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高中数学必修4三角函数图像变化1.5图像变换_图文

必修4---1.5 函数y=Asin(?x+?) 的图像

学习目标
素养 思想 过程 方法 知识 技能
?观察图像发现性质,体会数形结合的数学思想 ?画出几个图像总结规律,是由特殊到一般的化归思想

?一个参数一个性质,解决问题抓主要矛盾的思维方式
?巩固旧知识,牢记列表、描点、连线这一作图的基本要求, 并在作图过程中按要求作图 ?通过观察图像,发现规律,在小组讨论协作下总结提练,并 加以应用

?通过在同一个坐标系内对比相关的几个函数图像,找出三个参 数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 ?总结出由y=sinx的图像得到y=Asin(ωx+φ)的图象的具体操作, 给出具体函数能说出要做的变化,正确率达到70%

复习回顾
x
2x+
? 3

?

?
6
0

? sin(2x+ 3

? 12 ? 2
1

?
3

?
0 0

7? 12 3? 2
?1

5? 6
2?

)
? ) 3

0 0

0 0

y=3sin(2x+ y=sinx y=3sin(2x+

3

?3

(0,0)
? ) 3

( ,1) 2 (

?

(? ,0)
( ,0 ) 3

(

3? ,?1) 2

(2? ,0)
5? ( ,0 ) 6

(?

?
6

,0)

?
12

,3)

?

7? ( ,?3) 12

y=sinx
? 3

(0,0)

( ,1) 2 (

?

(? ,0)
( ,0 ) 3

(

3? ,?1) 2 7? ,?3) 12

(2? ,0)
( 5? ,0 ) 6

y=3sin(2x+ ) (? ,0)
6

?

?
12

,3)

?

(

y
3

? 2 y=3sin(2x+ ) 3
1

y=sinx
?
2?

? ? 6

o

-1

? 3

7? 12

5? 6

x

-2 -3

问题引领
问题1 新图像与y=sinx图像 有什么区别? 问题2 函数的哪个性质改变 了,变成了什么样? 问题3 绘制图像的“五点” 坐标有哪些改变?

知识 目标

?通过在同一个坐标系内对比相关的几个函数图像,

找出三个参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图
象的影响

问题回答
问题1

★图像的位置向x轴负半轴移动了,图像 发生了“平移” ★图像一个周期的宽窄发生了变化,也就 是图像的“周期”改变了

新图像与y=sinx图像 有什么区别?

图像

★图像的最高点与最低点之间的距离 改变了,我们将这个距离称之为 “振幅”

从这几个方面 回答!

性质

坐标

y=sinx
? 3

(0,0)

( ,1) 2 (

?

(? ,0)
( ,0 ) 3

(

3? ,?1) 2 7? ,?3) 12

(2? ,0)
( 5? ,0 ) 6

y=3sin(2x+ ) (? ,0)
6

?

?
12

,3)

?

(

y
3

? 2 y=3sin(2x+ ) 3
1

y=sinx
?
2?

? ? 6

o

-1

? 3

7? 12

5? 6

x

-2 -3

问题回答
问题 问题 1 2

★图像的位置向x轴负半轴移动了,图像 发生了“平移” ★图像一个周期的宽窄发生了变化,也就 是图像的“周期”改变了

新图像与y=sinx图像 函数的哪个性质改变 有什么区别? 了,变成了什么样?

图像

★图像的最高点与最低点之间的距离 改变了,我们将这个距离称之为 “振幅”

从这几个方面 回答!

性质
★图像的位置变化了,相应的对称轴、单 调区间的数值也变化了 ★周期变化了,按照公式计算可得周期为π ★ “振幅”的改变使得函数的最值发生了 变化,最大值变为3,最小值变为-3

坐标

y=sinx
? 3

(0,0)

( ,1) 2 (

?

(? ,0)
( ,0 ) 3

(

3? ,?1) 2 7? ,?3) 12

(2? ,0)
( 5? ,0 ) 6

y=3sin(2x+ ) (? ,0)
6

?

?
12

,3)

?

(

y
3

? 2 y=3sin(2x+ ) 3
1

y=sinx
?
2?

? ? 6

o

-1

? 3

7? 12

5? 6

x

-2 -3

问题回答
问题 问题 1 3 2

★图像的位置向x轴负半轴移动了,图像 发生了“平移” ★图像一个周期的宽窄发生了变化,也就 是图像的“周期”改变了

新图像与y=sinx图像 绘制图像的“五点” 函数的哪个性质改变 有什么区别? 了,变成了什么样? 坐标有哪些改变?

图像

★图像的最高点与最低点之间的距离 改变了,我们将这个距离称之为 “振幅”

从这几个方面 回答!

性质
★图像的位置变化了,相应的对称轴、单 调区间的数值也变化了 ★周期变化了,按照公式计算可得周期为π ★ “振幅”的改变使得函数的最值发生了 变化,最大值变为3,最小值变为-3

坐标
★点的坐标也相应的发生了变化,横坐标 变了,纵坐标也变了。

y=sinx
? 3

(0,0)

( ,1) 2 (

?

(? ,0)
( ,0 ) 3

(

3? ,?1) 2 7? ,?3) 12

(2? ,0)
( 5? ,0 ) 6

y=3sin(2x+ ) (? ,0)
6

?

?
12

,3)

?

(

y
3

? 2 y=3sin(2x+ ) 3
1

y=sinx
?
2?

? ? 6

o

-1

? 3

7? 12

5? 6

x

-2 -3

目标升华
知识 目标
?通过在同一个坐标系内对比相关的几个函数图像, 找出三个参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象 的影响

思想 素养 学会解决问题时抓 主要矛盾,一个参 数一个参数的突破

分化突破
y=sin(x+φ)

y=sinωx
y=Asinx

目标升华
过程 目标
通过观察图像,发现规律,在小组讨论协作下 总结提练,并加以应用

数学 思想 观察画出的几个图像总结 规律,体会由特殊到一般 的化归思想

问题设置
问题1

图像
从这几个方面 回答!

新图像与y=sinx图像 有什么区别?

性质
问题2 函数的哪个性质改变 了,变成了什么样?

坐标
问题3 绘制图像的“五点” 坐标有哪些改变?

小组讨论
1、φ、ω、A对图像有什么 2、要画出新函数图像, 影响?从“图像”、“性质”、 可以由y=sinx的图像通过 “点的坐标”三方面回答 怎样的变化得到?

问题 引领

讨论 要求

1、对照本组所做的图像,从“图像”、“性质”、“点 的坐标”三方面回答参数对图像的影响 2、再总结出一句话,说明要画出新函数图像,可 以由y=sinx的图像通过怎样的变化得到? 3、讨论时每个同学都要发言,组长负责将发言内 容整合汇总。

y=sin(x+φ)
y
y ? sin (x ?

?
3

? y ? sin( x ? ) 3
)

? y ? sin(x ? ) 6

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

y=sin(x+φ)
相位变换

y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? ? )

? ? 0 ,正弦曲线上所有的点向左平移 ?个单位 ? ? 0 ,正弦曲线上所有的点向右平移︱? ︱个单位

实践应用
练习:考虑下列函数是由函数y=sinx通过 何种办法变化而来?
? 1、y ? sin( x ? ) 4
7? 4、y ? sin( x ? ) 6 3? 2、y ? sin( x ? ) 4 4? 5、y ? sin( x ? ) 7 5? 3、y ? sin( x ? ) 6 3? 6、y ? sin( x ? ) 8

y=sinωx
y ? sin2 x
y
2

1 y ? sin x 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

y=sinωx
周期变换

y ? sin x ? y ? sin ? x

y ? f ( x) ? y ? f (? x)
正弦曲线上所有的点纵坐标不变,横坐标伸长
(0< ? <1) 或缩短( ? >1)为原来的 1/? 倍。

实践应用
练习:考虑下列函数是由函数y=sinx通过 何种办法变化而来?
1、y ? sin(5 x)
2 2、y ? sin( x) 3 1 3、y ? sin( x) 6

y=Asinx
1 (1) y=2sinx (2) y= sinx 2
y
y=2sinx
3? 2 ? 2

2 1
1

?2?

??

o1 -1 2 -2

2

x
2?
1 y= sinx 2

?

---振幅变换

y=Asinx
振幅变换

y ? sin x ? y ? A sin x

y ? f ( x) ? y ? Af ( x)
正弦曲线上所有的点横坐标不变,纵坐标伸

长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍。

实践应用
练习:考虑下列函数是由函数y=sinx通过 何种办法变化而来?
1、y ? 5 sin x
2 2、y ? sin x 3 1 3、y ? sin x 6

整合升华
参数φ 图像“位置” 发生变化, Φ>0,图像向左平移 Φ<0,图像向左平移 一句话结论: 原函数图像向左(右)平移 |Φ|个单位得到新图像 参数ω 图像“周期” 发生变化; ω >1,图像变宽, 0<Φ<1,图像变窄; 一句话结论: 原函数图像的纵坐标不变,横坐 1 标变为原来的 倍得到新图像 ? 参数A 图像振幅发生变化; A >1,图像变高, 0< A <1,图像变矮; 一句话结论: 原函数图像的横坐标不变,纵坐 标变为原来的A倍得到新图像

问题3:若要得到含多个参数的图像,要按什么顺序做?

? 例题:如何由y=sinx图象变换得到y=3sin(2x+ )的图象? 3 解: ?
(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

先平移,后伸缩,先横轴,后纵轴
? y=sin(x+ ) 的图象 3

(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 (3)横坐标不变



? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

纵坐标伸长到原来的3倍

质疑反思
先平移,后伸缩,先横轴,后纵轴 φ ω A

如果改变顺序呢? ω φ A


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