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几种常见函数的导数


一、复习:
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y ?x ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ;

(3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim

?y ?x

?x ?0

.

2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数值的 改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常 数,不是变数。 (2)函数的导数,是对某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ? ( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ? ( x 0 ) 就是导函数 f ? ( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ? ( x 0 ) ? f ? ( x ) | x ? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

用导数的定义求下列各函数的导数:
(1)f(x ) ? C (C 为 常 数 ) (2)f(x)=kx+b(k,b为常数)

(3) f (x) ? x
( 6 )f ( x ) ?
?y ?x ?

(4)f(x)=x2

(5)f(x)=x3

1 x
k ( x ? ? x ) ? b ? ( kx ? b ) ?x k

f (x ? ?x) ? f (x) ?x

?

? k

? 当 ? x 无限趋近于 即 f (x) ? k
'

?y 0 时, 无限趋近于 ?x

已知y ?
解 : ?y ?
?y ?x ?

x, 求 y ?.
x ? ?x ?
1 x ? ?x ? x

x ?

?x x ? ?x ? x

? y ? ? lim

?y ?x

?x? 0

? lim

1 x ? ?x ? x

?x? 0

? 2

1 x

.

(1)( k x ? b ) ? k ( k , b 为 常 数 )
'

( 2 )C ? 0 (C 为 常 数 )
'

(3)( x ) ? 1
'

(4 )(x ) ? 2 x
2 '

(5 )(x ) ? 3 x
3 '

2

(6 )(

1 x

) ? ?
' '

1 x
2

?x ? ? ?x
?1

?2

(7 )( x ) ? 2

1 x

? ? 1 2 x ?x ?? ? ? 2
1

?

1 2

思考:由(3)-(7),你能发现什么规律?

二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C ? ? 0 (C为常数) .
证 : y ? f ( x) ? C , ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? C ? C , ? f ? ( x ) ? C ? ? lim ?y ?x ? 0. ?y ?x ? 0,

?x ? 0

n n ?1 ( x )? ? nx (n ? Q) . 公式2:

例如 : (1)( x ) ? ?
3

(
(
5

x )? ?
1 x
3

(

1 x
2

)? ?

)? ?

例如 : (1)( x ) ? ?
3

(
1
5

x )? ?
)? ?
3

(

1 x

)? ? 2

(

x

公式3: (sin x )? ? cos x . 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lim0 x?
? 2 cos( x ?
?y ?x 2 cos( x ? ? ?x 2 ?x ) sin ?x 2

sin x x

? 1.

证 : y ? f ( x ) ? sin x , ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? sin( x ? ? x ) ? sin x
?x 2
? cos( x ?

) sin

?x 2

,
sin ?x , 2 ?x 2

?x 2

)

? f ? ( x ) ? (sin x ) ? ? lim

?y ?x

?x ? 0

? lim cos( x ?
?x ? 0

?x 2

sin

?x

) ? lim

?x ? 0

2 ?x 2

? cos x ? 1 ? cos x .

同理可证,公式4: (cos x )? ? ? sin x .

基本初等函数求导公式:
(1)( x ) ? ?x
'
x ' x

?

? ?1

(?为常数)

( 2)(a ) ? a lna(a ? 0, 且a ? 1)
( 3)( log a x) ?
'

1 x

log ae ?

1 xlna

(a ? 0, 且a ? 1)
'

(4)(e ) ? e
x '
'

x

(5)(lnx) ?
'

1 x

(6)(sinx ) ? cosx

(7)(cosx) ? ?sinx

三、例题选讲

例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 直的直线方程.
?
3 1 2

?

,

1 2

)且与过这点的切线垂
?
3

解: y ? cos x ,? y ? ? ? sin x , y ? | ?
故曲线在点 P( ,

x?

? ? sin x ? ?
? 3 2 2 3 ,

3 2

.

) 处的切线斜率为

从而过 P 点且与切线垂直的直线 的斜率为 1 2 ? ?所求的直线方程为y ? ? ( x ? ), 2 3 3



即2x ?

3y ?

2? 3

?

3 2

? 0.

注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.

例2:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.
由 y ? ? (sin x ) ? ? cos x , 得 y ? | x ? x ? cos x 0 ;
0

由 y ? ? (cos x ) ? ? ? sin x , 得 y ? | x ? x ? ? sin x 0 ;
0

由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1, 即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.

知识回顾:

基本初等函数求导公式:
(1)( x ) ? ?x
'
x ' x

?

? ?1

(?为常数)

( 2)(a ) ? a lna(a ? 0, 且a ? 1)
( 3)( log a x) ?
'

1 x
x

log ae ?

1 xlna

(a ? 0, 且a ? 1)
'

(4)(e ) ? e
x '
'

(5)(lnx) ?
'

1 x

(6)(sinx ) ? cosx

(7)(cosx) ? ?sinx

2.回顾导数的定义.f ? ( x ) ? 3.利用导数定义求 g ( x ) ? x 的导数.
2

?x? 0

lim

?y ?x

? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x)

?x? 0

?x

h ( x ) ? x ,f ( x ) ? x 2 ? x ,

4.探究上述三个函数及导数之间的关系. 结论: f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ).

? ( x ) ? g ? ( x ) ? h ? ( x ). 即: x 2 ? x ) ? ? ( x 2 ) ? ? ( x ) ? . ( f
5.猜想一般函数的结论

?u ( x ) ? v ( x ) ?

? ?

? u ?( x ) ? v ?( x ) ? u ?( x ) ? v ?( x )

?u ( x ) ? v ( x ) ?

函数的和、差、积、商的导数
证明猜想

?u ( x ) ? v ( x ) ?
证明:令

?

? u ? ( x ) ? v ? ( x ).

y ? f ( x ) ? u ( x ) ? v ( x ).

? y ? ?u ( x ? ? x ) ? v ( x ? ? x ) ? ? ?u ( x ) ? v ( x ) ?
? ? u ( x ? ? x ) ? u ( x ) ? ? ?v ( x ? ? x ) ? v ( x ) ? ? ? u ? ? v .

?y ?x

?

?u ?x

?

?v ?x

?u ?v ? ?u ?v ? ? lim ? ? ? lim ? lim . ? ?x? 0 ? x ?x? 0 ? x ? x ? ?x? 0 ? x ?x? 0 ? x ?
lim




?y

.

?u ( x ) ? v ( x ) ?

?

? u ? ( x ) ? v ? ( x ).

函数的和、差、积、商的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于 这两个函数的导数的和(或差),即:

( u ? v ) ? ? u ? ? v ?.
例1. 求函数f ( x ) ? x ? sin x的导数.
2

例2. 求函数g( x ) ? x ?
3

3 2

x ? 6 x ? 2的导数.
2

函数的和、差、积、商的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数,即:

( uv ) ? ? u ?v ? u v ?.
推论:若C为常数, (Cu )? ?

Cu?.

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.

例 3:求函数 h ( x ) ? x sin x 的导数 .

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即( uv )? ? u?v ? uv?. 证: 令 y ? f ( x ) ? u ( x ) v ( x ),
???????????????????????????????????????? ) ? u ( x ) v ( x ) u ( x ? ? x ) v ( x ? ? x ) ? y ? u ( x ? ? x ) v ( x ? ? x ??????????????????? ? u ( x ) v ( x ? ? x ) ? u ( x ) v ( x ? ? x ) ? u ( x ) v ( x ),

?y ?x

?

u( x ? ? x ) ? u( x ) ?x

v( x ? ? x ) ? u( x )

v( x ? ?x) ? v( x) ?x

.

因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当 Δ x→0时, v(x+Δ x)→ v(x).从而:
?x ? 0

lim

?y ?x

? lim

u( x ? ? x ) ? u( x ) ?x

?x ? 0

v( x ? ?x)

? u ( x ) lim

v( x ? ?x) ? v( x)

?x ? 0

?x 即: y ? ? ( uv ) ? ? u ? v ? u v ? .

? u ? ( x ) v ( x ) ? u ( x ) v ? ( x );

函数的和、差、积、商的导数 法则3 两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方,即:
u ' v ? uv ' ? u? ? ? ? 2 v ? v ?
'

(v ? 0)

例 4:求函数

s(t ) ?

t

2

?1 t

的导数 .

练习

1. 求 y ? 2 x ? 3 x ? 5 x ? 4 的导数
2 2

2. 求 y ? ( 2 x ? 3)( 3 x ? 2) 的导数
2

解:

y ? ? ( 2 x ? 3 ) ? ( 3 x ? 2 ) ? ( 2 x ? 3 )( 3 x ? 2 ) ?
2 2

? 4 x(3 x ? 2) ? (2 x ? 3) ? 3
2

? 18 x ? 8 x ? 9
2

法二:? y ? ( 2 x ? 3 )( 3 x ? 2 ) ? 6 x ? 4 x ? 9 x ? 6
2 3 2



y ? ? 18 x ? 8 x ? 9 .
2

3. y ?
解:y ?
'

x

2

的导数
2 ' 2 '

sin x
( x ) ? sin x ? x ? (sin x) sin x
2

?

2 x sin x ? x cos x
2

sin x

2

4. 求 y ?
解:y ?
'

x?3 x ?3
2
2

在点x ? 3处的导数
? ? x ? 6x ? 3
2

1? ( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 2 x ( x ? 3)
2 2

( x ? 3)
2

2

? y | x ?3 ?
'

? 9 ? 18 ? 3 (9 ? 3)
2

?

? 24 144

??

1 6

函数的和、差、积、商的导数
课堂小结 1、和、差、积、商的导数运算法则; 2、和、差、积、商的导数运算法则的运用; 3、多项式函数的导数的求法。 作业:


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