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高一数学第二章基本初等函数(I)小结复习课


第二章 基本初等函数(I) 复 习

一.知识结构及知识梳理. ?n次方根及其性质 ? ?

? ? ? ? ?指数 ?根式及其性质 ? ? ? ? ?分数指数幂 ?指数与指数函数 ? ?有理数指数幂的运算性质 ? ? ? ? ? ?定义 ? ?指数函数 ? ? ? ?图象和性质 ? ? ? ? ?定义 ? 基本初等函数 ? ? ? ? ?对数 ?运算性质 ?对数换底公式 ?对数与对数函数 ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义 ? ? ? ? ?图象和性质 ? ? ? ? ?定义 ?幂函数 ? ? ?图象和性质 ?

二、基础知识梳理:
n 1.n 次方根: 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n th (

root)
?n a , n ? 2 k ? 1 ? (k ? N *) 2.正数 a 的 n 次方根的性质: x ? ? n ?? a , n ? 2k ?

3.式子 a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数. 4.根式运算性质: ① ②

n

( 在有意义的前提下 a) ? a ;
n n
n

?a, n为奇数; a ?? ?| a |, n为偶数
n

5.正数的正分数指数幂:
a ? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1 )
m n

6.正数的负分数指数幂:
a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)

7、

0 的分数指数幂: 0 的正分数指数幂为 0, 0 的负分数指数幂无意义

8.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,
均有下面的运算性质

1)a ? a ? a
r s r s

r?s

(a ? 0, r , s ? Q)

2)(a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q)
rs

3)(a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
9.指数函数:
函数 y ? a x (a>0 且 a≠1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.

10.指数函数的图象和性质:
a>1
6

0<a<1
6 5 5

图 象
1

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R,值域: (0,+∞) 性 (2)非奇非偶函数 质 (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1,即 a0=1 (4)a>1 时,a 越大越靠近 y 轴,0<a<1 时,a 越小越靠近 y 轴, (5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数

11.对数的定义:如果 a b ? N ( a ? 0且a ? 1 ),那么数 b 就叫做以 a 为 底的 N 的对数,记作 loga N ? b ,其中 N ? 0, b ? R

12.指数式与对数式的互化

13.常用的两种对数: (1)常用对数: log10 N =lgN (2)自然对数:无理数 e=2.71828…… loge N =lnN

14.几个常用结论: ⑴负数与零没有对数 ⑶ loga a ? 1 ⑵ loga 1 ? 0 , ⑷a
loga N

?N

15.对数的运算性质: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) 有: N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)

logm N loga N ? 16.对数换底公式: logm a
( 其中 a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0) 推论: ① loga

b ? logb a ? 1 ,
n b ? log a b ( m
n

loga b ? logb c ? logc a ? 1


log a m

a, b > 0 且均不为 1)
a

17.对数函数:函数 y ? log

x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函

数。其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .值域为 R

18.对数函数的概念、图象和性质.
函数性质

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为 R

loga 1 ? 0, 过定点?0,? 1
(0,+∞)增 (0,+∞)减
0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

规律:a>1 时底数越大越靠近 x 轴;0<a<1 时底数越小越靠近 x 轴;

19.幂函数定义:

y ? x ? 叫做幂函数其中 x 是自变量, ? 是常数。 函数
20.幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)α >0 时,幂函数的图象都通过原点,抛物线型图象, 并且在[0,+∞ ) 上是增函数; α <0 时,幂函数的图象都不过原点,双曲线型图象, 在区间(0,+∞)上是减函数.

(3)x≥1 部分各种幂函数图象,指数大的在指数小的上方; O<x<1 部分图象反之,此二部分图象在(1,1)点穿越 直线 y=x 连成一体.

三、应用举例.
题型一、指数与对数的运算问题

例1.计算
| ?0.01|
? 1 2

5 0 log3 2 2 ?(? ) ? 3 ? (lg 2) ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 8

三、应用举例.
题型二、指数函数与对数函数的奇偶性与单调性

例2.

e a 设a ? 0, f ( x) ? ? x 是R上的偶函数. a e 1)求a的值; 2)证明f ( x)在(0, ??)上是增函数.

x

三、应用举例.
题型三、指数函数与对数函数的最值与值域

例3. 已知函数f ( x) ? log a (1 ? x ) ? log a ( x ? 3)

(a ? 0且a ? 1) 1)求函数f ( x)的定义域; 2)求函数f ( x)的单调区间; 3)当0 ? a ? 1时, 求函数f ( x )的最小值.

三、应用举例.

例4.已知 2(log1 x) ? 7 log 1 x ? 3 ? 0
2



x x f ( x) ? (log 2 )(log 2 ) 4 2

2

2

的值域.

三、应用举例.
题型四、指数函数与对数函数的恒成立问题

1? 2 a 例5、设函数f ( x) ? lg (a ? R), 2 1)求函数f ( x)的定义域;
x

2)如果当x ? (??,1]时, f ( x)有意义, 求a的取值范围.





1.继续完成《作业本》及《成才之路》;

2.对本章知识复习整理、查漏补缺,准备 单元测验;


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