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3.3.1 两条直线的交点坐标与两条平行线间距离


3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1

两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

[学习目标]

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间距离公式并会应用. [知识链接] 直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式,它们的表现形式 分别为 y-y0=k(x-x0)、y=kx+b、 [预习导引] 1.两条直线的交点 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.若两直线的方程 ?A1x+B1y+C1=0 联立,得方程组? .若方程组有唯一解,则两条直线相交;若方 ?A2x+B2y+C2=0 程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程 已知直线 l1: A1x+B1y+C1=0 与直线 l2: A2x+B2y+C2=0 交于点 P(x0, y0), 则方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过点 P 的直线系, 不包括直线 l2. 3.两点间的距离 平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 4.两点间距离的特殊情况 y-y1 x-x1 x y = 、 + =1 及 Ax+By+C=0. y2-y1 x2-x1 a b

(1)原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= x2+y2. (2)当 P1P2∥x 轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|. (3)当 P1P2∥y 轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.

要点一 例1

两直线的交点问题

求经过两直线 l1:3x+4y-2=0 和 l2:2x+y+2=0 的交点且过坐标

原点的直线 l 的方程. 解 法一 ?3x+4y-2=0, 由方程组? ?2x+y+2=0,

?x=-2, 解得? 即 l1 与 l2 的交点坐标为(-2,2). ?y=2, ∵直线过坐标原点, ∴其斜率 k= 2 =-1. -2

故直线方程为 y=-x,即 x+y=0. 法二 ∵l2 不过原点,∴可设 l 的方程为 3x+4y-2+

λ(2x+y+2)=0(λ∈R), 即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入 上式,得 λ=1,∴直线 l 的方程为 5x+5y=0,即 x+y=0. 规律方法 (1)法一是常规方法,思路自然,但计算量稍大,法二运用了交

点直线系,是待定系数法,计算简单,但要注意判断原点(0,0)不能在直线 2x+y +2=0 上.否则,会出现 λ 的取值不确定的情形. (2)过直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 交点的直线系有两种: ①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0 可表示过 l1、l2 交点的所有直线; ②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 不能表示直线 l2. 跟踪演练 1 求经过直线 l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0 的交点且平行于

直线 2x+y-3=0 的直线方程. 解 法一 ?x+3y-3=0, ?x=0, 由? 得? ?x-y+1=0, ?y=1,

∴直线 l1 与 l2 的交点坐标为(0,1), 再设平行于直线 2x+y-3=0 的直线方程为 2x+y+c=0, 把(0,1)代入所求的直线方程,得 c=-1, 故所求的直线方程为 2x+y-1=0. 法二 设过直线 l1、l2 交点的直线方程为

x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R), 即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0, 由题意可知, λ+1 5 =-2,解得 λ=3, λ-3

8 4 4 所以所求直线方程为3x+3y-3=0, 即 2x+y-1=0. 要点二 例2 的形状. 解 法一 两点间距离公式的应用

已知△ABC 三顶点坐标 A(-3,1)、B(3,-3)、C(1,7),试判断△ABC

∵|AB|= ?3+3?2+?-3-1?2=2 13, |AC|= ?1+3?2+?7-1?2 =2 13, 又|BC|= ?1-3?2+?7+3?2 =2 26, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2, 且|AB|=|AC|, ∴△ABC 是等腰直角三角形.

法二

∵kAC=

7-1 -3-1 3 2 = ,k = =-3, 1-?-3? 2 AB 3-?-3?

则 kAC· kAB=-1,∴AC⊥AB. 又|AC|= ?1+3?2+?7-1?2=2 13, |AB|= ?3+3?2+?-3-1?2=2 13, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形. 规律方法 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形

的形状,以确定证明的方向. 2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要 考查是否为直角或等角; 二是要考虑三角形边的长度特征,主要考查边是否相等 或是否满足勾股定理. 跟踪演练 2 已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(-3,1)、

B(3,-3)、C(1,7). (1)求 BC 边上的中线 AM 的长; (2)证明△ABC 为等腰直角三角形. (1)解 y= 设点 M 的坐标为(x, y), 因为点 M 为 BC 的中点, 所以 x= 3+1 =2, 2

-3+7 2 = 2 , 即 点 M 的 坐 标 为 (2,2) . 由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 |AM| =

?-3-2?2+?1-2?2= 26,所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.

(2)证明

根据题意可得,

|AB|= ?-3-3?2+?1+3?2=2 13, |BC|= ?1-3?2+?7+3?2=2 26, |AC|= ?-3-1?2+?1-7?2=2 13, 所以|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC 为等腰直角三角形. 要点三 例3 证明 坐标法的应用

证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 如图所示,以顶点 A 为坐标原点,AB 边所在的直线为 x 轴,建立直

角坐标系,有 A(0,0).

设 B(a,0), D(b, c), 由平行四边形的性质得点 C 的坐标为(a+b, c), 因为|AB|2 =a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b- a)2+c2. 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2), |AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2). 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2. 规律方法 坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角

坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主 要有两点: ①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算; ②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为 中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为 坐标轴. 跟踪演练 3 已知:等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,对角线为 AC 和 BD.

求证:|AC|=|BD|. 证明

如图所示,建立直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点 D 的坐标是 (a-b,c). ∴|AC|= ?b-0?2+?c-0?2= b2+c2, |BD|= ?a-b-a?2+?c-0?2= b2+c2. 故|AC|=|BD|.

1.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标是(

)

A.(4,1) ?4 1? C.?3,3? ? ? 答案 C ?x+2y-2=0, 由方程组? ?2x+y-3=0, 4 ? ?x=3, 得? 1 y = ? ? 3.

B.(1,4) ?1 4? D.?3,3? ? ?

解析

即直线 x+2y-2=0 与直线

?4 1? 2x+y-3=0 的交点坐标是?3,3?. ? ? 2.已知 M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于( A.5 C. 13 答案 解析 A |MN|= ?2+1?2+?1-5?2=5. ) B. 37 D.4

3.经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点,且垂直于直线 x-2y=0 的直线的方程是( A.2x+y-8=0 C.2x+y+8=0 答案 解析 A 首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程 ) B.2x-y-8=0 D.2x-y+8=0

y-6=-2(x-1),即 2x+y-8=0. 4.已知两条直线 l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若 l1 与 l2 相交,则 实数 a 满足的条件是________. 答案 解析 a≠2 a 3 l1 与 l2 相交则有:4≠6,∴a≠2.

5.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于 ________. 答案 2 5

解析

设 A(x,0),B(0,y),∵AB 中点 P(2,-1),

x y ∴2=2,2=-1, ∴x=4,y=-2,即 A(4,0),B(0,-2), ∴|AB|= 42+22=2 5.

?A1x+B1y+C1=0 1.方程组? 有唯一解的等价条件是 A1B2-A2B1≠0.亦即两 ?A2x+B2y+C2=0 条直线相交的等价条件是 A1B2-A2B1≠0.直线 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)= 0(λ∈R)是过直线 l1: A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 交点的直线(不 含 l2). 2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用 方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法. 3.两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2与 两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.

一、基础达标 |AC| 1.已知 A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则|CB|的值为( 1 A.3 C.3 答案 解析 D 由两点间的距离公式, ) 1 B.2 D.2

得|AC|= [3-?-1?2]+?4-0?2=4 2, |AC| 4 2 |CB|= ?3-5?2+?4-6?2=2 2,故|CB|= =2. 2 2 2.两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,那么 k 的值为 ( )

A.-24 C.± 6 答案 解析 解得 k=± 6. 3.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( A.直角三角形 C.等边三角形 答案 解析 B ∵|AB|= 17,|AC|= 17,|BC|=3 2, ) C

B.6 D.24

k? k ? 在 2x+3y-k=0 中,令 x=0 得 y=3,将?0,3?代入 x-ky+12=0, ? ?

B.等腰三角形 D. 等腰直角三角形

∴三角形为等腰三角形.故选 B. 4.已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互为垂直,垂足为(1,p),则 m -n+p 为( A.24 C.0 答案 解析 ?p=-2, ? ?n=-12. ∴m-n+p=20. 5.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为________. 答案 解析 1 或-5 由题意得 ?a+2?2+?3+1?2=5, B ?10+4p-2=0, 由垂直性质可得 2m-20=0, m=10.由垂足可得? 得 ?2-5p+n=0, ) B.20 D.-4

解得 a=1 或 a=-5. 6.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 k 的 取值范围是________. 答案 ? 3 ? ? ,+∞? 3 ? ?

解析

?y=kx- 3, 由? ?2x+3y-6=0,

3 3+6 ? ?x= 2+3k , 得? 6k-2 3 y= ? ? 2+3k .

由于交点在第一象限,故

3 x>0,y>0,解得 k> 3 . 7.在直线 l:3x-y+1=0 上求一点 P,使点 P 到两点 A(1,-1),B(2,0)的 距离相等. 解 法一 设 P 点坐标为(x,y),

由 P 在 l 上和点 P 到 A,B 的距离相等建立方程组 ?3x-y+1=0, ? 2 2 2 2 ? ?x-1? +?y+1? = ?x-2? +y , ?x=0, 解得? ?y=1, 所以 P 点坐标为(0,1). 法二 设 P(x,y),两点 A(1,-1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为 x

+y-1=0.① 又 3x-y+1=0,② ?3x-y+1=0, ?x=0, 解由①②组成的方程组? 得? ?x+y-1=0, ?y=1, 所以所求的点为 P(0,1). 二、能力提升 8.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A,B,则|AB| 的值为( 89 A. 5 答案 解析 C 直线 3ax-y-2=0 过定点 A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0,过 ) 17 B. 5 13 C. 5 11 D. 5

2? 13 ? 定点 B?-1,5?,由两点间的距离公式,得|AB|= 5 . ? ? 9.直线 x+ky=0,2x+3y+8=0 和 x-y-1=0 交于一点,则 k 的值是( )

1 A.2 C.2 答案 解析 B

1 B.-2 D.-2

?2x+3y+8=0 由方程组? 得直线 2x+3y+8=0 与 x-y-1=0 的交点 ?x-y-1=0

1 坐标为(-1,-2)代入直线 x+ky=0 得 k=-2. 10. 若动点 P 的坐标为(x,1-x), x∈R, 则动点 P 到原点的最小值是________. 答案 解析 值为 2 2 由距离公式得 x2+?1-x?2= 2x2-2x+1= ? 1? 1 2?x-2?2+2,∴最小 ? ?

1 2 = 2 2.

11. (1)求过两直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点且与第一条直线垂直 的直线方程. (2)求经过直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点, 且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程. 解 (1)法一 ?3x+y-1=0, 由? ?x+2y-7=0,

?x=-1, 得? 即交点为(-1,4). ?y=4, ∵第一条直线的斜率为-3,且两直线垂直, 1 ∴所求直线的斜率为3. 1 ∴由点斜式得 y-4=3(x+1), 即 x-3y+13=0. 法二 设所求的方程为 3x+y-1+λ(x+2y-7)=0,

即(3+λ)x+(1+2λ)y-(1+7λ)=0, 由题意得 3(3+λ)+(1+2λ)=0, ∴λ=-2,代入所设方程得 x-3y+13=0.

(2)设直线方程为 3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0, 即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0. 令 x=0,得 y= 令 y=0,得 x= 由 7λ-6 ; 2+5λ 7λ-6 . 3+2λ

7λ-6 7λ-6 1 6 = ,得 λ=3或 λ=7. 2+5λ 3+2λ

直线方程为 x+y+1=0 或 3x+4y=0. 三、探究与创新 12.求函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值.



原式可化为

y= ?x-4?2+?0-2?2+ ?x-0?2+?0-1?2. 考虑两点间的距离公式,如图所示,令 A(4,2),B(0,1),P(x,0),则上述问题 可转化为:在 x 轴上求一点 P(x,0), 使得|PA|+|PB|最小. 作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A′(4,-2), 由图可直观得出 |PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 故|PA|+|PB|的最小值为|A′B|的长度. 由两点间的距离公式可得 |A′B|= ?4-0?2+?-2-1?2=5, 所以函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值为 5. 13.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(4,0),一条河 所在直线方程为 l:x+2y-10=0,若在河边 l 上建一座供水站 P 使之到 A,B 两 镇的管道最省,问供水站 P 应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?



如图所示, 过 A 作直线 l 的对称点 A′, 连接 A′B 交 l 于 P, 因为若 P′(异 于 P)在直线 l 上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|. 因此,供水站只能在点 P 处,才能取得最小值. 设 A′(a,b),则 AA′的中点在 l 上,且 AA′⊥l, a+1 b+2 ? + 2 × ? 2 2 -10=0, 即? b-2 ? 1? ?-2?=-1, ? ? ? ?a-1· ?a=3, 解得? 即 A′(3,6). ?b=6, 所以直线 A′B 的方程为 6x+y-24=0, ?6x+y-24=0, 解方程组? ?x+2y-10=0, 38 x = ? ? 11, 得? 36 y = ? ? 11. ?38 36? 所以 P 点的坐标为?11,11?. ? ? ?38 36? 故供水站应建在点 P?11,11?处, ? ? 此时|PA|+|PB|=|A′B|= ?3-4?2+?6-0?2 = 37.


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