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用物理方法证明正弦定理和余弦定理


中学数学杂志 ( 高中)   2006 年第 5 期

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在考查方面如何建树 , 还有待广大教育人士 认真研磨 . 2  实施应用问题的教学建议 11 循序渐进的教学原则 . 以上的五种层 次的划分是以题目内容及数据与生活实际的 相关程度为标准的 , 层次是递增的 . 学生的 认知过程遵循由浅入深 ,从简单到复杂 ,循序 渐进的 , 因此 , 不宜采取 “急功近利 、 短期训 练” 的做法 . 让学生从害怕应用题 、 拒绝应用 题到敢做应用题 、 掌握应用问题 ,就必须从一 些学生容易理解的低层次的实际问题出发 , 从简单的数据切入 , 让他们有获得成功的机 会 ,享受成功的喜悦 ,逐步培养他们的解应用 题的能力 . 21 固本强基的执教策略 . 作为驾驭新教   正弦定理
2 2

材的教师 , 善于用生活中的案例来联系数学 知识 ,将成为我们一种执教习惯 ,对激发学生 的学习兴趣是有益的 ; 背景回归类型问题的

用物理方法证明正弦定理和余弦定理
贵州省黔西第一中学    551500   徐  英
b c

a

sin A

=

sin B

=

sin C

和余弦定

a + b - 2 ab · C = c cos
2 2

2

理 b + c - 2 bc · A = a cos
a + c - 2 ac · B = b cos
2 2

2

2

是三角形边角关系的美妙体现 , 它们的 发现和证明都显示着人类的智慧 , 是人类文 明史上灿烂的一页 . 在数学和物理学领域中 ,很多方面都渗透

出正弦定理和余弦定理的气息. 本文试图用 物理方法给出正弦定理和余弦定理的证明. 设三角形 A B C 是边长分别为 a 、 、 的 b c 通电导线框 ,其电流强度为 I . 现将它置于磁 感应强度为 B 的匀强磁场中且线框平面与

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存在 , 可以启迪我们的教师要从课本内容出 发 ,联系实际 ,以教材为载体 . 编拟与课本相 关的建模问题或把课本的例题、 习题改编成 应用性问题 ,有益于学生对应用问题的理解 . 31 增加学生的体验机会 . 探索建模类型 课程的实施在中学阶段已经趋于成熟 , 学生 之间形成了默契的合作小组 ,独立思考 、 分工 合作 、 交流讨论 、 寻求帮助的能力 , 为实施数 学建模提供了可行性 , 为实现全过程体验有 了时间 、 空间和能力上的保障 . 高校大学生 建模比赛的口号是 “一次参赛 , 终生成功” . 那么 ,中学生建模活动的口号不妨是 “一次过 程 ,终身本领” . 磁场方向垂直 ,那么三角形 A B C 的三边所受 的安培力如图 1 所示 ,其大小分别为
Fa = B Ia Fb = B Ib Fc = B Ic

问题的教学可以通过组织必要的活动来实 现 . 以数学课外活动小组的形式展开 . 另 外 ,可以举行竞赛活动 , 用激励的手段 , 刺激 学生对数学应用问题的关注 . 应当使学生有 一次以上的建模全过程体验 . 综合实践活动

( 1)

很显然 ,这三个 力是 相 互 平 衡 的共点力 ,它们

的作 用 线 相 交 于三角形 A B C 图1 的外心 O ,现以 O 点为原点 , 分别建立如图 2 甲 、 、 乙 丙所示 的直角坐标系 ,对 Fa 、 b 、 c 进行正交分解 . F F 根据甲图 ,有

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中学数学杂志 ( 高中)   2006 年第 5 期

Fa sin B - Fb sin A = 0 Fa cos B + Fb cos A = Fc

( 2)

B Ia · B - B Ib · A = 0 sin sin

   B Ib · C - B Ic · B = 0 sin sin B Ia · C - B Ic · A = 0 sin sin 和 B Ia · B + B Ib · A = B Ic cos cos
B Ib · C + B Ic · B = B Ia cos cos B Ia · C + B Ic · A = B Ib cos cos

( 5)

( 6)

( 分别化简 ( 5) 式 、6) 式 ,得正弦定理
a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

( 7)

和余弦定理 2 2 2 a + b - 2 ab · C = c cos
b + c - 2 bc · A = a cos a + c - 2 ac · B = b cos
2 2 2 2 2

( 8)

2

同理 ,根据乙图 、 丙图分别有 Fb sin C - Fc sin B = 0
Fb cos C + Fc cos B = Fa

( 3)

正弦定理和余弦定理的证明 , 还可以考 察一个厚度均匀的三角形薄板水平地悬浮于 密度均匀的某液体中 , 考虑到液体对三角形 薄板的三个侧面的压力互为共点平衡 , 然后 结合本文的思维给出 . 最后笔者谈一点自己的感想 , 为了实现 应试教育向素质教育的转轨 , 我们在教学中 应注重交叉学科知识的相互渗透 , 这对全方 位培养学生素质 , 提高他们综合应用各学科 知识处理实际问题的能力是极为有效的.


Fa sin C - Fc sin A = 0 Fa cos C + Fc cos A = Fb

( 4)

( ( 将 ( 1) 式分别代入 ( 2) 、3) 、4) 式并整 理 ,得

例谈新课程理念下问题情境的创设
青岛二中    266000   程  志   新 《课程标准》 中指出 : 有效的学习活 “ 动不能单纯地依靠模仿与记忆 , 教师应引导 学生主动地从事观察 、 、 、 、 实验 猜测 验证 推理 与交流等数学活动 , 从而使学生形成自己对 数学知识的理解和有效的学习策略” 应用 . 题的教学往往由于题目本身相对独立、 内容 枯燥 、 信息量大而成为教师教学和学生学习 的难点 , 而新课标更多地强调学生用数学的 眼光从生活中捕捉数学问题 , 主动地运用数 学知识分析生活现象 , 自主地解决生活中的 实际问题 . 因此在教学中教师们应注意要善 于从学生的生活中抽象数学问题 , 从学生的 已有生活经验出发 , 设计学生感兴趣的生活 素材以丰富多彩的形式展现给学生 , 使学生 感受到数学与生活的联系 ——数学无处不 — 在 ,生活处处有数学 . 下面例谈我在新教材
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