果为 b 的值,
2 2

则实数 x 的取值范围是 ▲ . 8.已知 l 、 m 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ① 若 l ? ? , 且 ? ? ? ,则 l ? ? ; ② 若 l ? ? , 且 ? / / ? ,则 l ? ? ; ③ 若 l ? ? , 且 ? ? ? ,则 l / / ? ; ④ 若 ? ? ? ? m , 且 l / / m , 则 l / / ? . 其中真命题的序号是 ▲ .(填上你认为正确的所有命题的序号) 9.已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点 F 为双曲线
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 )
第7题 图

的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点 F ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 10. 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 满足 f (1) ? 0, a ? b ? c , 则
2

c a

的取值范围是 ▲ .

11.设 A 和 B 是抛物线 L 上的两个动点,在 A 和 B 处的抛物线切线相互垂直,已知由 A、 B 及抛物线的顶点 P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线,记为 L 1 .对 L 1 重复以上过 程,又

得一抛物线 L 2 ,以此类推.设如此得到抛物线的序列为 L1 , L 2 , ? , L n ,若抛物线 L 的方 程为
y ? 6x
2

,经专家计算得, L1 : y 2 ? 2 ( x ? 1) , L 2 : y ?
2

2 3

(x ?1?
Tn Sn

1 3

)?

2 3

(x ?

4 3

),

L3 : y ?
2

2 9

(x ?1?

1 3

?

1 9

)?

2 9

(x ?

13 9

2 ? ) , ,L n : y ?

2 Sn

(x ?

则 ) . 2Tn ? 3 S n =

▲ .

12. 已知函数

f ( x ) ? ? x ln x ? ax

在 (0 , e ) 上是增函数, 函数 g ( x ) ? | e x
3 2

?a|?

a

2

.当 x ? [0, ln 3]

2

时,函数 g ( x ) 的最大值 M 与最小值 m 的差为 13. ? A B C 中, 在 已知内角 A ?
?
3

,则 a =___▲___. ▲ .

, BC ? 2 边

3 , ? A B C 的面积 S 的最大值为 则

14. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) 满 足 g ( x )? 0 ,?f
f (x) ? a ? g (x)
x

( ) g ? ( ) ?f ? ( ) , ( ) ? x x x g x
15 16



f (1) g (1)

?

f ( ? 1) g ( ? 1)

?

5 2

.令 a n ?

f (n) g (n)

,则使数列 { a n } 的前 n 项和 S n 超过

的最小自然数 n 的值 为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 .......
或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 已知锐角 ? ABC 中的三个内角分别为 A , B , C . (1)设 BC

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? C A ? C A ? AB ,求证 ? A B C 是等腰三角形; ? ? ? C , ( 2 ) 设 向 量 s ? 2 s i nC ? 3 , t ? (co s 2 C , 2 co s 2 ? 1) , 且 s 2

?

?

∥ t , 若 sin

?

A?

12 13

,求

s i n ( ? B 的值. ) 3

?

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥ A E ; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P-ACE 的体积 V.

17. (本小题满分 14 分) 某民营企业从事 M 国某品牌运动鞋的加工业务,按照国际惯例以美元结算。依据以往的 加工生产数据统计分析,若加工订单的金额为 x 万美元,可获得的加工费的近似值为

1 2

ln(2 x ? 1) 万美元。2011 年以来,受美联储货币政策的影响,美元持续贬值。由于从生

产订单签约到成品交付要经历一段时间, 收益将因美元贬值而损失 mx 美元 (其中 m 是该 时段的美元贬值指数,且 0<m<1) ,从而实际所得的加工费为 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? mx 万美
2 1

元. (1)若某时段的美元贬值指数 m ?
1 200

,为了确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增

加,该企业加工产品订单的金额 x 应该控制在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为
1 20 x 万美元。已知

该企业的生产能力为 x ? [10,20] ,试问美元贬值指数 m 在何范围内时,该企业加工生 产不会出现亏损?(已知 (ln(2 x ? 1))? ?
2 2x ?1

) .

18. (本小题满分 16 分) 已知 A ( 0 ,1) 、 B (0, 2) 、 C (4 t , 2 t 2 ? 1)( t ? R ) ,⊙M 是以 AC 为直径的圆,再以 M 为圆心、 BM 为半径作圆交 x 轴交于 D、E 两点. (1)若 ? C D E 的面积为 14,求此时⊙M 的方程; (2)试问:是否存在一条平行于 x 轴的定直线与⊙M 相切?若存在,求出此直线的方 程;若不存在,请说明理由; (3)求
BD BE ? BE BD

的最大值,并求此时 ? D B E 的大小.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数
f ( x ) ? a ln x ? 1 x

, a 为常数.

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)当 x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ? x n ? 和 ? y n ? 的通项公式分别为 x n ? a n 和 y n ? ? a ? 1 ? n ? b , n ? N ? . (1)当 a ? 3, b ? 5 时, ①试问: x 2 , x 4 分别是数列 ? y n ? 中的第几项? ②记 c n ? x n 2 ,若 c k 是 ? y n ? 中的第 m 项 ( k , m ? N ? ) ,试问: c k ? 1 是数列 ? y n ? 中的第 几项?请说明理由; (2)对给定自然数 a ? 2 ,试问是否存在 b ? ?1, 2 ? ,使得数列 ? x n ? 和 ? y n ? 有公共项? 若存在,求出 b 的值及相应的公共项组成的数列 ? z n ? ,若不存在,请说明理由.

江苏省海门中学高三数学阶段测试 数学Ⅱ(附加题)

2012.04.22

请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做. ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)

已知矩阵 A ? ?

?1 ??1

?? ? 7 ? 2? ? ,设向量 ? ? ? 4 ? ,试计算 4? ? ?

A 5 ? 的值.

??

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
2x ?
1 2

,点 P ( x , y ) 是椭圆上的一个动点,若

3 y 的最大值为 10 ,求椭圆的标准方程.

22. (本小题满分 10 分) 一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过 多次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ? 的数学期望 E ? . 解(1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. , , 则 P ( A) ?
50 100 ? 1 2 , P ( B ) ? P (C ) ? 25 100 ? 1 4

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为
1 1 3 1 3 P4 ( 3 ) ? C 4 ( ) (1 ? ) ? --------------------------------------------------------4 分 2 2 4

(2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P (? ? 0 ) ? P ( C ) P ( C ) ?
P (? ? 1 ) ? C 2 P ( B ) P ( C ) ? 2 ?
1

1 16

1 4

?

1 4

?

1 8

P (? ? 2 ) ? C 2 P ( A ) P ( C ) ? P ( B ) P ( B ) ?
1

5 16

P (? ? 3 ) ? C 2 P ( A ) P ( C ) ?
1

1 4
5

; P (? ? 4 ) ? P ( A ) P ( A ) ?
? 3? 1 4 ? 4? 1 4 ? 5 2

1 4

? E? ? 0 ?

1 16

? 1?

1 8

? 2?

--------------------------------------------10 分

16

23. (本小题满分 10 分) 已知多项式 f ( n ) ?
1 5 n ?
5

1 2

n ?
4

1 3

n ?
3

1 30

n.

(1)求 f (1) 及 f ( ? 1) 的值; (2)试探求对一切整数 n, f ( n ) 是否一定是整数?并证明你的结论. 23. (1) f (1) ? 1 ; f ( ? 1) ? 0 . (2)对一切整数 n, f ( n ) 是否一定是整数.证明如下: ( 10 )先用数学归纳法证明:对一切正整数 n, f ( n ) 是整数.

①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,结论成立,即 f ( k ) ? 当 n=k+1 时, f ( k ? 1) ?
0 5 1 4 2 3

*

1 5
1

k ?
5

1 2

k ?
4

1 3

k ?
3

1 30

k 是整数,则

1 5

( k ? 1) ?
5
3 2 4

1 2

( k ? 1) ?
4
5 0

1 3

( k ? 1) ?
3
4 1 3

( k ? 1)
2 2 1 4

30
2

? ?

C5 k ? C5k ? C5 k ? C5 k ? C5 k ? C5 5 C k ?C k ?C k ?C
0 3 3 1 3 2 2 3 3 3

?

C4 k ? C4k ? C4 k ? C 4k ? C 4

?

1 30

3

( k ? 1) = f ( k ) ? k ? 4 k ? 6 k ? 4 k ? 1
4 3 2

根据假设 f ( k ) 是整数,而 k 4 ? 4 k 3 ? 6 k 2 ? 4 k ? 1 显然是整数. ∴ f ( k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f ( n ) 是整数. ?????????????????7 分 ( 2 0 )当 n=0 时, f (0 ) ? 0 是整数.???????????????????????8 分 ( 3 0 )当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f ( m ) 是整数, 所以 f ( n ) ? f ( ? m ) ?
?? 1 m ?
5

1 5

(? m ) ?
5

1 2

(? m ) ?
4

1 3
4

(? m ) ?
3

1 30

(? m )

m = ? f ( m ) ? m 是整数. 30 综上,对一切整数 n, f ( n ) 一定是整数.????????????????????10
4 3

1

m ?

1

m ?

1

5

2

3



江苏省海门中学高三数学阶段测试 2012.04.22

参考答案
1.
8 3

;2.2;3. { ? 1, 0,1, 2} ;4. 2 ?
2 ;10. ( ? 2, ?
1

2 ;5.

1 49
5

;6. 8 1 0 ;7. x ? 2 或 ? 2 ? x ? 1 ;

8.②;9. 1 ?

;13. 3 3 ;14. 5 . 2 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? 15.解析:(1) 因为 B C ? C A ? C A ? A B , 所 以 C A ? ( B C ? A B ) ? 0 , 又 A B ? B C ? C A ? 0 ,
2
所以 CA ? ? ( AB ? BC ), 所以 ? ( AB ? BC ) ? ( BC ? AB ) ? 0 , 所以 AB ? BC ? 0 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 | A B | 2 ? | B C | 2 ,即 | A B |? | B C | ,故△ABC 为等腰三角形.
2 2

) ;11.-1;12.

(4 分) (6 分)

(2)∵ s ∥ t , ∴ 2 sin C ( 2 cos
tan 2 C ? ? 3

?

?

2

C 2

? 1) ? ? 3 cos 2 C ,∴ sin 2 C ? ? 3 co s 2 C ,即
? 2? 3

, ? C 为锐角,∴ 2 C ? ? 0, ? ? ,∴ 2 C
? B

,∴ C

?

?
3



(8 分)

∴A

?

2? 3

,∴ sin ?

??

? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? sin ? ? ? B ? ? ? ? sin ? A ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ?? 3
5 13



(10 分)

又 sin

A?

12 13

,且 A 为锐角,∴ cos A ?



(12 分)

∴ sin ?

??

13 ? 5 3 ? ? ? ? ? ? ? ? B ? ? sin ? A ? ? ? sin A co s ? co s A sin 3? 3 3 26 ? 3 ? ?


P

(14 分)

16.解析: (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°, ∴BC=
3

,AC=2.取 P C 中点 F ,连 A F , P F ,则
F E

∵PA=AC=2,∴PC⊥ A F . (1 分) ∵PA⊥平面 ABCD, C D ? 平面 ABCD, ∴PA⊥ C D ,又∠ACD=90°,即 C D ? AC , ∴ C D ? 平 面 P A C ,∴ C D ? P C , ∴ EF ? PC . ∴ PC ? 平 面 AEF . ∴PC⊥ A E . (3 分) (4 分)
B

A
D

C

(5 分)

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. (7 分) 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,AC=AM=2, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. (9 分) ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. B 证法二:延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN. ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,∴EC∥平面 PAB. 1 (3)由(1)知 AC=2, E F ? C D , 且 E F ? 平 面 P A C . 2 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2 则 V= V E ? P A C
? 1 3 ? 1 2 ?2?2? 3 ? 2 3 3
3

P

F A

E

M

(10 分)
C

D

(7 分) (9 分) (10 分)

,得 E F ?

3.

(12 分) (14 分)



由 f ?( x) ? 0 ? 199 ? 2 x ? 0 ,解得 0<x<99.5

即加工产品订单金额 x ? (0,99.5) (单位:万美元) ,该企业的加工费随 x 的增加而增加。 (2)依题意设,企业加工生产不出现亏损,则当 x ? [10,20] 时, 都有
1 2 ln(2 x ? 1) ? mx ? 1 20 x。

法一:即 10 ln(2 x ? 1) ? (20m ? 1) x ? 0 在 x∈[10,20]时恒成立.…………………7 分

所以,g(x)min=g(20)=10ln41-20(20m+1)≥0,∴m≤ 所以,m∈(0,
ln 41 ? 2 40

ln 41 ? 2 40

,又 m>0, ………………14 分
? 1 20

]时,该企业加工生产不会亏损 .
? 1 20
1 2

法二:变量分离 m ?

ln(2 x ? 1) 2x

,令 2 x ? t ? m ?

ln(t ? 1) t

.

18.解: (1) M ( 2 t , t 2 ) ,以 M 为圆心、BM 为半径的圆方程为 ( x ? 2 t ) 2 ? ( y ? t 2 ) ? t 4 ? 4 , 其交 x 轴的弦 D E ? 2 t 4 ? 4 ? t 4 ? 4 , S ? C D E ?
D E ? ( 2 t ? 1) ? 1 4 ,? t ? ? 2 ,
2

⊙M 的方程为 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 ; ???????????????? 分) (5 (2)∵ M A ?
( 2 t ) ? ( t ? 1)
2 2 2

? t ? 1 , yM ? t ,
2

2

∴存在一条平行于 x 轴的定直线 y ? ? 1 与⊙M 相切;??????????(10 分) (3)在 ? BDE 中,设 ? D B E ∴ BD ? BE ?
8 sin ?
??

, S ?BDE ?

1 2

B D ? B E ? sin ? ? 8 sin ?

1 2

?4?2? 4,

; BD 2 ? BE 2 ? 16 ? 2 ?
co s ? ? 1 6 ,
2

? co s ? ,

∴ BD 2 ? BE 2 ? ∴
?
4 BD BE ? BE BD

16 sin ?
2

=

BD

? BE

BD ? BE

? 2 sin ? ? 2 co s ? ? 2 2 sin (? ?

?
4

), ? ? (0,

? ?

, 2? ?

故当 ? ?

时,

BD BE

?

BE BD

的最大值为 2 2 .???????????????(16 分)
ax ? 1 x
2

19.解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0} , f ? ( x ) ? 所以 f ? (1) ? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 .



又曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, ?????????4 分

(2)由 f ? ( x ) ?

ax ? 1
2



x 当 a ≥ 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立,所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ? ) .

当 a ? 0 时, 由 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ?
1 a 1 a

,所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( 0 , ?
1 a

1 a

);

,所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?

, ?? ) .

???????10 分

20. 解: (1)由条件可得 x n ? 3 , y n ? 4 n ? 5 .
n

(ⅰ)令 x 2 ? 9 ? y m ? 4 m ? 5 ,得 m ? 1 ,故 x 2 是数列 { y n } 中的第 1 项. 令 x 4 ? 8 1 ? y k ? 4 k ? 5 ,得 k ? 1 9 ,故 x 4 是数列 { y n } 中的第 19 项. ?????2 分 (ⅱ)由题意知, c n ? 3 , 由 c k 为数列 { y n } 中的第 m 项,则有 3
2n
2k

? 4m ? 5 ,

那么 c k ? 1 ? 3

2 ( k ? 1)
?

? 9?3

2k

? 9 ? (4 m ? 5) ? 3 6 m ? 4 5 ? 4 (9 m ? 1 0 ) ? 5 ,

因 9 m ? 1 0 ? N ,所以 c k ? 1 是数列 { y n } 中的第 9 m ? 1 0 项. (2)设在 {1, 2} 上存在实数 b 使得数列 { x n } 和 { y n } 有公共项,
s 即存在正整数 s,t 使 a ? ( a ? 1) t ? b ,∴ t ?

???????8 分

a ?b
s

a ?1



因自然数 a ≥ 2 ,s,t 为正整数,∴ a ? b 能被 a ? 1 整除.
s

①当 s ? 1 时, t ? 当 b ? 1 时,
a ?b
s

a ?b
s

a ?1

?

a a ?1

?N .

?

②当 s ? 2 n ( n ? N ) 时,
? ? [1 ? ( ? a ) ? ( ? a ) ? ? ? ( ? a )
2 2 n ?1

?

a ?1
2

?
4

a

2n

?1

a ?1

? ?

1? a

2n

1 ? (? a )

]

? ( a ? 1)[1 ? a ? a ? ? a

2n?2

? ] ? N ,即 a ? b 能被 a ? 1 整除.

s

此时数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,通项公式为 z n ? 2 显然,当 b ? 2 时,
a ?b
s

2n

(n ? N ) .

?

a ?1
?

?

a

2n

?2

a ?1
s

?

a

2n

?1

a ?1
a (a ?

?
2n

1 a ?1
? b a )

? N ,即 a ? b 不能被 a ? 1 整除.
?

s

③当 s ? 2 n ? 1 ( n ? N ) 时, t ?

a ?b a ?1

a ?1


a (a
2n

若 a ? 2 ,则 a 若 a ? 2 ,要 a

2n

? ?

b a b a

?

b

? N ,又 a 与 a ? 1 互质,故此时 t ? ? N ,则要 b ? 2 ,此时 a
a (a
2n

?

a ?1
2n

) a ? N? .

2n

?

2n

?

b a

? a

?1 ,

由②知, a

2n

? 1 能被 a ? 1 整除, 故 t ?
S

?

b

a ?1

) a ? N ? ,即 a s

? b 能被 a ? 1 整除.

当且仅当 b ? a ? 2 时, a ? b 能被 a ? 1 整除. 此时数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,通项公式为 z n ? 2 且当 b ? 1 时,数列 z n ? a 分 21.A 解析:矩阵 A 的特征多项式为 f ( ? ) ? 解得 ? 1 ? 2 , ? 2 ? 3 . 当 ? 1 ? 2 时,得 ? 1 ? ? ? ;当 ? 2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? ,
?1 ? ?1 ? ?2? ?1 ?
2n 2 n ?1

(n ? N ) .
?

?

综上所述,存在 b ? {1, 2} ,使得数列 { x n } 和 { y n } 有公共项组成的数列 { z n } ,
( n ? N ) ;当 b ? a ? 2 时,数列 z n ? 2
?
2 n ?1

( n ? N ) .???16

? ?1
1

?2

??4

? ? ? 5? ? 6 ? 0 ,
2

(4 分) (6 分) (8 分)

由 ? ? m ? 1 ? n ? 2 ,得 ?
5 5

?2m ? n ? 7 ?m ? n ? 4
5

,得 m ? 3 , n ? 1 ,
5

∴ A ? ? A ( 3? 1 ? ? 2 ) ? 3 ( A ? 1 ) ? A ? 2
2 1 ? 435 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 5 ? 3( ?1 ? 1 ) ? ? 2? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ?. ?1 ? ?1 ? ? 339 ?

(10 分)

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
【解】 离心率为
1 2

, 设椭圆标准方程是

x

2 2

?

y

2 2

4c

3c

? x ? 2 cos ? ?1, (? 它的参数方程为 ? ? y ? 3 sin ?

是参数 ) 2 x ?

3 y ? 4 c cos ? ? 3 c sin ? ? 5 c sin(? ? ? ) 最大值是 5 c ,

椭圆的标准方程是

x

2

?

y

2

?1

16

12
25 100 ? 1 4

22.解(1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. , , 则 P ( A) ?
50 100 ? 1 2 , P ( B ) ? P (C ) ?

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为
1 1 3 1 3 P4 ( 3 ) ? C 4 ( ) (1 ? ) ? --------------------------------------------------------4 分 2 2 4

(2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P (? ? 0 ) ? P ( C ) P ( C ) ?
P (? ? 1 ) ? C 2 P ( B ) P ( C ) ? 2 ?
1

1 16

1 4

?

1 4

?

1 8

P (? ? 2 ) ? C P ( A ) P ( C ) ? P ( B ) P ( B ) ?
1 2

5 16

P (? ? 3 ) ? C 2 P ( A ) P ( C ) ?
1

1 4
5

; P (? ? 4 ) ? P ( A ) P ( A ) ?
? 3? 1 4 ? 4? 1 4 ? 5 2

1 4

? E? ? 0 ?

1 16

? 1?

1 8

? 2?

--------------------------------------------10 分

16

23. (1) f (1) ? 1 ; f ( ? 1) ? 0 . (2)对一切整数 n, f ( n ) 是否一定是整数.证明如下: ( 10 )先用数学归纳法证明:对一切正整数 n, f ( n ) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,结论成立,即 f ( k ) ? 当 n=k+1 时, f ( k ? 1) ?
0 5 1 4 2 3

*

1 5 1

k ?
5

1 2

k ?
4

1 3

k ?
3

1 30

k 是整数,则

1 5

( k ? 1) ?
5
3 2 4

1 2

( k ? 1) ?
4
5 0

1 3

( k ? 1) ?
3
4 1 3

( k ? 1)
2 2 1 4

30
2

? ?

C5 k ? C5k ? C5 k ? C5 k ? C5 k ? C5 5 C3 k ? C3k ? C3 k ? C3
0 3 1 2 2 3

?

C4 k ? C4k ? C4 k ? C 4k ? C 4

?

1 30

3

( k ? 1) = f ( k ) ? k ? 4 k ? 6 k ? 4 k ? 1
4 3 2

根据假设 f ( k ) 是整数,而 k 4 ? 4 k 3 ? 6 k 2 ? 4 k ? 1 显然是整数. ∴ f ( k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f ( n ) 是整数. ?????????????????7 分 ( 2 0 )当 n=0 时, f (0 ) ? 0 是整数.???????????????????????8 分 ( 3 0 )当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f ( m ) 是整数, 所以 f ( n ) ? f ( ? m ) ?
?? 1 5 m ?
5

1 5

(? m ) ?
5

1 2

(? m ) ?
4

1 3
4

(? m ) ?
3

1 30

(? m )

1 2

m ?
4

1 3

m ?
3

1 30

m = ? f ( m ) ? m 是整数.

综上,对一切整数 n, f ( n ) 一定是整数.????????????????????10 分


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