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3-2-1导数与函数的单调性_图文

第三章 导数及其应用 §3.2 导数的应用
1.函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导,则: (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内__单__调__递__增_; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_单__调___递__减_; (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是__常__数__函__数_.
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第三章 导数及其应用
2.函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 他点的函数值_都__小__,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 __f′_(x_)_<_0__,右侧___f′_(x_)_>_0__,则点a叫做函数的极小值点, f(a)叫做函数的极小值.
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第三章 导数及其应用
(2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其 他点的函数值_都__大__,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 __f_′(_x_)_>_0__,右侧__f_′(_x_)_<_0_,则点b叫做函数的极大值点, f(b)叫做函数的极大值.
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第三章 导数及其应用
3.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_连__续__不__断_ 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的_极__值__; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比 较,其中_最__大__的一个是最大值,_最__小__的一个是最小值.
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第三章 导数及其应用
【思考辨析】 判 断 下 列 结 论 是 否 正 确 ( 请 在 括 号 中 打 “√” 或
“×”) (1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a
,b)上一定有f′(x)>0.( ) (2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) (3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.
() (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不
一定是极小值.( )
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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b) 上有f′(x)≥0,故(1)错.
(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,(2)错. (3)如f(x)=x3,当x=0时,f′(x)=0,而函数f(x)在R上为 增函数,所以x=0不是极值点,故(3)错. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
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第三章 导数及其应用

1.(教材改编)f(x)=x3-6x2的单调递减区间为( )

A.(0,4)

B.(0,2)

C.(4,+∞)

D.(-∞,0)

【解析】 f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),

由f′(x)<0,得0<x<4,∴单调递减区间为(0,4).

【答案】 A

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第三章 导数及其应用

2.(2018·郑州调研)函数 y=12x2-ln x 的单调递减区间为

() A.(-1,1]

B.(0,1]

C.[1,+∞)

D.(0,+∞)

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第三章 导数及其应用
【解析】 函数 y=21x2-ln x 的定义域为(0,+∞), y′=x-1x=(x-1)x(x+1),令 y′≤0,则可得 0<x≤1. 【答案】 B
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第三章 导数及其应用

3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )

A.-4

B.-2

C.4

D.2

【解析】 由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,

当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2

,2)时,f ′ (x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+ ∞ ) 时 ,

f′(x)>0,函数f(x)单调递增.

故f(x)在x=2处取得极小值,∴a=2.

【答案】 D

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第三章 导数及其应用 4.(2019·浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象
如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
【解析】 观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从 左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,
∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增.
观察选项可知,排除A,C.
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第三章 导数及其应用 如图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,
x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x2>0,故选项 D正确.故选D.
【答案】 D
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第三章 导数及其应用 第1课时 导数与函数的单调性

题型一 不含参数的函数的单调性

【例1】 (1)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )

A.(-∞,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2,+∞)

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第三章 导数及其应用

(2)(2018·宁夏模拟)函数f(x)=x+eln x的单调递增区间

为( )

A.(0,+∞)

B.(e,+∞)

C.(-∞,0)和(0,+∞)

D.R

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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)依题意得 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选 D.
(2)函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1+xe>0,故单调递增区 间是(0,+∞).故选 A.
【答案】 (1)D (2)A
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增 区间; (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减 区间.
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第三章 导数及其应用

跟踪训练 1 (1)函数 y=4x2+1x的单调增区间为(

)

A.(0,+∞)

B.???21,+∞???

C.(-∞,-1)

D.???-∞,-21???

(2)已知函数 f(x)=xln x,则 f(x)( )

A.在(0,+∞)上递增

B.在(0,+∞)上递减

C.在???0,1e???上递增

D.在???0,1e???上递减

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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)由 y=4x2+1x,得 y′=8x-x12, 令 y′>0,即 8x-x12>0,解得 x>12, ∴函数 y=4x2+1x的单调增区间为???12,+∞???.故选 B. (2)因为函数 f(x)=xln x,定义域为(0,+∞),所以 f′(x)=ln x +1(x>0),
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第三章 导数及其应用
当 f′(x)>0 时,解得 x>1e, 即函数的单调递增区间为???1e,+∞???; 当 f′(x)<0 时,解得 0<x<1e, 即函数的单调递减区间为???0,1e???,故选 D. 【答案】 (1)B (2)D
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第三章 导数及其应用
题型二 含参数的函数的单调性 【例 2】设函数 f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=1x-eex,其中 a∈R, e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当 x>1 时,g(x)>0.
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第三章 导数及其应用

【解析】 (1)由题意得 f′(x)=2ax-1x=2axx2-1(x>0).

当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.

当 a>0 时,由 f′(x)=0 有 x=

1, 2a

当 x∈??0,
?

12a???时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当 x∈??
?

12a,+∞???时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

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第三章 导数及其应用
(2)证明 令 s(x)=ex-1-x,则 s′(x)=ex-1-1. 当 x>1 时,s′(x)>0,所以 ex-1>x, 从而 g(x)=1x-ex1-1>0.
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据 参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还 要确定导数为0的点和函数的间断点.
(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)= x3 , f ′ (x)=3x2 ≥ 0(f′(x)=0在x = 0时取到),f(x)在R上是增 函数.
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第三章 导数及其应用 跟踪训练2 讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单
调性.
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第三章 导数及其应用
【解析】 f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=a-x 1+2ax=2ax2+x a-1. ①当 a≥1 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 a≤0 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减;
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第三章 导数及其应用

③ 当 0<a<1 时 , 令 f′(x) = 0 , 解 得 x=

1-a 2a







x∈????0,

12-a a????时,f′(x)<0;当 x∈????

12-aa,+∞???? 时,

f ′ (x)>0 , 故 f(x) 在 ????0,

1-a?? 2a ??















?? ??

12-aa,+∞????上单调递增.

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第三章 导数及其应用
题型三 已知函数单调性求参数 【例 3】 (2018·西安模拟)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=12ax2+ 2x(a≠0). (1)若函数 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范 围; (2)若函数 h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求 a 的取值 范围.
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第三章 导数及其应用 【解析】 (1)h(x)=ln x-21ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以 h′(x)=1x-ax-2,由于 h(x)在(0,+∞)上存在单调递减
区间, 所以当 x∈(0,+∞)时,1x-ax-2<0 有解, 即 a>x12-2x有解. 设 G(x)=x12-2x,所以只要 a>G(x)min 即可.
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第三章 导数及其应用
而 G(x)=???1x-1???2-1,所以 G(x)min=-1. 所以 a>-1. (2)由 h(x)在[1,4]上单调递减得, 当 x∈[1,4]时,h′(x)=1x-ax-2≤0 恒成立, 即 a≥x12-2x恒成立.
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第三章 导数及其应用
所以 a≥G(x)max,而 G(x)=???1x-1???2-1, 因为 x∈[1,4],所以1x∈???41,1???, 所以 G(x)max=-176(此时 x=4), 所以 a≥-176,即 a 的取值范围是???-176,+∞???.
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调, 则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a , b)都有 f ′ (x) ≥ 0且在(a , b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应 注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问 题.
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第三章 导数及其应用
跟踪训练3 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的单调减区间为(-1,1),求a的值. 【解析】 (1)因为f(x)在R上是增函数, 所以f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立. 因为3x2≥0,所以只需a≤0. 又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号. 所以f(x)=x3-1在R上是增函数. 所以实数a的取值范围是(-∞,0].
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第三章 导数及其应用 (2)f′(x)=3x2-a. 当a≤0时,f′(x)≥0, f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 所以a≤0不合题意. 当a>0时,令3x2-a<0,
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第三章 导数及其应用

得-

3a 3 <x<

33a,

所以 f(x)的单调递减区间为??-
?

33a,

33a???,

依题意, 33a=1,即 a=3.

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第三章 导数及其应用
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