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四川省眉山市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(第3课时)讲义 新人教A版必修1_图文

1.3.1单调性与最大(小)值 (第3课时)

?复习回顾
1、增函数/减函数:
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2), 那么就说 f(x) 在区间D上是增函数.
2、最大值/最小值
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
最大值 ymax=f(x0) 最小值 ymin=f(x1)

复习回顾

D 1、下列说法正确的是( )

A.若存在x1, x2 ? D,当x1 ?

x


2



f

(

x1

)

?

f ( x2 ),则f ( x )是

区 间 D上 的 增 函 数 ;

B.函数y ? ? 1 在定义域上是增函数; x
C .定义在R上的函数f ( x )对任意两个不相等的实数a、b,

均有 f (a) ? f (b) ? 0,则f ( x )是R的增函数; a?b
D.函数f ( x )是R上的增函数,且f (2m ) ? f (?m ? 9),则

实数m的取值范围是(3, ?? ).

单调性结论:
增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数

三、例题讲解
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期 望在它达到最高点时暴裂,如果烟花距地面的高度hm与 时间t s之间的关系为h(t)??4.9t2?14.7t?18,那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高 度是多少(精确到1m) ?
分析:函数 的图象如右 显然,函数图象的顶点就是烟花上 升的最高点,
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻, 纵坐标就是这时距地面的高度。

解:由二次函数的知识,
h?t???4.9t2 ?14.7t?18 ??4.9(t?1.5)2?116.1
4
由 图 象 可 得 : 当 t? ?1 4 .7? 1 .5 时 , 函 数 有 最 大 值 为 2 ? ( ? 4 .9 )

4?(?4.9)?18?14.72

h?

?29(m)

4?(?4.9)

答:烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻,距地面的

高度约为29m。

?复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出 f(x)
的一个大致的图象,从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个 最小值 .

y
ab O c

b 在[a, c]上,当x ? ______时,
函数有最_小_____值.
x

y

ab O c

b 在[a, c]上,当x ? ______时,
x 函数有最__大____值.

3、求二次函数f ( x) ? x2 ? 2x+2在下列区间内的最值。

(1) R 当x ? 1时,函数有最小值为1;
最大值不存在.

(2) [ ? 1,0] 当x ? 0时,函数有最小值为2;
当x ? ?1时,函数有最大值为5.

y y ? x2 ? 2x+2

(3) [2,3] 当x ? 2时,函数有最小值为2; 4

3

当x ? 3时,函数有最大值为5.

2

(4) [0,3] 当x ? 1时,函数有最小值为1;

1

当x ? 3时,函数有最大值为5.

-1 O 1 2 x

求二次函数在区间[a, b]上的最值步骤 : (1)判断开口方向;(2)判断区间与对称轴位置关系; (3)找出最值点.(4)不单调时,应判断区间两端点到对称轴距离的大小关系

归纳:
y
p qO y
O pq

二次函数:y ? ax2 ? bx+c(a ? 0) 在闭区间[ p, q]上的最值

x

当p<q< ?

b 2a

时,ymin

?

f (q),ymax

?

f ( p)

x



?

b 2a

<p<q时,ymin

?

f ( p),ymax

?

f (q)

y pO

当p

?

?

b 2a

<q时,ymin

?

4ac ? 4a

b2



q x ymax ? f (q)(若f (q)>f (p))

或ymax ? f (p)(若f (q)<f (p))

三单 、调 例函 题数 讲在 解 闭 区 间 上 的 最 值 必 在 端 点 处 取 得
例4 判断函数f ( x) ? 2 ? x ??2, 6??的单调性,求最值. x ?1

解 : 任 取 x 1 , x 2 ? [ 2 ,6 ] , 且 x 1 < x 2 ,

22 f(x1)?f(x2)?x1?1?x2?1?

2(x2 ? x1) (x1 ?1)(x2 ?1)

由 2?x1<x2?6得 : x 2 ? x 1 ? 0 , x 1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ,

? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) > 0 , 即 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ,

? f(x)=2是 [2,6]上 的 减 函 数 . x?1
因 此 , f(x)m ax?f(2)?22 ?1?2, f(x)min?f(6)?62?1?5 2.

变式练习

1、函数f

(x)

?

2 在区间[?3, ?2]上的最大值 x ?1

?__12__,

最小值 _?__2__

2、函数f

3 (x)

?

x x

? ?

1 1

在区间[?3,

?2]上的最大值

1 _2___,

最小值 __1___ ,函数f ( x)的值域是 _[_1_,_1_]

3

32

分析:f ( x) ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? 2 ? 1 ? 2

x ?1 x ?1

x ?1

题型一:根据函数单调性求最值

例1、函数f ( x) ? x ? 1 x
(1)在区间(0,1]上是单调递 _减___,最大值不__存__在, 最小值 __2__

(2)在区间[1, 2]上是单调递 _增___,最大值 __5__,最小值 __2__

(3)在区间(0, ??)上函数的值域 _[2__,_?_?__)_ 2

(4)若f ( x) ? a在区间[1, 2]上恒成立,

y

则实数a的取值范围___( 25__,_?_?_)___

f

( x1) ?

f

( x2 )

?

( x1

?

1 x1

)

?

(

x2

?

1 )
x2

?

( x1

?

x2 ) ?

1 x1

?

1 x2

?

( x1

?

x2 ) ?

x2 ? x1 x1 x2

O1

x

?

( x1

?

x2 )(1 ?

1 x1 x2

)

?

( x1

?

x2 ) ?

x1x2 ? 1 x1 x2

?二次函数的单调性与最值

探究:二次函数y ? ax2 ? bx ? c的单调性

y

y

O

x

x?? b 2a
当a ? 0时,开口向上,
单调递增区间:[? b , ??) 2a
单调递减区间:(??, ? b ] 2a

O

x

x?? b 2a
当a ? 0时,开口向下,
单调递增区间:(??, ? b ] 2a
单调递减区间:[? b , ??) 2a

题型二:由二次函数单调性求参数范围

例2 函数f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2在区间(??, 4]上是减函数, 求实数a的取值范围.

解:f ( x) ? x2 ? 2(a ?1)x ? 2 ? [ x ? (a ?1)]2 ? (a ? 1)2 ? 2

函数图象开口向上,对称轴为直线x ? 1? a,

函数f ( x)在区间(??, 4]上是减函数,

y

?1? a ? 4,解得a ? ?3, ?a的取值范围是{a | a ? ?3}.

O

x

x ?1? a

题型二:由二次函数单调性求参数范围

P30 - 例3 函数f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3在区间[1, 2]上单调,

求实数a的取值范围.

解:f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 ? ( x ? a)2 ? a2 ? 3 函数图象开口向上,对称轴为直线x ? a, 函数f ( x)在区间[1, 2]上单调, ?当f ( x)在[1, 2]上单调递减时,有a ? 2,

y

2

O1

x

x?a

y

当f ( x)在[1, 2]上单调递增时,有a ? 1, ?a的取值范围是{a | a ? 2,或a ? 1}

1

O

2x

x?a

五、小结归纳
1、最大值/最小值
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在,则都是唯一的,但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值, 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值,关键是先判断函数的 单调性。

作业: 1、(作业本)课本P44 复习参考题 A组 第9题
B组 第4题
思考题:求函数f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3在区间[1, 2]上的最值.

思考题:求函数f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3在区间[1, 2]上的最值.
解:f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 ? ( x ? a)2 ? a2 ? 3 函数图象开口向上,对称轴为直线x ? a, (1)当a ? 2,f ( x)在[1, 2]上单调递减,此时, 最大值ymax ? f (1) ? ?2a ? 2,最小值ymin ? f (2) ? ?4a ? 1
(2)当a ? 1,f ( x)在[1, 2]上单调递增,此时, 最大值ymax ? f (2) ? ?4a ? 1, 最小值ymin ? f (1) ? ?2a ? 2 (3)当1 ? a ? 2,f ( x)在[1, 2]上先减后增,最小值ymin ? f (a) ? ?a2 ? 3
若a ? 1.5,最大值ymax ? f (2) ? ?4a ? 1 若a ? 1.5,最大值ymax ? f (1) ? ?2a ? 2 若a ? 1.5,最大值ymax ? f (1) ? f (2) ? ?5


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