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2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版选修2-1资料


2016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的 计算课后演练提升 北师大版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA⊥面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成角等 于( ) A.45° B.30° C.90° D.60° 解析: 作出图形,建立如右图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则: A(0,0,0),C(1,1,0),F(0,0,1),B(0,1,0), ∴A C =(1,1,0),B F =(0,-1,1), ∴|A C |= 2,|B F |= 2,A C ·B F =-1, -1 1 → → cos〈A C ,B F 〉= =- , 2 2· 2 ∴〈A C ,B F 〉=120°. 又异面直线所成角的取值范围为(0,90°]. ∴AC 与 BF 所成角为 60°.故选 D. 答案: D 2.若平面 α 的法向量为 u,直线 l 的方向向量为 v,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ,则 下列关系式成立的是( ) u·v |u·v| A.cos θ = B.cos θ = |u||v| |u|·|v| u·v |u·v| C.sin θ = D.sin θ = |u|·|v| |u|·|v| 解析: u 与 v 的夹角的余角才是直线 l 与平面 α 所成的角,因此选 D. 答案: D 3.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2,则直线 BC1 和平面 DBB1D1 夹角的 正弦值为( ) 3 5 A. B. 2 2 10 10 D. 5 10 解析: 以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系, C.

















则 A(4,0,0),C(0,4,0),B(4,4,0),C1(0,4,2), → → ∴AC=(-4,4,0),BC1=(-4,0,2), → 易知AC为平面 DBB1D1 的一个法向量,设 BC1 与平面 DBB1D1 的夹角为 α , 16 10 → → 则 sin α =|cos〈AC,BC1〉|= = ,选 C. 5 4 2·2 5 答案: C 4.平面 α 的一个法向量为 n1=(4,3,0),平面 β 的一个法向量为 n2=(0,-3,4),则
1

平面 α 与平面 β 夹角的余弦值为( ) 9 9 A.- B. 25 25 7 C. D.以上都不对 25 n1·n2 9 解析: cos〈n1,n2〉= =- , |n1||n2| 25 9 ∴平面 α 与平面 β 夹角的余弦值为 .故选 B. 25 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是________.

解析: 以 D 为原点,分别以射线 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴的非负半轴建立空间 1? → ? 1 1? ?1 1 ? ?1 直角坐标系 Dxyz,设正方体的棱长为 1,则 E? , ,1?,F? ,0, ?,E F =?0,- ,- ?, 2? 2 2? ?2 2 ? ?2 ?

→ → E F ·D C 2 → → → D C =(0,1,0),所以 cos〈E F ,D C 〉= =- , → → 2 |EF|·|DC| → → 所以〈E F ,D C 〉=135°, 所以异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°.
答案: 45° 6.已知平面 α 过定点 A(1,2,1),且法向量为 n=(1,-1,1).已知平面外一点 P(-1, -5,-1),求 PA 与平面 α 所成角的正弦值________. 解析: P A =(2,7,2), 2×1+7×?-1?+2×1 -3 19 → 则 cos〈P A ,n〉= = =- . 19 3· 4+49+4 3 19 设 PA 与平面 α 所成角为 θ ,则 sin θ =|cos〈P A ,n〉|= 答案:





19 . 19

19 19 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异面直线 BA1 和 AC 的夹角. → → → 解析: 方法一:因为BA1=B A +BB1,

→ → → A C =A B +B C , → → → → → → 所以BA1·A C =(B A +BB1)·(A B +B C ) → → → → → → → → =B A ·A B +B A ·B C +BB1·A B +BB1·B C . 因为 AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC, → → → → → → → → 2 所以 B A ·B C =0,BB1·A B =0,BB1·B C =0,B A ·A B =-a ,

2

→ → 2 所以BA1·A C =-a . → → 2 BA1·A C -a 1 → → 又 cos〈BA1,A C 〉= = =- , → → 2 2a× 2a |BA1|·|A C | → → 所以〈BA1,A C 〉=120°,所以异面直线 BA1 和 AC 的夹角为 60°.

方法二:分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系, 则 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a). → → ∴BA1=(0,-a,a),A C =(-a,a,0). → → BA1·A C → → ∴cos〈BA1,A C 〉= → → |BA1|·|A C | 2 -a 1 = =- . 2 2 2 2a · 2a → → ∴〈BA1,A C 〉=120°. ∴异面直线 BA1 和 AC 的夹角为 60°.

8.在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC= 1 1,AD= ,求平面 SCD 与平面 SBA 夹角的正切值. 2 ?1 ? C(1,1,0)、 解析: 建立如图所示空间直角坐标系, 则 A(0,0,0)、 D? ,0,0?、 S(0,0,1), ?2 ? → ?1 ? 易知平面 SAB 的一个法向量是AD=? ,0,0?. ?2 ? 设 n=(x,y,z)是平面 SCD 的法向量, → → 则 n⊥DC,n⊥DS, → → 即 n·DC=0,n·DS=0, → ?1 ? → ? 1 ? 又DC=? ,1,0?,DS=?- ,0,1?, ?2 ? ? 2 ? 1 1 ∴ x+y=0,且- x+z=0. 2 2 1 1 ∴y=- x,且 z= x. 2 2 ∴n=?x,- , ?. 2 2? ?
3

?

x x?

1 1? ? 取 x=1,得 n=?1,- , ?. 2 2? ? → AD·n → ∴cos〈AD,n〉= → |AD||n| 1 2 6 = = . 3 1 1 1 × 1+ + 2 4 4 设两平面夹角为 θ ,即 cos θ = ∴tan θ = 2 . 2 6 , 3

? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 π? ? AB 的中点,且 AC=BC=a,∠VDC=θ ?0<θ < ?. 2? ? (1)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; π (2)试确定角 θ 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 的夹角为 . 6

解析: (1)证明:以 C 为原点.以 CA,CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建

? ? 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 C(0,0,0) , A(a,0,0) , B(0 , a,0) , D ? , ,0? , ?2 2 ?
a a V?0,0,

? ?

2 ? atan θ ?, 2 ?

2 ? → ?a a ? → → ?a a 于是,VD=? , ,- atan θ ?,CD=? , ,0?,AB=(-a,a,0). ?2 2 ? 2 2 2 ? ? 1 2 1 2 → → ?a a ? 从而AB·CD=(-a,a,0)·? , ,0?=- a + a +0=0,即 AB⊥CD. 2 2 2 2 ? ? 1 2 1 2 2 ?a a ? → → 同理AB·VD=(-a,a,0)·? , ,- atan θ ?=- a + a +0=0,即 AB⊥VD. 2 2 2 ?2 2 ? 又 CD∩VD=D, ∴AB⊥平面 VCD.又 AB? 平面 VAB. ∴平面 VAB⊥平面 VCD. (2)设平面 VAB 的一个法向量为 n=(x,y,z), -ax+ay=0 ? ? → → 则由 n·AB=0,n·VD=0,得?a a 2 x+ y- aztan θ =0 ? 2 ?2 2 2 ? ? → 可取 n=?1,1, ?,又BC=(0,-a,0), tan θ ? ?
4



→ n·BC ? π ? ? ?= 于是 sin = → ? 6 ? ?|n|·|BC|? a· 即 sin θ = 2 . 2

a
2 2+ 2 tan θ



2 sin θ , 2

π π ∵0<θ < ,∴θ = . 2 4 π π 故当 θ = 时,直线 BC 与平面 VAB 的夹角为 . 4 6

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