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2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)含答案_图文

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 1. 复数 ( 2 ? i ) 2 等于( ) A. 3 ? 4i 2. B. 5 ? 4i C. 3 ? 2i D. 5 ? 2i )

已知集合 M ? {1,2,3,4} , M ? {?2,2} ,下列结论成立的是( A. N ? M
?

B. M ? N ? M
?

C. M ? N ? N
? ?

D. M ? N ? {2} )

3.

已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? ?

1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

D. x ? 0 )

4.

一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 )

5.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 (3,0) ,则该双曲线的离心率等于( a2 5
B.

A.

3 14 14

3 2 4

C.

3 2

D.

4 3


6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于( A. ? 3 B. ? 10 C.0 D. ? 2

7.直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于( ) A. 2 5 8.函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ? B. 2 3 C. 3 D.1 ) D. x ? ?

?
4

) 的图像的一条对称轴是(

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

?
2


?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 9.设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x) ? ? ,则 f ( g (? )) 值为( ?0, x为无理数 ?? 1, x ? 0 ?
A.1 B.0 C. ? 1 D. x ? ?

第 1页

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?x ? y ? 3 ? 0 ? 10.若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ) ?x ? m ?
A. ? 1 B.1 C.

3 2

D.2

11.数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos A.1006 B.2012

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S 2012 等于( 2
D.0



C.503

12. 已 知 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c , 且 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 现 给 出 如 下 结 论 : ① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 。 其中正确结论的序号是( A.① ③ B.① ④ ) D.② ④

C.② ③

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 13.在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60 , ?ABC ? 45 , BC ?
0 0

3 ,则 AC ? _______。

14.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出 一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______。 15.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________。
2

16.某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道 路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最 小。例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如图 2,此时铺设道 路的最小总费用为 10。 现 给 出 该 地 区 可 铺 设 道 路 的 线 路 图 如 图 3 , 则 铺 设 道 路 的 最 小 总 费 用 为 ____________ 。

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8 , {an } 的前 10 项和 S10 ? 55。 (Ⅰ )求 an 和 bn ; (Ⅱ )现分别从 {an } 和 {bn } 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。

18.(本小题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

(I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ?20, a ? y ? b x (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得 最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入—成本)

?

?

?

19.(本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1, AA ? 2 , M 为棱 DD1 上的一点。 1 (I)求三棱锥 A ? MCC1 的体积; (II)当 A1 M ? MC 取得最小值时,求证: B1 M ? ⊥ 平面 MAC 。

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20.(本小题满分 12 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin 2 (?130 ) ? cos2 480 ? sin(?18)0 cos480 ; (5) sin 2 (?250 ) ? cos2 550 ? sin(?25) 0 cos550 。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ )的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

21.(本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上。 (I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相交于点 Q 。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某 定点。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

? ?3 3 ? (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 。 2 2 2

(I)求函数 f (x ) 的解析式; (II)判断函数 f (x ) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。

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