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顺义区2011-2012高三一模(理科)数学试题

顺义区 2012 届高三第一次统练 高三数学(理科)试卷 三 题号 得分 一. 选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四 个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知全集 U = R , M = { x | 0 < x < 3} , N = { x | x ≥ 2} , M I (CU N ) = ( A. { x | 0 < x < 2} B. { x | 0 < x < 3} C. { x | 2 ≤ x < 3} D. { x | x < 3} ( C. ?2 + i D. ?2 ? i ) ) 一 二 15 16 17 18 19 20 总分 2012.1

2.已知 i 为虚数单位,则 i(2i + 1) = A. 2 + i B. 2 ? i

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ( 0, +∞ ) 上单调递减的函数为 ( A. f ( x) = x ?1 B. f ( x) = cos x C. f ( x) = 2 x D. f ( x) = log 1 x
2

)

4. 执行右边的程序框图,若 p = 4 , 则输出的 S 值为 (
3 4 15 C. 16

)
7 8 31 D. 32

输输p

A.

B.

n=0,S=0

n<p?
是 n=n+1



输输S

1

S=S+

1 2n

5.在直角坐标系 xoy 中,极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,已 知圆 C 的参数方程为: ? 心的极坐标为 A. (1, ? )
2

? x = cos α ? y = 1 + sin α

(α 为参数, α ∈ R ) ,则此圆圆

( B. (1, 0)

) C. (1, )
2

π

π

D. (1, π )

6. 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 a5 + a6 > 0 是 S8 ≥ S 2 的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7.10 名同学进行队列训练,站成前排 3 人后排 7 人,现体育教师要从 后排 7 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同 调整方法的总数为 A. C72 A55 B. C72 A52 ( ) C. C72 A32 D. C72 A42

8.已知映射 f : P(m, n) → P ' ( m , n ) (m ≥ 0, n ≥ 0) .设点 A(1,3), B(3,1) ,点 M 是线段 AB 上一动点, f : M → M ' ,当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运 动到点 B 时,点 M 的对应点 M ' 所经过的路线长度为 ( A.
π
6

)

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横 线上) 9.已知 sin α =
5 ,则 cos 2α = _____________. 5

2

10. 抛 物 线 y 2 = 16 x 的 焦 点 F 的 坐 标 为 __________, 点 F 到 双 曲 线
x 2 ? 3 y 2 = 12 的渐近线的距离为______________.

11. ( x ? )6 的展开式中,常数项为_____________.

2 x

12.如图所示: AB 是半径为 1 的圆 O 的直 径,BC ,CD 是圆 O 的切线,B, D 为切点, 若 ∠ABD = 300 , 则 AD ? OC 的 值 为 ________________.
O

A D

B

C

13. 已 知 两 个 非 零 向 量 a = (m + 1, n ? 1) ,
r r r b = (m + 3, n ? 3) ,且 a 与 b 的夹角为钝角或直角,则 n ? m 的取值范围

r

是________________. 14.已知函数 f ( x) =
x ( x ∈ R ),给出下列命题: 1+ x

(1)对 ?∈ R ,等式 f (? x) + f ( x) = 0 恒成立; (2)函数 f ( x) 的值域为 ( ?1,1) ; (3)若 x1 ≠ x2 ,则一定有 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ; (4)函数 g ( x) = f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确命题的序号为___________ (把所有正确命题的序号都填上)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤)
3

15. (本小题共 13 分) 已知向量 a = (
r r
r

r 3 1 , ? ) , b = (1, 3) . 2 2

(Ⅰ)求证 a ⊥ b ; (Ⅱ)如果对任意的 s ∈ R + ,使 m = a + (1 + 2s)b 与 n = ?k a + (1 + )b 垂直, 求实数 k 的最小值
u r r r
r r 1 r s

. 16. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = 4 sin x cos( x ? ) ? 3 ( x ∈ R )
3

π

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与对称轴方程;
π (Ⅱ)求 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? ?
?
2?

4

17. (本小题共 13 分) 某学校教学实验楼有两部电梯,每位教师选择哪部电梯到实验室 的概率都是 ,且相互独立,现有 3 位教师准备乘电梯到实验室. (Ⅰ) 求 3 位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率; (Ⅱ)若记 3 位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为 ξ ,求 ξ 的分 布列和数学期望.
1 2

18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) = ( x + 1)e kx ,( k 为常数, k ≠ 0 ). (Ⅰ)当 k = 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 ( 0,1) 上是单调增函数,求实数 k 的取值范围.

5

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 G : 标原点. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 是椭圆 G 上的两点, = ( 1 , 1 ) ,n = ( 2 , m
u r r u r x y a b r x y2 ). a b

3 x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 e = ,短轴长为 2 ,O 为坐 2 a b 2

若 m ? n = 0 ,试问 V AOB 的面积是否为定值?如果是请给予证明,如 果不是请说明理由.

20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) =
16 x + 7 ,数列 {an } , {bn } 满足 a1 > 0 , b1 > 0 , 4x + 4

a n = f (a n ?1 ) , bn = f (bn?1 ) , n = 2,3 ???

(Ⅰ)若 a1 = 3 ,求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 a1 的取值范围,使得对任意的正整数 n, 都有 a n+1 > a n ; (Ⅲ)若 a1 = 3, b1 = 4, 求证: 0 < bn ? a n ≤
1 8 n ?1

, n = 1, 2, 3 ???

6