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江西省九江市九江实验中学高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方程教学案 新人教A版选修4-4


江西省九江市九江实验中学高中数学 第三课时 圆锥曲线的参数方 程教学案 新人教 A 版选修 4-4
一、教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求 简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点 :选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? ? y ? r sin ? (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? ? ( x ? x0 ) ? ( y \ y0 ) ? r 参数方程为: ? y ? y 0 ? r sin ? (2)圆
2 2 2

( ? 为参数)

2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二) 、讲解新课:

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1.椭圆的参数方程推导:椭圆 a 参数方程
6

s ?x ? a c o ? ? ? ( ? 为参数),参数 ? 的 ?y ? bs i n

几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
5 4

3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 2.双曲线的参数方程的推导:双曲线 a 参数方程

? ?x ? a s e c ? ? ( ? 为参数) ?y ? b t a n

1

2500

2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。

? x ? 2 Pt 2 ? 2 y ? 2 Pt (t 为参数),t 为以抛物线上 3.抛物线的参数方程:抛物线 y ? 2Px 参数方程 ?
一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。 (1) 、关于参数 几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式, 它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标 间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程 组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 (3) 、参数方程求法 : (A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (B)选取 适当的参数; (C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函 数式; (D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较 明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋转的有关问题选取角 ? 做参 数;或选取有向线段的数量、长度、直线的 倾斜斜角、斜率等。

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 4、椭圆的参数方程常见形式: ( 1) 、椭圆 a 参数方程
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 2 a 数) ;椭圆 b 的参数方程是 2

s ?x ? a c o ? ? ? ( ? 为参 ?y ? bs i n

?

x ?b cos? y ?a sin?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).

( 2 )、 以

( x 0, y )
0

为中心焦点的连线平行于 x 轴的椭圆的参数方程是

2

x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数) 0
x?

? x ? a cos? ? y ? b sin ? 研究椭圆问题时,椭圆上的点 。 (3)在利用 ?

的坐标可记作(acos ? ,bsin ? ) 。 (三) 、巩固训练

1 ? ?x ? t ? t (t为参数) ? 1 ?y ? t ? x2 ? y 2 ? 4 t 1、曲线 ? 的普通方程为 。
? x ? cos? ? y ? sin? 2、曲线 ? (?为参数)

上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)

1 A. 2

2 B. 2

C.1 4、P38 页中 2

D. 2

3、课本 P36 页中 2

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ? 5、已知椭圆 ?

( ? 为参数) 求 (1)

??

?
6 时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角 (四) 、小结:本课要求大家了解 圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适当的参数, 求简单曲线的参数方程, 通过推到椭圆及双曲线的参数方程, 体会求曲线的参数方程方法和 步骤,对 椭圆的参数方程常见形 式要理解和掌握。 (五) 、作业: 课本 P38 页中 A 组 9、10 B 组 2、4

3


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