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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第38课 三角函数的性质(2)课件 文

考纲要求
1.理解正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性. 2.会利用三角函数的单调性求函数的最值、值域.

知识梳理
三角函数的性质
函数 周期性 奇偶性 y=sinx y=cosx y=tanx


奇函数


偶函数
π (kπ+ ,0),k∈Z 2
x=kπ,k∈Z

π
奇函数
kπ ( ,0),k∈Z 2


对称中心 (kπ,0),k∈Z 对称轴

π x=kπ+ , k∈Z 2

基础自测
1. 2012 天津高考) ? ? R , “ ? ? 0 ” “ f ( x) ? cos( x ? ? )( x ? R) ( 设 则 是 为偶函数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分与不必要条件
【答案】A

2. (2012 烟台质检)函数 y ? sin(2 x ? A.关于点 ( , 对称 0) B.关于点 ( , 对称 0)

?
3

) 的图象(



?

?

3

4

C.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

? ?
4 3

对称 对称

【答案】A

3. (2012 福建高考)函数 f ( x) ? sin( x ? ( ) A. x ?

?
4

) 的图象的一条对称轴是

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2

【答案】C 【解析】令 x ?

?
4

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

∴ x ? k? ?

3? , k ? Z ,故选 C. 4

4. (2012 济宁质检)如果函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于点 ( 称,那么 ? 的值可以是( A. ? ) C.

?
3

,0) 中心对

? 3

B. ?

? 6

? 6

D.

? 3

【答案】D 【解析】令 2 ?

?

3 2? ∴ ? ? k? ? , k ? Z ,故选 D. 3

? ? ? k? , k ? Z ,

典例剖析
考点1 三角函数的奇偶性、周期性
【例 1】 2012 肇 庆二模) 已知向量 a ? (2cos x, ?2) , b ? (cos x, ) , (

1 2

f ( x) ? a ? b , x ? R ,则 f ( x) 是(
A.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为



? 的偶函数 2

? D.最小正周期为 的奇函数 2
【答案】A 【解析】 f ( x) ? 2cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ,故选 A.

x ?? 【变式】 (2012 全国高考)若函数 f ( x) ? sin (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( 3 2? 3? 5? ? A. B. C. D. 3 2 3 2
【答案】C 【解析】 f ( x) ? sin ∵ f ( x) ? sin( ?



3? ∴ ? ? k? ,∴ ? ? ? 3k? , k ? Z , 3 2 2 3? 又 ? ? [0,2? ] ,∴ ? ? . 2

?

?

x 3

?

x ?? x ? ? sin( ? ) , 3 3 3 ) 为偶函数,

3

考点2 三角函数的对称性

【例 2】 (2012 惠州调研)定义运算

a b c d

? ad ? bc, 则函数


f ( x) ?

2sin x 1 ?2 cos x

图象的一条对称轴方程是(

A. x ? 【答案】B

?
2

B. x ?

?
4

C. x ? ?

D. x ? 0

【解析】 f ( x) ?

2sin x 1 ?2 cos x

= 2sin x ? cos x ? 2 ? sin 2x ? 2 ,

而 sin 2 ?

? ? 1 ,故选 B . 4

【变式】 (2012 湛江一模)已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ② f ( x) 的最小正周期是 2? ③在区间 [?

, ] 上是增函数; 4 4 3? ④ f ( x) 的图象关于直线 x ? 4
其中真命题是( A.①②④ ) C.②③ D.③④

? ?

B.①③

【答案】D 【解析】 f ( x) ? cos x sin x ?

1 sin 2 x ,故选 D. 2

考点3 三角函数的综合
【例 3】 (2012 日照联考)已知向量 m ? (2cos x,sin x), n ? (1, 2cos x) .
2

(1)若 m ? n 且 0 ? x ? ? ,试求 x 的值; (2)设 f ( x) ? m ? n .试求 f ( x) 的对称轴方程和对称中心.

【解析】 (1)∵ m ? n , ∴ m ? n ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ? cos 2x ? sin 2 x ?1 ? 即 sin(2 x ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 , 4

?

?
4

)??

2 . 2

∵ 0 ? x ? ? ,∴ 2 x ? ∴x?

?

?
2



3? . 4

? 9? ? 5? 7? , ? ( , ) ,∴ 2 x ? ? 或 4 4 4 4 4 4

(2) f ( x) ? 令 2x ?

?
4

2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

? k? ?

?

k? ? ? ,k ?Z . 2 8 k? ? ∴对称轴方程为 x ? ? ,k ?Z . 2 8
解得 x ? 令 2x ?

2

,k ?Z ,

?

k? ? 解得 x ? ? ,k ?Z . 2 8 k? ? ∴对称中心为 ( ? ,1), k ? Z . 2 8

4

? k? , k ? Z ,

【变式】 (2012 门头沟一模)已知向量 a ? (sin x, ?1) , b ? ( 3 cos x, 2) , 函数 f ( x) ? (a ? b) .
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 x ? [?

? ?

, ] ,求函数 f ( x) 的值域. 4 2

【解析】 (1)∵ f ( x) ? (a ? b) ? (sin x ? 3 cos x) ? (?1 ? 2)
2 2

2

? sin 2 x ? 3cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3

? 2(

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 . 2 2 6

2? ?? . 2 ? ? ? ? 7? (2)∵ x ? [? , ] ,则 ? ? 2 x ? ? , 4 2 3 6 6
函数 f (x) 的最小正周期 T ? ∴?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

∴函数 f ( x) 的值域是 [3 ? 3,5] .

归纳反思
1.对称中心 代入解析式函数值能取到 0 ,则 ( x0 , 0) 为其对称中心. 2.对称轴 代入解析式函数值能取得最大值或最小值,则 x ? x0 为其对称轴. 3.周期 相邻两个最大值(或最小值)的横坐标之差为 T ,

1 相邻两对称轴(对称中心)间的距离为 T . 2
4. y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 的奇偶性与 ? 有关.


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